线性代数教学中的模式直观

案例课程：可逆矩阵一、课程简介《线性代数》是面向我校理工类，经管类专业学生的数学基础课程。

通过线性方程组、向量、矩阵的理论和方法的学习，培养学生具有初步的抽象思维能力、逻辑推理能力，一定的计算和表述能力以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力。

课程思政建设中特色和改革创新点：1.教育为学生提升自身价值为教学理念支撑课程思政建设。

2.课程思政方法可移植，模式可复制。

项目教学模式的探索和研究也可以为相应的其它公共基础课程借鉴性和移植，具有较大的应用和推广价值。

3.课程思政元素贯穿课堂教学全过程。

二、案例展示1、课程思政育人目标（1）素质提升目标。

通过线性代数课程的学习不但要掌握课程知识而且还要让学生感受“文化自信”，实现课程育人。

（2）专业学习目标。

通过课程的学习掌握课程内容，满足后续专业课程的学习。

（3）价值塑造目标。

把数学教学内容和知名数学家的事迹相结合，激励学生学好课程知识的同时奋发向上、努力进取；把数学定理的阐述和做人道理相结合；把课程具体内容讲授和逻辑思维推进相结合。

2、课程思政元素及实施路径课程思政元素：矩阵有广泛的应用，既要学到知识也要学会运用知识，同时要让知识实现最大的价值，为国家富强添砖加瓦。

实施路径1）展示线性方程组与矩阵的联系：通过平面图形和空间图形以及高维空间图形的介绍让学生发现可逆矩阵的存在。

2）突出重点的方法：“抓两面、突重点”即①思维启发面：通过几何展示。

②逻辑思维面：可逆矩阵的介绍，环环相扣，层层递进。

3）突破难点的手段：“抓两点，破难点”即一抓学生情感和思维的兴奋点；二抓教学内容的切入点。

3、教学改革成效1）课程内容生动有趣，深入浅出，便于学生理解。

学生对教师教学评价好，教学相长。

2）我校学生考研数学成绩逐年稳步提升；数学建模和高等数学竞赛等学科竞赛成绩稳中有升。

3）《线性代数》课程是省首批线上线下混合式一流课程，也是省首批课程思政示范课程。

4）基于线性代数相关的课程建设获得省级以上教学改革研究立项5项，发表相关教育研究论文6篇。

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。

2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。

培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。

3． 巩固矩阵的概念和计算。

生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。

一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。

该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。

举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。

如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。

上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。

根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。

线性代数是高等代数的一个重要分支，在工程学、计算机科学、经济学、统计学、系统控制、航空航天等诸多领域都有广泛的应用。

因此，线性代数不仅是一门非常重要的基础课程，更是一门非常有价值的基础课程。

一、目前线性代数课程现状工科数学的教学原则是“以应用为目的，已够用为度”，而现行的大部分教材都重理论轻应用。

学生在学完线性代数课程之后，在遇到实际问题或者与专业相关的问题时，仍然不会用所学的知识来解决问题。

线性代数内容前后联系紧密、相互渗透，抽象性和逻辑性比较强，学生学习起来感觉很困难，造成学生的厌烦情绪。

并且学生习惯了以往的“接受性”教育，学生学习自主性差，只是为了学习而学习，应付考试得学分，失去了高等教育以应用为目的的教育根本。

二、BOPPPS教学模式BOPPPS教学模式的基木概念是根据人的专注力大约只能维持15min，于是将教学内容切割为若干时长15min左右的小单元、每个教学小单元依起承转合切分为6个阶段。

BOPPPS教学模式主要用于教师的技能培训，在培训中主要采用教学实践来强化训练，目的是提高教师教学技能和教学的有效性。

BOPPPS教学设计模式注重学生参与和反馈，充分发挥学生的主动性，遵循以学生为中心，以目标为导向的教学理念，注重教学互动和反思，引导学生自主学习。

该教学设计模式也能帮助教师分解并分析教学过程，从而更有效地设计教学内容，改善并提升教学质量。

三、线性代数BOPPPS教学模式的课堂教学设计以知识点“行列式按行按列展开”为例。

第一阶段导言( Bridge-in )，在导言部分，我们的目的是导入问题，吸引学生的注意力，帮助学生专注在即将要介绍的内容。

从学生熟悉的低阶行列式入手，引导学生学会思考，思考低阶行列式与高阶行列式之间的相互关系。

第二阶段学习目标（Objective），学生自然会想到高阶行列式可以用低阶行列式表示，但是如何具体表示呢？此时教师自然地引入新的知识课本中余子式和代数余子式的概念，有了代数余子式的概念及其符号，让学生重新用新的概念表示高阶行列式。

个解决方案 。
后来 ， 笔者换 了一种 方式 ： 把学生分组 ， 比如 ８ 个人 组 ， 他们课 后去 收集 关 于“ 让 线性 代数在 生活 中的作
后来 ， 笔者参加 了一个教 育技术培训班 的学 习后 才 恍然 大悟 ， 原来是笔者 的教学模式选错 了。因为现在 的 教学对象是 ９ 后 ， ０ 不再是 ８ 后 了。９ ０ ０后 的孩子 出生 在 信息化 时代背景下 ， 他们很 小的时候就接触 了 电脑 和网 络 ， 以随时随地 地 了解 到各种 最新 资讯 ， 可 接受 新事 物
案例一： 这门课有什么用？ 刚一接触这 门课 程 ， 就有学生 问“ 门课 有什么用 ？ 这 它和我 的专业有 什么联系 呢？” 笔者 只是 轻描淡写地 回 答， 至于和计 算机专业 的关 系 ， 以去 问问你们 计算机 可
课 程 的老师 。但是 ， 有多少学生会去做这事情？“ 不知” ， 仍是 “ 不知 ” 。于是有一 部分学生就开始不认 真听课 了 ， 甚至理直气壮地认为 ： 没用 ， 我学它干什么？ ！
加工作 以来 ， 这次是 笔者第 三次讲 授这 门课 程 了 ， 之前 直 以来都是采 用传统教学模式 ：主要是教师讲 授 ， 辅 以课堂 练 习 、 学生互 动 ， 置作业及 练 习让学 生巩 固所 布
一
问题 意识 、 批判性思维和创造性 思维以及 问题解决 的实 践 能力 为主要 目标 。Ｉ ｌ ｌ 它强调 以“ 问题” 中心组织 学习 为
向的教学模式 ” 它主张把学习置于复杂 、 。 有意义 的问题 情境之 中 ， 过学 习者 的 自主探究 ， 通 以合 作方 式解 决 真 实 问题 以及学 习问题背后 的科学 知识 ， 以培养 学习者 的
模式 ， 老师先给 出一个具体 的（ 而不是像教材 中抽 象的 ） 二元一 次方程组让学生 自己动手用消元法去求解 ， 学生

《线性代数》教学大纲一、课程概述1. 课程研究对象和研究内容《线性代数》是数学中的一个重要分支，是高等工科院校的重要基础理论课。

其不仅在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，而且在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术中无不是理论和算法的基础内容。

本课程教学内容主要有：行列式；矩阵；n维向量空间；线性方程组；特征值与特征向量；二次型。

通过本课程的学习，能够培养学生对研究对象进行有序化、代数化、可解化的处理方法，并且为其他后续课程打好基础。

因此，本课程对学生今后专业的发展具有非常重要的意义。

2. 课程在整个课程体系中的地位《线性代数》是计算机专业的基础课。

《线性代数》的后续课是《离散数学》，《计算方法》等。

二、课程目标1．知道《线性代数》这门学科的理论和方法及其在专业教育体系中的位置；2．理解这门学科的基本概念、基本定理和基本方法；3．熟练掌握行列式、矩阵的运算；会用行列式与矩阵的方法求解齐次线性方程组、非齐次线性方程组的解；学会矩阵的特征值、特征向量及二次型的相关应用；4．突出计算能力的培养，引导学生进行归纳、对比和思考，培养学生的创造性能力；5．学会用线性代数的方法处理离散对象；6．培养运用本学科的基本知识与基本技能分析问题、解决问题的能力；逐步培养学生抽象思维和逻辑推理的能力；7．通过本课程的学习，协助学生逐步树立辩证唯物主义的观点。

三、课程内容和要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。

这四个层次的一般涵义表述如下：知道———是指对这门学科和教学现象的认知。

理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。

掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。

学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。

不 起 精 神 。 这 种 问 题 的 出现 一 方面 跟学 生 的基 础 薄 弱 有 关 ， 外 ， 传 另 跟
特 性 是参 与 性 ， 通 过 强 调 与 学 生 的 双 向交 流 ， 分 调 动 双 方 的 积 极 性 它 充 和 能 动性 ， 而 活跃 课 堂 气 氛 ， 利 于 让 更 多 的 学 生 参 与 到 互 动 中来 。 从 有 有 利 于 提 高课 堂 互 动 质 量 ， 现 教 与 学 的 统 一 。 当 然 ， 实 施 互 动 式 教 实 在
、
现 有 教 学 模 式存 在 的 问题
体 ， 师 则 是 这 类 活 动 过 程 的 组 织 者 和 指 导 者 。 因 此 要 合 理 发 挥 教 师 教
的 主 导 作 用 和 学 生 的 主体 作 用 ， 才能 实 现 真 正 意 义 上 的互 动 教 学 。
２ 引入 网络 教 学 平 台 、
传统的
支 粉 笔 的教 学 方 式 现 在 已 跟 不 上 时代 发 展 的 要 求 。 随 着
计 算 机 技 术 ， 媒 体 技 术 和 网络 通信 技 术 的 飞速 发 展 ， 何 实 现 信 息 技 多 如 术 与 课 程 教 学 整 合 已 经成 为教 学 创 新 的 热 点 问题 。在 当 前 线 性 代 数 课 时 普 遍 缩 减 ， 班 化 教 学 师 生 难 以 互 动 的 形 势 下 ， 新 教 学 观 念 ， 信 大 更 将
传 统 的教 学 设 备 就 是 一 支 粉 笔 。 随 着 计 算 机 技 术 ， 媒 体 技 术 和 多
网 络 通信 技术 的 飞速 发 展 ， 用 现 代 化 的 教 学 手段 进 行 教 学 已 变 成 可 运 能 并 且 非 常必 要 。传 统 的 教 学 方 法 当 中 不 能 展 示 的 一 些 美 妙 的 数 学 图 形 可 以 直 观 的 通过 多 媒 体 展 示 给 学 生 ， 加 上 多 媒 体 等 现 代 教 育 手 段 再 可 以 极 大 的 丰富 课 堂 教 学 的 信 息 量 ， 高 学 生 的学 习 兴 趣 的 同 日 还 提 也

高校线性代数教育中的存在问题及解决措施《线性代数》是高校公共数学科目中一门非常重要的基础必修课，在很多学科的应用中都起了很重要的作用。

但在线性代数的整个教学过程当中却出现了诸如知识脱节、课程设计不合理等问题。

线性代数高素质教育存在问题解决措施一、前言线性代数是我国高等院校工科专业中的一门基础的数学学科，通过线性代数的学习，可以培养和提高学生思考问题、解决问题的能力，教育部将其列入重点评估课程，可见线性代数在高等院校数学教育中的重要性。

计算机技术的进一步发展，使得线性代数的重要性更加突出。

随着高等教育规模的不断扩大，如何保证高校人才的教育水平成为了当今高校教育的巨大挑战，而线性代数无疑首当其冲，线性代数面临着各种各样的问题，不仅存在着学生方面的问题，而且在学校方面更存在着非常严重的失误，以下是对高校数学当中非常具有代表性的一科——线性代数，做出了问题分析并提出几点改进的建议。

二、线性代数在高校数学教育中遇到的瓶颈1.传统教学内容的设置不合理目前线性代数教育仍然处于新旧交替的阶段，很多陈旧的教材中的内容仍然是处于应试教育的框架，重点在阶梯方法的传授而不是对数值的计算和对数学本身的现代应用。

同时，教材中很多的问题还处在上世纪七八十年代的水平，其中不仅包含的信息量不多而且也完全与现代生活脱节，更无法使用现代数学的方法提供解题思路，使得学生们无法真正具有学习线性代数的学前基础，进而导致对相应的知识无法牢固掌握。

2.传统教学目的占主导由于长期以来受应试教育的影响，学生的学习成绩被当作是教师教学水平的唯一衡量标准，教学的目的也从教书育人变成了如何让学生在考试中取得好的成绩，忽视了培养学生寻根溯源的学习思想。

而老师在讲解公式的时候也对方法欠缺指导，教学当中重结果、轻过程的做法泯灭了学生的求知欲。

在线性代数的教学过程中，更多的老师习惯通过“用题讲点（知识点）”的方法教育学生以此减少教学压力并且提高教学成绩，不能变通地完成学习计划，其结果只会培养出缺乏个性的学生，进而也就无法适应社会变化发展的需要。

线性代数立体化教学模式分析作者：刘逸轩来源：《课程教育研究》2020年第09期【摘要】线性代数是大学工科专业中很重要的一门基础课，但受到各种因素的影响，其教学效果始终不是很理想。

随着教学模式的不断改革，线性代数的立体化教学模式逐渐被认可和推广。

本文论述了线性代数立体化教学模式的特点与具体措施。

以期本文能够为我国高校的线性代数的立体化教学模式和研究分析作一些贡献。

【关键词】线性代数 ;立体化 ;教学模式【中图分类号】G42 ;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）09-0132-01随着近些年来高校对线性代数课程教学改革的研究的不断深入，学校更加重视学生的专业素养、综合素养、实践操作能力和创造创新能力。

在这样的背景下，更符合时代需求和大学生们的需求的线性代数立体化教学模式应用而生。

一、传统课程模式与教学应用效果不匹配线性代数是工科专业学生数学课中十分重要的一门课，它是除高等数学外最为重要的一门课。

但是，在线性代数的教学中，我们发现学生们除了会做一些课本上的习题作业，能够应付了期末考试，线性代数的本质和精髓他们一概不知。

进入工作岗位后，工科学生会发现自己所学的线性代数知识和工作岗位的知识无法匹配，线性代数的本质和精髓自己一无所知，更何谈工业创新和技术创新？而立体化教学却恰恰可以有效的解决这一问题，这就是当前推行线性代数立体化教学模式的原因。

二、线性代数立体化教学模式的优点传统的线性代数教育模式中，老师都是起着完全主导的作用，学生们的思考过程很少，老师也很少重视学生们的思想状态。

立体化教学模式则不同于传统的教学模式，这种模式以学生为教学的核心，老师们可以通过不同的上课模式进行切入以提高学生们的上课兴趣，这样他们也有更强烈的学习动力和欲望。

立体化教学模式也可以让老师之间有更多的互动、交流和学习，老师也会有更多的方法来引导学生进行学习线性代数。

这样，老师就成为了一个好的引导者，而不是教育者。

ｅ ． Ａ Ａ Ａ ． －（ ） 这里 Ａ ． 。Ａ 表 示代 数余 子式 ， 口 】 ， ， Ａ 则 一ａ
×％（ ， ｃ 的向量积 ） 的模等 于 以 向鼙 口 ， 为邻 边 的平 行 四边 形 的面积 ． ｒ 它 ．啦 三阶行 列 式 的值等于 卢与 的 内积 ， 吼 ， ， 的混合 积 （ ． ， ， 即 ％ 口 ． ％） 即
ｌ． ４ ｌ Ｏ ． “ｌ Ⅱ ， 。是 ｆ １ ｆ， ｄ］ ｌ ｘ ｙ平面上以向量口＝Ｉ ｌ 。 ， ＝ｌ“ 为邻边的平行四边形的有向面积： 口 ｌ 当这个平行四
ｔ１ １ ２ ２ｌ ２ ｌ Ｊ “Ｐ 【 ：Ｊ ０２
边形是 由 向量 口 沿 逆时 针方 向转动到 啦 而得到 的 ， 面积取正 值 ； 当这个 平 行 四边形是 由 向量 口 沿顺 时 针方 向转 动到 而得 到 的 ， 面积取 负值 ； 若 ， 与 舟． 构成 的平 行 四边 形 的 有 向面积 符 号相 同 ｔ 恳 称
它们 有 相 同定 向． 以平 面 上平 行 四边形 有 两 种定 向． 似 地 ， 阶行 列式 的值 就 是 它 的 ３个 向量 在 所 类 三
Ｏ ｙ 空 间上 张成 的平行 六 面体 的有 向体 积． ｘｚ 这里空 间平 行 六面体 也有 两种 定 向 ： ａ ， ∞ 构成右 手 当 】口 ， 系时 ， 体积取 正值 ； 当 ， ， 构成 左手 系时 ， 体积 取负 值． 这就 使 学生 感到行 列式 是看 得见 ， 摸得 着 的
一
个数 ． 同时 启发我们 可 以把 ｎ 阶行 列式定 义 为 个 维 向量 张成 的 维平行 多 面体 的有 向体积 ． 么 那
： 稿 日期 ２ ０ ２１ 收 ０ １０ －９
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又 线牲代数课程院 余 丽琴 董玉娟 杨 宏林
［ 要］ 摘 线性代数是 高等 学校 理工科各专业重要 的基 础课 ， 高校人 才培 养起 着非常重要 的作 用。本 文结合线性代数课程本 身的 对 特点及作者 多年的教学实践， 对线性代数课程体 系及教 学方法进行 了探讨。 ［ 关键词］ 线性代数 课程体 系 教学方法 有 内容讲完之后 ， 给学生做个小结 ， 即把所有关于线性方程组 的内容完 线性代 数是高等学校 理工科各专业 的－ Ｉ重要 的基 础理论课 ， － １ 主 整地展现给学生 ， 使学生对线性方 程组内容有一个更 为清晰 的整体认 要研究变量之 间普遍存在 的线性 关系。该课程 区别于其它课程 的显著 识 ， 这样效果会好得多 。 特点 是高度 的抽象性 、 严密 的逻辑 性及广泛 的应 用性 。 由于线性 问题 另一 种方 法是把线 性方程组 的内容作 为一个整体 ， 行列式 、 放在 矩 广泛 存在于科学技 术的各个领域 ， 因此本课程所 介绍的思想方法 广泛 阵 、 向量组的线性相关性之后 ， 中解 决。其优点在于能在 ２ ３ 集 — 个学时 地应 用于各个学科 。在科学技术 飞速发展 ， 计算 机技术 日新月 异的今 内把线性代数中关于线性方程组的所 有内容全部完整地讲清楚。由于 天， 该课程在本 科教育 中的地 位更 显得重要 。该课程 的教学 目标至少 该课程课 时相对紧 张ｆ 我校为 ３ ０课时）因此 这种处理 方法对缓解 课时 ， 可以从两个层 面上来理解 ： 一是通过该 门课 程的教学使学生 掌握线 紧张的压力有 一定作用 。而且教 师在讲授时 ， 可以一气 呵成 。但这 其 也 性代 数的基本概念 、 基本理论和基本方法 ， 为学习后继课程打下坚实 的 种处理也有它的不足 ， 那就是在前面一些内容的讲授过程 中， 会用到方 基础 ； 同时通过 本课程 的教学培 养学生 的抽象 思维能力 、 间想 象能 程组的 内容 ， 空 比如在讲向量组的线性相关性时 ， 根据定义判断一个 向量 力、 逻辑推理能力以及建立数学模型 、 解决实际 问题的能力。 组 的线性相 关性 ， 际上 归结为判断一个 齐次线性方程是 否有非零解 实 线性代数课程的特点使得学生对该课程的学 习和理解存在一定 的 的问题 ， 这就给前面 的教学带来一定 的困难 。当然 ， 是 个 ／ 向 如果 ， ７ 维 困难 。广 大的高校数学基 础课教师也一直 在努力地从课程 体系 、 教学 量构成 的向量组 ， 可以用克莱姆法则解决 。 内容 、 教学方法及教学手段等 多个角度 ， 探讨摸索如何使学生 能更好 的 ２３矩阵的秩与向量组的秩 － 学好这门重要的基础课ｎ 。笔者结合 自己多年从事线性代数课程教学 秩是线性代数 中最抽象最深刻 的概念之一 。向量组 的秩一般都 是 的经验 ， 谈谈 自己对该课程的内容体系及教学方法 的体会 。 通过 介绍 了向量组 的线性相关性之后 ， 通过 向量组 的极 大线性无 关组 ２线性代数教 学体 系 ＿ 中所含向量个数来 定义的。而对于矩 阵的秩 ， 一种方 法是通过矩 阵的 线性代数 的主要 内容包括 ： 行列式 ； 阵 ； 矩 向量组的线 性相关 性 ； 线 最高阶非零子式 的阶数来定义 ， 一种是通过矩 阵与向量组之 间的联 另 性方程组 的求解 ； 阵的特 征值理论 及二次型 ； 空间等。其中按非 系 ， 方 线性 分别把矩 阵的行（ 向量 组的秩定义为矩 阵的行（ 秩 ， 列） 列） 并证明矩阵 理科专业线性代数课程教 学大纲的要 求 ， 线性空间属于选学内容 ， 其他 的行秩与列 秩相等 ， 而把矩 阵的行 秩与列 秩统称为矩阵的秩。 当然 ， 从 的均 为必学 内容 。线性 代数教学 内容经过多年的锤炼 ， 已成经典 ， 想要 无论哪种处 理方式 ， 最终 向量 组的秩与矩 阵的秩 都可 以用矩 阵的初等 进 行大 的改 动很难 。但 在部 分 内容 的安排 和处理 上 ， 还是 可以灵 活 行变换来解决 。我认为第一种处 理方式更能体 现矩阵秩 的本质 ， 而且 的。以下 是作者对 目前线性代数教材 中部分 内容不 同处理方法的认识 在通过 子式 定义了概念之后 ， 立刻就可 以通 过具体的例 子来 求矩阵 的 和感受 。 秩， 也就 能水 到渠成 地得 到行 阶梯形 矩阵 的秩 就等 于其非 零行 的个 ２１ 列 式 概 念 的 引入 ．行 数 。所 以在证明 了初等变换 不改变矩 阵的秩 这一结论之后 ， 通过初等 行列式是线性 代数重要 的概念之一 ， 而且一般都安排 在教材 的第 行变换求矩阵的秩（ 或向量组 的秩 ） 就很 自 了！ 然 章， 应该说 是学生接触 到的第一个概念 ， 因此 ， 对这 一概念的理解 掌 不 同教 材的处理方法各有 自己的优 缺点 ， 笔者在此 并无意批评 其 握程度 十分重要 。在行 列式概念 的引入上 ， 主要有 两种方法 。两种 方 中的任何一种 ， 只是谈一下 自己对各种处理方法 的认识 和体 会 ， 并愿意 法 的相同之处 在于都是 首先 通过消元 法解二 、 三元 线性方程组 ， 出 给 和各 位同仁交流 。至于教师在教学实践 中究竟采用 哪种 处理方法 ， 我 二 、 阶行列式 的定 义， ｉ 然后推 广到 阶行列式 。区别 就在 于推广的方 想不可一概而论 ， 该根据教师对 教材的理解 以及个 人教学风 格并 结 应 式不 同， 一种是通过对二 、 三阶行 列式的结构分 析 ， 找出内在规 律， 引入 合学 生的实 际情况进行取舍 ， 总之 目的只有 一个 ， 那就是尽可能使学生 全排列及逆序数 的概念 ， 而把二 、 从 三阶行列式推广到 阶。这样能使 能够学好这 门课 ， 并且学得轻松 。 学生对 阶行列式 的本 质有一个深刻的理解和认识 。即 阶行列式表 ３线 性 代 数 教 学 方 法 ． 示构成行 列式的 个元 素之间的一种特定 的线性运算 ， 结果是一个 其 前面我们对线性代 数课程 的内容体系进行 了探 讨 ， 但我 想强调一 数 。再具 体说 ， 表示 ／ 项 的代数和（ ／ － ！ ｉ Ｅ负项各 一半）每项由表中既不同 点 ， ， 那就是无 论哪种体 系结构 ， 都要靠教师去 传授去实践 ， 因此要想全 行也不 同列 的 个元素 的乘积构成 ， 且当每项 个 元素的行（ 标取 自 列） 面提高线性 代数 的教学质量 ， 不但要对课程体 系和教学 内容 进行优化 然排 列时 ， 其前面的正负号 由列（ 标排列 的奇偶性确定 。另一种方法 组合 ， 行） 还必须对教学理念 、 教学方法进行更新和完善 。以下是作者在 教 是 在给 出二 、 三阶行列式 的概念 之后 ， 直接 用行 列式的按行（ 展开法 学 实 践 中 的 一 些 体会 。 列） ３１ ． 深刻理解概念 的本质 ， 注重对相近概念 的辨析 则 作为 阶行列 式的概念 。这样处理更直 接 ， 省去 了全排 列及逆序数 线性代 数最大 的特点 就是抽象 ， 生理解 起来特 别困难 。所 以对 学 这一部分内容， 但不利于学生理解概念的本质 。当然 ， 如果教师在按这种 方法给出概念之后， 能对行列式概念的本质做进一步的阐述， 也是很好 的。 些 基本概念 的理解 和掌握就显得尤 为重要 。如行 列式 和矩阵 ， 定 一 ２２线 性 方 程 组 部 分 ． 要 给学生讲 清楚二者本质 的区别 ， 就是行列式本 质是 一个算 式 ， 那 其结 线性方程 组有解 的条件 、 求解方法 及解的结构理 论是线性代数 的 果是一个数 。而矩 阵只是一个数表 ， 尽管方 阵有行列式 ， 方阵的行列 但 重要 内容之一 。一种 方法是把线性 方程问题作 为整个教材 的主线 ， 这 式 与方阵本身是 不同的 。这两个概 念之间 的辨析 ， 对初学者来说 还是 部分 内容被分散 到教材 的各个 章节 。通常在矩阵部分给出方程组的矩 有 一定困难 的， 需要 教师在教学过 程中多次反复 强调。再 比如矩 阵之 阵表示 ， 并通过 消元 法求解 线性 方程组的实质给出矩阵的初等变换 ， 再 间的等价 、 相似及合同关系 ， 这三种关 系既有联系又有区别。等价是矩 描述的是 同型矩阵间 的关系， 而相似与合 同则只能 通过矩 阵的初 等行 变换 求解线 性解 方程组 。在介绍了矩阵秩的概念之 阵间最一般 的关系， 后， 结合求解方法 给出非齐次线 性方程组有解 及齐次线性方程组 有非 针对两个同阶方阵而言。并且从三者的定义很容易得到相似或者合 同 零 解条件 。最后 在讨论了 向量组 的线性相关性 之后 ， 讨论线性 方程组 的两个矩阵， 一定是等价矩阵， 反之则不成立（ 讲课时给 出反例） 。即矩 阵 解 的结构理论 。这种处理方法 的优点在于 ， 利用方程组把整个 教材 内 等价是这三种关系 中是最弱的一种。进一步 比较相似与合

线性代数问题驱动教学方法探究一直以来，在工科院校中线性代数学科都是一项重要基础课程。

随着时代的发展，线性代数的应用也已经渗透到多个领域。

为了更好地体现线性代数在各个领域的实际应用，大学线性代数教学便显得尤为重要。

为了提高大学线性代数的教学质量，迫切需要深入研究的便是线性代数问题驱动教学方法。

本文中，笔者将阐述线性代数问题驱动教学方法的意义，并且针对问题驱动线性代数教学做详细研究。

标签：问题；线性代数；课堂教学一、以问题驱动线性代数教学的意义线性代数因为相对抽象的课程内容而不容易被现在的大学生所接受，学生往往因为对知识点的理解困难而导致一开始学习线性代数就知难而退。

这个时候，便需要教师在课堂教学中解决大学生的学习困难，并且激发大学生对线性代数学习的热情和兴趣。

为了更好地实现教学效果，教师不能够只停留在传道、授业、解惑的阶段，而是需要教师通过线性代数问题驱动的教学方案，将原本枯燥无味、抽象难懂的教学内容转化为“问题”，并且通过提问和解答问题为切入点传授知识和进行指导，促使学生可以更有兴趣地去研究问题，解决问题，化难为易，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛。

二、以问题驱动线性代数教学的研究1.以激发大学生探究兴趣为原则，设计课堂问题设计课堂问题的意义在于，强化大学生的线性代数知识，培养大学生解决问题的能力，激发大学生研究问题的兴趣。

教师应该结合大学生现有的知识水平，依据线性代数课本内容，全面、科学、透彻地设计课堂问题。

当然，设计出的课堂问题需要紧扣课本教学并明确教学目标，还要融入科学技术且与实际生活相联系。

提出的课堂问题还得新颖且具有足够的吸引力，从而激发大学生的学习热情，促使大学生对线性代数这门学科产生探索欲。

（1）设计基本概念问题。

在学习线性代数的过程中，超过半数的大学生仍停留在死记硬背基本概念的初级阶段，加之没有线性代数的学习热情，从而致使其并没有更深地去学习和理解相关知识，最终导致大学生在学习线性代数的过程中遇到问题的时候，没有明确的解题思路。

线性代数课程的特点与教学方法探究线性代数是大学数学课程中的重要组成部分，它在工程、计算机科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

线性代数课程的特点与教学方法对于学生的学习和理解具有重要的影响。

本文将探究线性代数课程的特点与教学方法，以期为教师和学生提供一些参考和启发。

一、线性代数课程的特点1. 抽象性强线性代数是数学中的一门重要课程，该课程是以向量、矩阵和线性变换为主要研究对象的，因此其抽象性较强。

学习线性代数需要学生具备较强的数学抽象能力，能够理解和运用抽象概念。

2. 应用性强3. 抽象与具体相结合线性代数既有着较强的抽象性，又有着很强的具体性。

在学习线性代数时，学生需要理解抽象概念和理论，同时还需要学会将其应用到具体问题中去，这就要求教师在教学中既要注重理论知识的传授，又要注重实际问题的讨论和解决。

4. 数学推理与计算相结合线性代数课程注重数学推理和计算方法的结合，学生需要既能够理解和运用数学推理，又要具备扎实的计算能力。

1. 强调基本概念与定理线性代数是一门重要的数学学科，它有着严谨的逻辑结构与丰富的理论体系，因此在教学中要注重基本概念与定理的讲解。

教师应该着重介绍向量、矩阵和线性变换等基本概念，还要引导学生理解与掌握这些概念所对应的定理和定律。

2. 注重应用与实践线性代数虽然有着较强的抽象性，但其应用性却是其最重要的特点之一。

因此在教学中要注重线性代数的应用与实践，教师可以设计一些实际问题，让学生通过线性代数知识的学习来解决这些问题，从而增强学生的实际应用能力。

3. 强调逻辑推理与证明线性代数是一门以逻辑推理与证明为主要内容的数学学科，因此在教学中要注重培养学生的逻辑推理能力。

教师可以选择一些重要的定理进行详细的证明，引导学生认识证明的重要性，培养学生的逻辑思维能力。

4. 强调计算方法与技巧线性代数在教学中还要注重计算方法与技巧的训练。

教师可以选择一些典型的例题，通过详细的讲解与分析，帮助学生掌握线性代数的计算方法与技巧，提高他们的计算能力。

面向几何直观和计算思维的线性代数混合式教学方案作者：张大明李璐刘华勇来源：《牡丹江师范学院学报（自然科学版）》2020年第04期摘要：提出一种面向几何直观和计算思维的线性代数课程混合式教学方案.新的混合教学模式可以在线性代数中培养学生的几何直观能力和计算思维能力，既有利于教师持续提高教学水平，也有利于学生提高信息化学习能力和自我思考能力.关键词：线性代数;几何直观;计算能力;混合式教学[中图分类号]G623.5 [文献标志码]AAbstract：A teaching scheme based on geometric intuition and calculating ability in linear algebra course is proposed.The new blended teaching scheme aims to improve the geometric intuition and calculating ability in linear algebra course.Then，the teaching competence of teaches will be polished，and the informatization learning ability and the self-taught ability will be improved at the same time.Key words：linear algebra;geometric intuition;calculating ability;blended teaching线性代数问题广泛存在于自然科学和工程技术的各个领域中，其理论和方法得到广泛的重视和应用.线性代数是高等数学中的经典理论课程，对于培养学生的抽象思维和科学素养具有重要作用，是理学和工学等专业的公共基础课.线性代数的概念因其抽象性和形式化，使得学生在学习过程中产生了较大的困难.学生难以理解线性空间理论中的形式化，更难以解释形式化的概念跟几何或线性方程组理论中更直观内容之间的关系.形式化将数学定义为严密的证明科学，做数学的唯一方法就是进行证明，只有通过严密证明得到确定的数学结论，才是完成了做数学的过程.杜宾斯基[1]指出，学生在学习线性代数时，遇到困难的原因包括：（1）教师是教学的主导者，他在教学过程中完全是单向的向学生灌输各种概念、定义和定理，学习的内容和必要的操作也是完全由教师来告诉学生.数学思维的过程是完全由教师来进行展示和操作，学生往往不理解概念的意思，但是可以直接进行计算的操作.学生只记住了概念，就可以直接应用相关的算法来解题——如用高斯消去法进行初等行变换，可以得到矩阵的阶梯形——这是线性代数的优点，同时也是数学教学所面临的弱点和挑战.（2）学生缺乏对于线性代数所需背景概念的理解，这些背景概念往往能够解决线性代数之外的很多问题.通常这些问题是数学家所不关心的，也是数学教师所不了解的，但对于学生的学习而言却很重要——它们助于建立学习的动机.（3）缺乏有效的教学策略让学生形成自己的思考.一味的接受现成的理论和方法，不利于帮助学生建构自己对概念的理解.线性代数的某些概念在三维以下空间中具有形象的几何意义.从数学的发展来看，几何与代数是很难完全分离的，所以线性代数的几何化能够真正建立概念意象.人们设计并实施以几何的方式融入线性代数教学的方案，将线性代数概念赋予更多具体的几何意义，以此克服抽象的概念所带来的困难和形式化的障碍.[2-3]但同时也需要注意到，从几何的角度引入概念，会让学生很难与代数表征关联起来，在推广形式化概念的过程中会遇到一些困难.[4]由于几何只能限于三维空间，如秩、合同等概念，在几何情境下讲述就会受到很大的限制.所以，几何直观在线性代数中虽然是一种常用的手段，但在现实几何中的使用常常流于表面，甚至是肤浅的.对于学生而言，在线性代数中利用几何表示或以几何为参照物，并不总是有益的.换言之，几何参照有时成了学生理解一般线性代数的障碍.因此，几何直观会成为一个积极的因素，但必须加以精心设计和使用，要在把与代数的联系讲清楚的条件下使用.[5-6]1 几何直观教学实践混合式教学的思路：教学要由直观到抽象，由低维到高维，再指导具体的问题解决.首先，阐述线性代数概念中的低阶几何意义，借助数学软件演示实现数与形的结合，使得学生能直观的体会概念在二维三维空间中的几何意义;其次，推广到一般的高维空间中去，抽取具体几何意义，在抽象的意义上进行论证，在具体几何应用中讲解其一般概念.1.1 从二维、三维的几何意义出发使学生领会教学内容的本质线性方程组是线性代数中最为经典和重要的内容.一般比较重视高斯消去法解法步骤的教学，注重对方程组无解、唯一解和无穷解的秩的判别方法解释，往往会陷入到机械的解题步骤训练和枯燥定理的记忆中去，不利于学生深刻把握问题的实质.笔者从二维、三维的几何意义出发，使学生更加容易领会教学内容的本质.A和A～分別表示方程组系数矩阵和增广矩阵.这种归纳教学，非常有利于学生将方程组理论用几何图形进行直观，理解.进一步把方程组推广到高维情形下，用图形帮助学生理解方程组解的情形的判定，深入理解方程组中一系列定理的本质.r是系数矩阵的秩，也是最终方程的个数，n是未知数的个数，n-r是自由未知量的个数.n=r则没有自由未知量，那么，解当然就唯一（图4（a）），否则r1.2 利用正交变换保持图形几何性质不变的特性，解决复杂的二次曲面（线）形状问题正交变换有保持图形几何性质不变的特性，对于解决复杂的二次曲面（线）的形状问题具有很大的优越性.一些二次曲面，直接看不出它的图形类别，通过正交变换之后，就可以判断曲面的类型.这个过程相当于从几何图形上寻求二次型主轴的问题，通过正交变换使得相应矩阵对角化，即找其主轴大小和方向，也就是求矩阵的特征值和特征向量.用特征向量组成正交矩阵，把二次型对角化，简化二次型，从而判断二次曲面的类型.例如判断方程3x2+4xy+2z2=1所代表的二次曲线类型.方程左边实际上是三元的二次型，可设为f（x，y，z）=3x2+4xy+2z2，其对应矩阵为：3 2 02 0 00 0 2.容易求得其特征值为4，2，-1，从而可得原二次曲面的标准方程为4x21+2y21-z21=1，易知该曲面为单页双曲面，见图5.三元二次曲面的图形大致可以分类为椭球面、双曲面、圆锥面、柱面、平面及直线等，其标准的二次曲面方程参考文献[7].二次型的几何意义除了体现在判断二次曲面的几何形状外，其正定性也有明显的几何意义.当函数为正定二次型时，可由坐标变换化为系数全为正的标准型，于是图形横切面f（x，y）=c是以原点为中心的椭圆族，随着c减小且趋于零而收缩到原点.如f（x，y）=14x2+y2是一个正定二次型，它的图像是一个开口朝上的椭圆抛物面，整个曲面除顶点在坐标平面原点上，其余均在x oy平面的上方（图6（a））;f（x，y）=2x2是半正定二次型，它是一個开口朝上的抛物柱面，整个曲面有一条母线在x oy面上，其余均在x oy面上方（图6（b））;f（x，y）=xy是一个不定二次型，图形是一个马鞍面，显然马鞍面上正值、负值、零都是存在的（图6（c））.2 计算思维教育计算思维教育是将知识传授与能力的培养相结合，着眼于使用计算机方法实现对数据的处理与模型求解.计算思维是以表达和计算为特征进行问题求解、系统设计以及人类行为理解的思维活动.[8]计算思维贯穿于理工科的各个专业.作为理论基础课程的线性代数，其内容与本质和培养学生的计算能力和创新能力是一致的，大数据和人工智能是以矩阵向量等为工具进行基本数据计算实现模型的推理.线性代数的一些主要计算方法体现了许多计算思维的本质问题——如行列式、矩阵初等变换、矩阵求逆等问题——有着非常规整和严格的算法，也非常适合算法设计与计算机实现，学生在大学低年级阶段，通过线性代数课程的学习，可以提高建模能力和计算思维能力.第一，有利于教师个性化指导.混合式教学可以进行线上线下多方面的交流与指导，深程度地参与学生的监督与交流过程，多方面掌握学生的学习效果与特征，为学生提供丰富的学习资源，实现因材施教，个性化教学，最终提高学生对概念的理解.第二，有利于对学生计算思维、逻辑思维以及自学能力的培养.学生在设计算法和编制程序时，需要从数据的结构出发，考虑程序的严谨性，还需要查阅资料，进行广泛的阅读.教师通过引导学生分析和完善示例程序，从定义到手工计算，再到算法设计和编程以及程序的调制，通过一系列的学习流程，提升学生的计算能力.第三，混合式教学可以实现理论与实际相结合，综合提高学生的思维能力、计算能力和动手能力，实现理论知识、设计算法和编程的学习，为后续专业学习培养坚实的计算思维能力.笔者以逆矩阵的求解问题为例，说明计算思维教育的具体做法.3 结论提出一种面向几何直观和计算思维的线性代数课程混合式教学方案.新的教学方案可以在线性代数中培养学生的几何直观能力，培养学生的计算思维能力，既有利于教师持续提高教学水平，也有利于学生提高信息化学习能力和自我思考能力.参考文献[1]DUBINSKY E.Some thoughts on a first course in linear algebra at the college level[C].CARLSON D，JOHONSON，C R，LAY D C.Resources for the teaching of linear algebra.The Mathematical Association of America，1997：85–105.[2]杜美华，孙卫卫.三元齐次线性方程组的几何解法[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（3）：8-10.[3]宋晓辉.线性代数教学中学生逻辑思维能力的培养[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2014（1）：62-64.[4]CARLSON D，JOHNSON C，LAY，et al.The Linear algebra curriculum study group recommendations for the firstcourse in linear algebra [J].College Mathematics Journal，1993 （24）：41–46.[5]David y，Steven y，Judi J.McDonald.Linear Algebra and its Applications5e[C].Linear algebra and its applications.Wiley-Interscience，2004.[6]陈怀琛.论工科线性代数的现代化与大众化[C].中国电子教育学会高教分会2011年论文集，2011.[7]任广千，谢聪，胡翠芳. 线性代数的几何意义[M].西安：西安电子科技大学出版社，2015.[8]Wing J putational thinking[J].Communications of The ACM，2006，49（3）：33-35.[9]Golub G H，Loan C F V.Matrix Computations[M].Johns Hopkins University Press，1996.编辑：吴楠。

习 的 内容 。在 此探 究 的模 式下 ， 可 以进一 步激 发学
探究 式课 堂教 学 就是 要求 学 生 以 自主 、 探究 、
提高学 生 的学 习兴趣 。 合作 的态度参与整个学习过程 【 ｌ ＿ 。在此教学模式 生 的求知 欲 ， 探 究式 教 学不 仅 培养 了学 生 独 立思 考 和 解决 下 ，教师起到引导和启发的作 用 ，打破 了传统的 “ 教 师讲 、 学生 听 ” 的教 学模 式 。学 生是 主 体 ， 培养 问题 的能 力 ，更 为学 生创 新 能力 的培养 奠 定 了 坚
教师 与 学 生之 间 的互 动 ，忽 视学 生 的 自主创新 能 启 发 ” 的方 式 ， 让 学生 通 过 自学 和讨 论 的方 式来 解 进 而 达到获 取知 识 的 目的。 力的培养 ，一切以传授课本知识 和完成教学大纲 决 问题 ， 的任 务 为唯一 目标 。显 然 ， 这 种教 学模 式 已经滞后 比如 ， 在线 性 代数 的教学 中 ， 行 列式 的理 论 源
关健词 ： 线性代数 ； 教 学模式 ；实践教 学
基 金项 目：黑龙江省教 育科 学“ 十二五” 规划 ２ ０ １ ２年度课题 “ 复 变函数与积分 变换课 程教 学改革的研 究与实践” （ 项 目编号： Ｂ Ｂ １ ２ １ ２ ０ ５ ６ ） ； 黑龙 江省高等教 育学会“ 十二五” 教 育科 学研 究规划课题“ 应用型本 科高校工程数 学 系 列课教 学改革 的研 究与 实践” （ 项 目编号 ： ＨＧ Ｊ ＸＨＣ１ １ ０ ９ ０ ９ ） 作者简介 ： 阮万清 ， 女， 黑龙 江科技大学讲 师， 硕士 ， 主要研究方向为系统 的稳定性 与鲁棒控制。
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ４ — ７ ７ ４ ７ （ ２ ０ １ ３ ） １ ５ — ０ ０ ５ ０ — ０ ２

高校经管类专业线性代数教学的思考[摘要]线性代数是高等院校经管类专业的必修课程，由于其内容比较抽象，学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。

因此，在线性代数的教学中，如何合理、有效地帮助学生理解和掌握抽象的理论知识就显得尤为重要。

本文研究并结合几何直观与实际案例进行线性代数教学的重要性及实质内涵，探讨了具体的实施方案，针对现状提出了合理化建议。

[关键词]线性代数；直观性；几何空间；图解法1前言线性代数作为经管类学生的一门重要的数学基础课程，对培养学生的计算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力等方面发挥着重要的作用。

由于经管类学生有的高中是文科，所以对于数学类知识掌握的不是很好。

传统的教学法比较偏重理论的系统性，往往对线性代数在其他领域的应用重视不够；内容抽象、枯燥，定义太多，导致学生对线性代数望而生畏，没有兴趣也没有信心学习这门课程。

2当前线性代数教学模式存在的问题目前，高校的经管类线性代数教学过程中存在着很多问题，主要体现在：第一，经管类学生对于数学的独立思考能力较差，在学习具体内容时，是知其然不知其所以然，解题时只会套公式，不能在理解的基础上灵活地应用。

因此，这导致他们不能系统的理解和掌握线性代数知识，不能有效地将数学知识用于解决实际问题。

3解决方法31培养一种抽象思维方式抽象思维的能力是可以被训练的，方法之一就是通过线性代数等相关数学课程的学习来培养。

这门课程会告诉你n维空间，甚至一般的仿射空间，这些都超出了现实的直观几何范畴，实际上，要利用现在发达的计算机技术处理实际问题，就必须将问题抽象化，经过计算机处理后再回到现实问题的处理上，这一点对工科类学生尤为重要。

32问题驱动所谓问题式教学法，就是以提出问题、分析问题、解决问题为线索，并把这一线索始终贯穿整个教学过程。

即教师首先提出问题，学生带着问题自学教材，理解问题、讨论问题，最后教师根据讨论的情况，有针对性地讲解，准确地引导学生解决问题。

这种教学法操作简便，适合独立学院学生的特点，实践效果良好。

《线性代数》课程教学大纲课程名称：线性代数课程代码：课程性质: 必修总学分：2 总学时： 32* 其中理论教学学时：32*适用专业和对象：理（非数学类专业）、工、经、管各专业**使用教材：注：（1）大部分高校开设本课程的教学学时数约为32—48学时，为兼顾少学时高校开展教学工作，本大纲以最低学时数32学时（约2学分）进行教学安排，有多余学时的学校或专业可对需要加强的内容适当拓展教学学时。

（2）对线性代数课程而言，理工类与经管类专业的教学基本要求几乎一致，所以这里所列教学内容及要求对这两类专业均适合。

一、课程简介《线性代数》是高等学校理（非数学类专业）、工、经、管各专业的一门公共基础课，其研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

该课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性。

主要内容是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法，使学生具有熟练的矩阵运算能力并能用矩阵方法解决一些实际问题。

通过本课程的学习，使学生理解和掌握行列式、矩阵的基本概念、主要性质和基本运算，理解向量空间的概念、向量的线性关系、线性变换、了解欧氏空间的线性结构，掌握线性方程组的求解方法和理论，掌握二次型的标准化和正定性判定。

线性代数的数学思想和数学方法深刻地体现辩证唯物主义的世界观和方法论，线性代数的发展历史也充分展示数学家们开拓创新、追求真理的科学精神，展现古今中外数学家们忠诚爱国、献身事业的高尚情怀。

思想政治教育元素融入线性代数的教学实践之中，可以培养学生用哲学思辨立场、观点和方法分析解决问题，能够提高学生的创新能力和应用意识，培养学生的爱国主义情怀、爱岗敬业精神和开拓创新精神，帮助学生在人生道路上形成良好的人格，树立正确的世界观、人生观、价值观。

线性代数理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在物理、化学、生物、航天、经济、工程等领域中都有着广泛的应用。

同时，线性代数课程注重培养学生逻辑思维和抽象思维能力、空间直观和想象能力，提高学生分析问题解决问题的能力。