2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数的奇偶性教学设计 新人教A版必修1.doc

1.3.2 奇偶性学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).知识点 函数的奇偶性 函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(1)对于函数y ＝f (x )，若存在x ，使f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )一定是奇函数.( ) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.( )提示 (1)× 反例：f (x )＝x 2，存在x ＝0，f (－0)＝－f (0)＝0，但函数f (x )＝x 2不是奇函数；(2)× 存在f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数，又是偶函数；(3)× 函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.题型一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.解 (1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(2)∵函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0， 又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数. 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法： (1)定义法：(2)图象法：【训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1.解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称.又∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域是R ，关于原点对称.又∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数.(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数.题型二奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小.解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)<f(4).考查题型三函数奇偶性的应用方向【例3－1】 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，若f (－3)＝10，则f (3)＝( ) A.26 B.18 C.10D.－26解析 法一 由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8， 得f (x )＋8＝x 5＋ax 3＋bx . 令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋8， ∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x ) ＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )， ∴G (x )是奇函数，∴G (－3)＝－G (3)， 即f (－3)＋8＝－f (3)－8.又f (－3)＝10， ∴f (3)＝－f (－3)－16＝－10－16＝－26. 法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）＝（－3）5＋a （－3）3＋b （－3）－8，①f （3）＝35＋a ·33＋b ·3－8，② ①＋②得f (3)＋f (－3)＝－16， 又f (－3)＝10，∴f (3)＝－26. 答案 D方向2 利用奇偶性求参数值 【例3－2】 若函数f (x )＝（x ＋1）（x ＋a ）x为奇函数，则a ＝________.解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即（－x ＋1）（－x ＋a ）－x＝－（x ＋1）（x ＋a ）x，显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，解得a ＝－1. 答案 －1方向3 利用奇偶性求函数的解析式【例3－3】 已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式.解 设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )可求函数值，比较f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )的系数可求参数值.2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x ).课堂达标1.下列函数是偶函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝2x 2－3C.y ＝xD.y ＝x 2，x ∈(－1，1]解析 对于A ，f (－x )＝－x ＝－f (x )，是奇函数；对于B ，定义域为R ，满足f (x )＝f (－x )，是偶函数；对于C 和D ，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B.答案 B2.若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 f (－x )＝(m －1)x 2－(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)，由f (－x )＝f (x )，得m －2＝0，即m ＝2. 答案 B3.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 答案 124.如图，已知偶函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝0，则不等式f (x )<0的解集为________.解析 由条件利用偶函数的性质，画出函数f (x )在R 上的简图(如图).数形结合可得不等式f (x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，435.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，求f (x )的解析式.解 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x －1.当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，0，x ＝0，x －1，x <0.课堂小结1.定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0).3.应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )对函数值及函数解析式进行转换.基础过关1.函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A.y 轴对称B.直线y ＝－x 对称C.坐标原点对称D.直线y ＝x 对称解析 ∵f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－1x＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x－x 是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，故选C.答案 C2.设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|g (x )是奇函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数解析 ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|为偶函数，|g (x )|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )|g (x )|为奇函数，故选C. 答案 C3.一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图，下列说法正确的是( )A.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是－7解析 根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出在[－7，7]上的图象，如图所示，可知：这个函数有三个单调增区间；这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7；这个函数在其定义域内最小值不是－7.故选C.答案 C4.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数， 则a －4＝0，即a ＝4. 答案 45.已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f (2)＝－3，则m 的值为________.解析 因为f (x )是奇函数，f (2)＝－3，所以f (－2)＝－f (2)＝3，即f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，解得m ＝12.答案 126.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3xx 2＋3； (2)f (x )＝(x －1)x ＋1.解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－3xx 2＋3＝－f (x )，故f (x )是奇函数.(2)f (x )的定义域为[－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.7.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1. (1)求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1. 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1. 当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－x ＋1，x <0.(2)作出函数图象，如图所示.由函数图象易得函数的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.能力提升8.定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝（a －b ）2，则函数f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2为( )A.奇函数B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇函数且非偶函数解析 f (x )＝2⊕x （x ⊗2）－2＝4－x2（x －2）2－2，由⎩⎨⎧4－x 2≥0，（x －2）2－2≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， 所以f (x )＝4－x 2（2－x ）－2＝－4－x2x ，易得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数. 答案 A9.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.－12D.12解析 依题意得：f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ，∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.故选B.答案 B10.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.解析 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，即f (1)＋g (1)＝1. 答案 111.函数f (x )为R 上的偶函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝________. 解析 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1). 因为函数f (x )为R 上的偶函数， 故f (x )＝f (－x )＝x (x ＋1). 答案 x (x ＋1)12.判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1（x >0），x 3＋3x 2－1（x <0）的奇偶性. 解 函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ①当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )3＋3(－x )2－1＝－x 3＋3x 2－1＝－(x 3－3x 2＋1)＝－f (x ). ②当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )3－3(－x )2＋1＝－x 3－3x 2＋1＝－(x 3＋3x 2－1)＝－f (x ). 由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.13.(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值.解 ∵函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).因此，有ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，∴c ＝－c ，即c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .由f (2)<3，得4a ＋1a ＋1<3，即a －2a ＋1<0，解得－1<a <2.∵a ，b ，c ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时，b ＝12∉Z (舍去).当a ＝1时，b ＝1.综上可得，a ＝1，b ＝1，c ＝0.。

C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
4．若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝________.
3 [∵f(x)为 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]
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[合 作 探 究·攻 重 难]
函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x；
图 1-3-9 (1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象． (2)根据图象写出函数 y＝f(x)的增区间． (3)根据图象写出使 f(x)<0 的 x 的取值集合.
第三十二页，编辑于星期日：二点 四分。
[答案](1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使 f(x)<0 的 x 的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
图 1-3-7
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[解] 因为 f(x)＝ 1 所以 f(x)的定义域为 R.又对任意 x∈R，都有 f(－x)＝ x2＋1
1 ＝ 1 ＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，其 －x2＋1 x2＋1 图象如图所示．
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[当 堂 达 标·固 双 基]
1．（2019 年牡丹江期末）函数 f(x)＝|x|＋1 是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
[答案]B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．]
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2．（2019 年河南模拟）如图 1-3-8，给出奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－2) ＋f(－1)的值为( )

学习资料第2课时奇偶性的应用学习目标核心素养1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题.1。

利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用提升逻辑推理、数学运算素养.用奇偶性求解析式x＋1，求f(x）的解析式；（2）设f(x）是偶函数,g(x）是奇函数，且f（x）＋g(x）＝错误!，求函数f(x），g（x）的解析式．思路点拨：（1)错误!错误!错误!错误!得x〈0时f(x)的解析式错误!错误!错误!错误!（2）错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误![解]（1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x）是定义域为R的奇函数，∴f（－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时,f（x)＝－x－1.又x＝0时，f(0）＝0，所以f(x）＝错误!(2）∵f（x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f（－x）＝f（x)，g(－x）＝－g(x)．由f（x）＋g（x)＝错误!，①用－x代替x得f(－x）＋g（－x）＝错误!，∴f（x)－g(x)＝错误!, ②(①＋②)÷2，得f（x）＝错误!；（①－②)÷2，得g（x）＝错误!.1．把本例（1）的条件“奇函数”改为“偶函数"，当“x>0"改为“x≥0”,再求f（x）的解析式．［解］设x≤0，则－x≥0,则f(－x）＝x＋1.又f(－x)＝f(x），所以f（x）＝x＋1。

故f（x）的解析式为f（x)＝错误!2．把本例（2）的条件“f（x）是偶函数，g(x）是奇函数"改为“f（x)是奇函数，g（x）是偶函数”，再求f(x)，g（x)的解析式．[解］∵f(x)是奇函数，g（x）是偶函数，∴f(－x)＝－f（x)，g(－x)＝g(x），又f(x）＋g（x)＝错误!, ①用－x代替上式中的x，得f（－x）＋g（－x)＝错误!,即f（x)－g（x）＝错误!. ②联立①②得f（x)＝错误!，g(x)＝错误!.利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁"，既在哪个区间上求解析式,x就设在那个区间.(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0,但若为偶函数，未必有f(0)＝0。

由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f 的值为( )
A. B．Байду номын сангаас
C．1D．无法确定
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
图1 3 9
(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象．
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
[解](1)由题意作出函数图象如图：
(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(0,2)．
4．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.
0[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]
5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1 3 9所示．
②③[对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝ ＝ ＝f(x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－ ＝－f(x)，则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
1定义域含参数：奇、偶函数fx的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数.