18.2.3正方形
1.理解并运用正方形的定义计算和证明.
2.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.
3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.
经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.
让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
【重点】正方形性质和判定定理的应用.
【难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.
【教师准备】教学中出示的教学插图、问题和例题.
【学生准备】复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.
如图所示,改变∠B的大小,平行四边形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,这时的图形是形;我们平移边CD,改变BC的大小,矩形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是形.
(2)如图所示,我们平移边CD,改变BC的大小,平行四边形ABCD的形状随之发生变化.当BC'=C'D'时,图形是形;改变∠B的大小,菱形ABC'D'的形状随之发生变化.当∠B为直角时,图形是形.
学生观察教具变化情况,结合所学菱形、矩形知识,回答上面的问题.
[设计意图]正方形是学生熟悉的几何图形,小学已经学过,这里让学生从动态的角度出发认识正方形,体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
导入二:
八年级(2)班的简兰同学想买一条方纱巾.有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾,非常想买,但她拿起来看时感觉纱巾不太方,商店老板看她犹豫不决的样子,马上过来拉起一组对角,让她看另一组对角是否对齐,她还有些疑惑,老板又拉起另一组对角让她检验,她终于买下这块纱巾,你认为她买的这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?
学了这节后,你就会做出准确的判断了.
[设计意图]将数学问题融入生活情境,拉近了学生与数学之间的距离,激发学生研究正方形的积极性.
1.正方形的认识
在学生回答的基础上,教师引导学生归纳:
正方形是有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形.
追问:正方形与矩形、菱形之间有什么关系呢?
学生思考,回答:正方形既是矩形,又是菱形.
[设计意图]结合图形的演示,让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义、性质及判定.在此基础上尝试归纳正方形的定义,理解正方形的定义,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
(2)正方形与菱形有怎样的关系?
(3)正方形、平行四边形、矩形、菱形有怎样的关系?
学生观察、思考、交流.
生1:正方形是特殊的矩形,即有一组邻边相等的矩形是正方形.
生2:正方形是特殊的菱形,即有一个角是直角的菱形是正方形.
教师画图说明,正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系如图.
总结:正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
你能根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系,解释下面的问题吗?
(1)把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片.为什么?
(2)如何从一块长方形纸片中裁出一块最大的正方形纸片呢?
学生动手折叠、思考、交流.
(1)由折叠得所得的四边形有三个直角,且一组邻边相等.有三个角是直角的四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,所以裁出的纸片是正方形.
(2)要使裁出的四边形是最大的正方形,只要让四边形(正方形)的边长等于长方形的宽即可.
教师总结:正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形.
[设计意图]结合图形的折叠,让学生归纳得出有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.从矩形、菱形的角度出发体会它们之间的关系,感受特殊与一般的关系.
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):
(1)平行四边形有哪些性质?
(2)矩形有哪些性质?
(3)菱形有哪些性质?
(4)正方形有哪些性质?
正方形的性质,体会它们之间的联系与区别,感受特殊与一般的关系.
思路二
正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请把它们写出来,并与同桌交流.
学生梳理总结得:
正方形
[设计意图]让学生回忆学过的平行四边形、矩形、菱形的定义和性质,体会它们之间的联系与区别.在此基础上梳理得出正方形的性质,有助于这些知识的正确运用.
3.正方形的判定
思路一
提问:怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来.
学生自由发言.
教师引导学生总结、归纳得正方形的判定方法:
(1)定义法:有一个角是直角,有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
(2)矩形法:有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)菱形法:有一个角是直角的菱形是正方形.
思路二
既然正方形是特殊的图形,那么我们就可以通过一般图形来判定正方形.请大家考虑:
满足什么条件的矩形是正方形?你有哪些方法?
类似地,如何通过菱形和平行四边形来判定正方形?
教师深入学生中,督促学生积极探索交流,了解学生的思维深度和广度并及时加以校正和激励.
派学生代表走向讲台进行总结发言,并鼓励其他学生大胆提问.
师进一步归纳正方形的判定方法.
[
[
过渡语]上面我们研究了正方形的定义、性质和判定,下面我们举例说明它们的应用.
(教材例5)求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三
角形.
学生分析题设和结论,画图,写出已知和求证.
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.
求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.
师生分析:利用正方形的性质“对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角”可以得到四个三角形是全等的等腰直角三角形.
学生独立完成解题过程.一生板书:
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
教师点评,纠正写法上的不足.
(补充)如图,在平行四边形ABCD中,O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.
(1)求证△AOD≌△EOC;
(2)连接AC,DE,当∠B=∠AEB=°时,四边形ACED是正方形.请说明理由.
师生共同分析:(1)根据题意可得∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC,OC=OD,所以△AOD≌△EOC.(2)当∠B=∠AEB=45°时,根据△AOD≌△EOC,先证明四边形ACED是平行四边形,再根据∠COE=∠BAE=90°,得到平行四边形ACED是菱形,AB=AE,AB=CD,故AE=CD,从而可知菱形ACED是正方形.
学生独立写出过程后,教师重点指导第(2)问的解答过程.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠ADC=∠OCE,∠DAO=∠OEC.
又∵O是CD的中点,
∴OC=OD.
∴△AOD≌△EOC.
解:(2)如图,当∠B=∠AEB=45°时,四边形ACED是正方形.理由如下:
∵△AOD≌△EOC,
∴OA=OE.
又∵OC=OD,
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B=∠AEB=45°,
∴AB=AE,∠BAE=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
