高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题 专项突破《必考问题9 不等式及线性规化》

答案 12 9．解析 由 (1 － 2i)i ＝i － 2i 2＝ 2＋i ＝ a＋ bi ，根据复数相等的条件可得
＝2.
a＝ 2，b＝1，∴ ab
答案 2 10．解析 逐步运行程序框图即可．开始时
n＝ 8，i ＝ 2， k＝1， s＝ 1.
因 i ＝ 2＜ 8，故 s＝1×1×2＝ 2， i ＝ 2＋ 2＝ 4， k＝ 1＋ 1＝ 2； 1
所以 b＝ 0，所以 z∈ R，①正确；
若 z＝ 0，则 z 不是纯虚数，②错； 若 a2＋ b2＝－ b＋ai ，则 a＝ 0， b＝0 或 b＝－ 1，
所以 z＝ 0 或 z＝－ i ，③错； 若| z1＋ z2| ＝ | z1－ z2| ，设 z1＝a＋ bi( a，b∈ R) ，
z2＝c＋ di( c，d∈ R) ． 则( a＋ c) 2＋ ( b＋ d) 2＝ ( a－ c) 2＋ ( b－ d) 2，
整理得： ac＋ bd＝ 0， 所以 z1z2＝ ( a＋bi)( c＋ di) ＝ ac－bd＋ ( ad＋bc)i ≠0，④错．
答案 1
4
训练 16 算法与复数 ( 备用 )
( 参考时间： 80 分钟 )
1．(2011 ·南京模拟 ) 已知复数 z＝ 3＋ 4i(i 为虚数单位 ) ，则复数 z ＋ 5i 等于 ________．
2．阅读以下程序：
Input x If x＞ 0 Then y＝ 3x＋ 1 Else y＝－ 2x＋ 3 End If Print y End
1 a－ 2
i ∈R，所以
1
1
a－ 2＝ 0，a＝ 2.
1 答案
2
z1 a＋2i
a＋
12．解析
z

m＋ 2m2＋2 解得 y1＝ ， m2＋2 2m2＋1＋m m2＋1 故 AF1＝ x1＋12＋y1－02＝ my12＋y2＝ . 1 m2＋2 ① 2m2＋1－m m2＋1 同理，BF2＝ .② 2 m ＋2
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【例 1】► (2012· 南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＝ x2 y2 t(－4＜t＜4)与椭圆16＋ 9 ＝1 交于两点 P1(t，y1)、P2(t，y2)， 且 y1＞0、y2＜0，A1、A2 分别为椭圆的左、右顶点，则直线 A1P2 与 A2P1 的交点所在的曲线方程为________． [审题视点] 将 A1P2 与 A2P1 的交点(x，y)用 P1(t，y1)、 P2(t，y2)坐标的关系来代换． [听课记录]
15)，右焦点 F(4,0)． ∴MF＝ 1＋15＝4. 法二 由双曲线第二定义知，M 到右焦点 F 的距离与 M 到 a2 c MF 右准线 x＝ ＝1 的距离比为离心率 e＝ ＝2，∴ ＝2， c a 3－1 MF＝4. 答案 4
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3．定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思 想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运
用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的
各种性质来解决问题．关于定点定值问题，一般来说， 从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定 值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算， 并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值) .

训练21 二项式定理及数学归纳法(参考时间：80分钟)1．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(3)a 1＋a 3＋a 5＋a 7.2．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1能被31整除．3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中系数最大的项． 4．已知(1＋x )n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(n ∈N *)．(1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，并说明理由．5.如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )(0＜y 1＜y 2＜…＜y n )是曲线C ：y 2＝3x (y ≥0)上的 n 个点，点A i (a i,0)(i ＝1,2,3，…，n )在x 轴的正半轴上，且△A i －1A i P i 是正三角形(A 0是坐标原点)．(1)写出a 1，a 2，a 3；(2)求出点A n (a n,0)(n ∈N *)的横坐标a n 关于n 的表达式．6．对于定义域为A 的函数f (x )，如果任意的x 1，x 2∈A ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称函数f (x )是A 上的严格增函数；函数f (k )是定义在N *上，函数值也在N *中的严格增函数，并且满足条件f (f (k ))＝3k .(1)证明：f (3k )＝3f (k )；(2)求f (3k －1)(k ∈N *)的值； (3)是否存在p 个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p 值，若不存在，请说明理由．参考答案训练21 二项式定理及数学归纳法1．解 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.令x ＝0得a 0＝1.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2.(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187.由(1)和上式得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.(3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1和a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187两式相减得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094.2．证明 1＋2＋…＋25n －1＝25n －12－1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＋C n n －1＝31n ＋C 1n ·31n －1＋…＋C n －1n ·31＝31·(31n －1＋C 1n ·31n －2＋…＋C n －1n )，∵31n －1，C 1n ·31n －2，…，C n －1n 都是整数，∴原式可被31整除．3．解 由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x . 4．解 (1)取x ＝1，则a 0＝2n；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n .(2)要比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2的大小，即比较：3n 与(n －1)2n ＋2n 2的大小．当n ＝1时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，3n ＜(n －1)2n ＋2n 2；当n ＝4,5时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2.猜想：当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n ＝4时结论成立．假设当n ＝k (k ≥4)时结论成立，即3k ＞(k －1)2k ＋2k 2，两边同乘以3，得3k ＋1＞3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k 2k ＋1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2－4k －2]．而(k －3)2k ＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k ＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k ＋4(k －2)(k ＋1)＋6＞0.所以3k ＋1＞[(k ＋1)－1]2k ＋1＋2(k ＋1)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．所以当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2成立．综上得，当n ＝1时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2；当n ＝2,3时，S n ＜(n －2)2n ＋2n 2；当n ≥4，n ∈N *时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2.5．解 (1)a 1＝2，a 2＝6，a 3＝12；(2)依题意，得x n ＝a n －1＋a n 2，y n ＝3·a n －a n －12，由此及y 2n ＝3x n 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3·a n －a n －122＝32(a n －1＋a n )，即(a n －a n －1)2＝2(a n －1＋a n )．由(1)可猜想：a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法予以证明：(1)当n ＝1时，命题显然成立；(2)假定当n ＝k 时命题成立，即有a k ＝k (k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设及(a k ＋1－a k )2＝2(a k ＋a k ＋1)得[a k ＋1－k (k ＋1)]2＝2[k (k ＋1)＋a k ＋1]，即(a k ＋1)2－2(k 2＋k ＋1)a k ＋1＋[k (k －1)]·[(k ＋1)(k ＋2)]＝0，解之得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(a k ＋1＝k (k －1)＜a k 不合题意，舍去)，即当n ＝k ＋1时，命题也成立．所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．6．解 (1)证明：对k ∈N *，f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝f (3k )①由已知f (f (k ))＝3k ，∴f [f (f (k ))]＝3f (k )，②由①、②∴f (3k )＝3f (k )(2)若f (1)＝1，由已知f (f (k ))＝3k 得f (1)＝3，矛盾；设f (1)＝a ＞1，∴f (f (1))＝f (a )＝3，③由f (k )严格递增，即1＜a ⇒f (1)＜f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≠1，f 1＜3，f 1∈N *，∴f (1)＝2，由③f (f (1))＝f (a )＝3，故f (f (1))＝f (2)＝3.∴f (1)＝2，f (2)＝3.f (3)＝3f (1)＝6，f (6)＝f (3·2)＝3f (2)＝9，f (9)＝3f (3)＝18，f (18)＝3f (6)＝27，f (27)＝3f (9)＝54，f (54)＝3f (18)＝81.依此类推归纳猜出：f (3k －1)＝2×3k －1(k ∈N *)．下面用数学归纳法证明：(1)当k ＝1时，显然成立；(2)假设当k ＝l (l ≥1)时成立，即f (3l －1)＝2×3l －1，那么当k ＝l ＋1时，f (3l )＝f (3×3l －1)＝3f (3l －1)＝3×2×3l －1＝2·3l .猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对k ∈N *f (3k －1)＝2×3k －1成立．(3)存在p ＝3k －1＋1，当p 个连续自然数从3k －1→2×3k －1时，函数值正好也是p 个连续自然数从f (3k －1)＝2×3k －1→f (2×3k －1)＝3k .。

1 (参考时间：80分钟) 一、填空题

1．(2012·徐州质检)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________． 2．设双曲线x24－y2＝1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段(2≤x≤25，y≥0)上的点，线段|PkF|的长度为ak(k＝1,2,3，…，n)．若数列{an}成等差数列且公差d∈

15，5

5，则n的最大取值为________．

3．(2012·无锡联考)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的 左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物 线y2＝2bx的焦点F分成5∶3两段，则此椭圆 的离心率为________．

4．已知双曲线C∶x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________． 5．(2012·南通模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1－32，0、

F232，0，点P是第一象限内双曲线上的点，且tan∠PF1F2＝12，tan∠PF2F1＝－2，则

双曲线的离心率为________． 6．(2012·南通、泰州、扬州模拟)如图，在平面 直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别

为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个 交点为D，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．

7．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

8．已知A、B是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP→＋BP→＝λ(AM→＋BM→)， 2