江苏省淮安市高中教学协作体2019~2020学年高二上学期期中考试数学试卷及答案

2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,2,3)a =- ，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（ ） A ．(0,1,2)- B ．(1,2,0)- C ．(0,2,3) D ．(1,0,3)-【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标， 纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-， 故选：D.2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若1cos ,2m n <>=-，则l 与α所成的角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】A【分析】由1cos ,2m n <>=-知直线l 和平面α的法向量所夹锐角为60°，根据直线l 和平面α的位置关系，即可得出答案.【详解】由已知得直线l 和平面α的法向量所夹锐角为60°，因此l 与α所成的角为30°. 故选：A.【点睛】本题考查线面角.属于基础题.找到向量m ，n 的夹角与l 与α所成角的关系是解本题的关键.3．已知两平面的法向量分别为)0(()10011m n ==，，，，，，则两平面所成的二面角为（ ） A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90°【答案】C【分析】直接利用空间向量的夹角公式公式，求解二面角的大小即可．【详解】1cos,=12m n m n m n⋅=⋅⋅〈〉45m n =︒〈,〉. ∴两平面所成二面角为45︒或18045135︒︒=︒－.故选：C.4．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．24C ．32D ．56【答案】D【解析】先将式子411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭化成4411(12)(12)x x x ⋅++⋅+，再分别求两项各自的2x 的系数，再相加，即可得答案.【详解】∵444111(12)1(12)(12)x x x x x ⎛⎫++=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，∴4(12)x +展开式中含2x 的项为22241(2)24C x x ⋅=， 41(12)x x ⋅+展开式中含2x 的项33241(2)32C x x x⋅=， 故2x 的系数为243256+=. 故选：D.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．某班级从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名学生中选四人参加4×100 m 接力比赛，其中第一棒只能在A ，B 中选一人，第四棒只能在A ，C 中选一人，则不同的选派方法共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【答案】B【分析】分第一棒选A 或选B ，两类求解.【详解】解：当第一棒选A 时，第四棒只能选C ，则有24A 种选派方法； 当第一棒选B 时，则有242A 种选派方法.由分类计数原理得，共有2224442336A A A +== 种选派方法.故选：B6．如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从A 地出发，送货到C 地，且途经B 地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法．A ．100B ．80C ．60D ．40【答案】D【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从B 到C 的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得．【详解】分两步，第一步从A 到B 的最短距离的走法有13434C C =，第二步从B 到C 的最短距离走法有235310C C =，由分步乘法计数原理得，总方法数为41040⨯=．故选：D ．7．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 【答案】B【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A -，(1,2,2)P 所以(2,0,1)PA =--，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离|||4||PA n d n ⋅-===故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设(0)a b m m >，，为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921(mod 6)≡，若0122222222222222222a C C C C =++++，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是（ ）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】A【分析】利用二项式定理化简0122222222222222222a C C C C =+⋅+⋅++⋅为11(101)-，展开可得到a 被10除余9，由此可得答案.【详解】0122222222221122222222222(12)39a C C C C =+⋅+⋅++⋅=+==110111101292101011111111111111(101)1010(1)10(1)10(1)(1)C C C C C =-=+-+-++-+-,所以a 被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019， 故选：A. 二、多选题9．下列选项正确的是（ ） A ．A C !mm n nm =B ．11A A m m n n m --=C ．11C C C m m m n n n-+=+ D ．111C C 1m mn n n m +++=+ 【答案】ACD【分析】根据排列数和组合数公式，化简，即可求解. 【详解】A ．根据排列和组合数公式，可知A 显然成立； B.12A ()()()1m n n n m n n ---+=，11A (1)(2)(1)m n n n n m --=---+ ，所以11A A m m n n n --=，故B 不成立；C.1!!C C !()!(1)!(1)!m m n n n n m n m m n m -+=+--+-!11(1)!()!1n m n m m n m ⎡⎤=+⎢⎥--+-⎣⎦!(1)(1)!()!(1)n n m n m m n m +=⋅--+-(1)!!(1)!n m n m +=+-， 1(1)!C ,!(1)!m n n m n m ++=+-故C 成立；D.11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m mn n n n n n m n m m m n m m +++++===+-+-+，故D 成立.故选：ACD10．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．BD //平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．向量AD 与1CB 的夹角为60°D ．1AC ⊥平面11CB D . 【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量方法依次判断各选项的对错.【详解】解 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1)，所以AD ＝(0，1，0)，BD ＝(－1，1，0)，1AC ＝(1，1，1)，11B D ＝(－1，1，0)，1CB ＝(0，－1，1)，对于选项A ，由11B D ＝BD 可得11//B D BD ，BD ⊄平面11CB D ，11B D ⊂平面11CB D ， 所以//BD 平面11CB D ，A 正确；对于选项B ，由1AC ·1100BD =-++=可得1AC BD ⊥，B 正确； 对于选项C ，由1cos ,AD CB ＝11AD CB AD CB ⋅＝120,180AD CB ︒︒≤≤，故 向量AD 与1CB 的夹角为135，C 错误；对于选项D ，由1AC ·11=1100B D ，1AC ·1=0110CB -+=，所以111AC B D ，11AC CB ，1111B D CB B ＝，111,B D CB ⊂平面11CB D ，所以1AC ⊥平面11CB D ，D 正确； 故选：ABD.11．关于()11a b -的说法，正确的是（ ） A ．展开式中的二项式系数之和为2048B ．展开式中只有第6项的二项式系数最大C ．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最大 【答案】AC【解析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知A 正确，B 不正确，C 正确，根据项的系数的符号可知D 不正确.【详解】()11a b -的展开式中的二项式系数之和为1122048=，所以A 正确；因为11n =为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以B 不正确，C 正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以D 不正确. 故选：AC【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.12．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ） A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种 【答案】ABC【分析】选项A ，B ，C 均可用分类加法计数原理求解；选项D 可用分步乘法计数原理求解.【详解】选项A ：若C 企业最多派1名医生，则有以下两种情况：①派1名医生去C 企业，剩余3名医生派到企业A 或企业B 中，有134232C =种； ②4名医生全部派到企业A 或企业B 中，有4216=种. 故共有321648+=种不同分派方案，故选项A 正确；选项B ：若每家企业至少分派1名医生，则有以下三种情况：①派2名医生去A 企业，剩余2名医生一人去B 企业，一人去C 企业，有214212C C =种；②派2名医生去B 企业，剩余2名医生一人去A 企业，一人去C 企业，有214212C C =种；③派2名医生去C 企业，剩余2名医生一人去A 企业，一人去B 企业，有214212C C =种.故共有12121236++=种不同分派方案，故选项B 正确；选项C ：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则有以下三种情况： ①派医生甲去A 企业，再派一名医生去A 企业，剩余2名医生一人去B 企业，一人去C企业，有11326C C =种不同分派方案；②派医生甲去A 企业，派2名医生去B 企业，剩余1名医生去C 企业，有233C =种； ③派医生甲去A 企业，派2名医生去C 企业，剩余1名医生去B 企业，有233C =种. 共有63312++=种不同分派方案，故选项C 正确；选项D ：第一步：派医生甲去3个企业中的任何一个，有3种； 第二步：派医生乙去3个企业中的任何一个，有3种； 第三步：派医生丙去3个企业中的任何一个，有3种； 第四步：派医生丁去3个企业中的任何一个，有3种；由分步乘法计数原理知，所有不同分派方案共4381=种，故选项D 错误； 故选：ABC. 三、填空题13．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260.【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.14．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为ABC ∆的重心E 是BD 上一点，3,BE ED =以,,AB AC AD 为基底，则GE =__________．【答案】1131234AB AC AD --+ 【详解】由题意，连接AE ，则3243GE AE AG AB BD AM =-=+- 321432AB AD AB AB AC =+--⨯+（）（）．1131234AB AC AD =--+ . 故答案为1131234AB AC AD --+. 15．空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z 且法向量为(),,m A B C =的平面方程为0()A x x -+00)0(()B y y C z z -+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为,,0()()n v v μωμω=≠的直线l 的方程为00x x y y z z v μω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为270x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为352x y ==--l 与平面α所成角大小为________. 【答案】6π 30【分析】依题意可得平面α法向量为(1,2m =-，直线方向向量(3,5,2n =-， 根据空间向量法求出线面角的大小；【详解】解：由平面α的方程为270x y z -+-=得平面α法向量为(1,2m =-， 经过()0,0,0直线l 的方程为352x y ==--(3,5,2n =--， 设直线l 与平面α所成角是θ， 则13(1)(5)2(2)1cos ,2||||1129252m n m n m n ⋅⨯+-⨯-+⨯-<>===++⨯++，又,[0,]m n π<>∈，所以,3m n π<>=，所以6πθ=；故答案为：6π 四、双空题16．若554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x a x a -=-+-+-+-+-+，则12345a a a a a ++++=____________，3a =____________；（用数字作答）【答案】 1 10【分析】利用赋值法求得12345a a a a a ++++，由二项式展开式的通项公式求得3a .【详解】由554321543210(2)(1)(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x a x a -=-+-+-+-+-+，令1x =得01a =-，令2x =得012345123450,1a a a a a a a a a a a +++++=++++=.()()55211x x -=--⎡⎤⎣⎦，所以()2235110a C =⋅-=.故答案为：1；10 五、解答题17．已知在212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项. 求：（1）n 的值； （2）展开式中5x 的系数. 【答案】（1）10n = （2）1058【详解】分析：（1）根据212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项，即可求解n 的值； （2）由（1）可得展开式的通项公式，令x 的指数幂为5，求得r 的值，即可得到展开式中5x 项的系数.详解：（1）在根据212nx ⎛ ⎝的展开式中，第9项为常数项，则第9项的通项公式为88216488220922r n r n n n T C xx C x -----=⋅⋅⋅=⋅⋅， 所以2200n -=，解得10n =. （2）由（1）可得展开式的通项公式52010201022110102(1)(1)2r r r r rrr r r r T C xxC x-----+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅⋅ ，令52052r-=，解得6r =， 则得到展开式中5x 项的系数6101105248⋅=C . 点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项式定理的通项是解答的关键，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．18．用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ (1)偶数不相邻；(2)1和2之间恰有一个奇数，没有偶数； (3)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 【答案】(1)1440 (2)720 (3)840【分析】（1）不相邻问题插空法（2）先考虑12和21的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列 （3）先选3个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数. 【详解】(1)根据题意，分2步进行分析： ①先将4个奇数排好，有44A 种排法，②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有35A 种排法，则有43451440A A =个符合题意的七位数；(2)根据题意，分2步进行分析：①在1和2之间安排一个奇数，考虑12和21的情况，有223A 种安排方法，②将三个数字看成一个整体，与其他4个数字全排列，有55120A =种排法，则有25253720A A =个符合题意的七位数；(3)根据题意，分2步进行分析：①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有37C 种排法， ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有44A 种排法，则有3474840C A =个符合题意的七位数.19．在二项式1(2n x的展开式中，.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于46；②所有奇数项的二项式系数和为256；③若展开式中第7项为常数项.试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.(备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分) 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)212【分析】（1）选择①由01246n n n C C C ++=求解；选择②：由024256n n n C C C +++⋅⋅⋅=求解；选择③：由通项公式为3221C 2--+=r nr r n r n T x，令3202r n-=求解；由9n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项求解； （2）由展开式通项为3189219C 2--+=⋅r r r r T x，令31802r -=求解. 【详解】(1)解：选择①：因为展开式前三项的二项式系数和等于46，所以01246n n n C C C ++=，即(1)1462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=， 解得9n =或10n =-（舍去）选择②：因为所有奇数项的二项式系数和为256，所以024256n n n C C C +++⋅⋅⋅=，即12256n -=，解得9n =.选择③：通项公式为32()2211C C 22n rr r n r n r r r nr nnT xx x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，所以32n r =因为展开式中第7项为常数项，即6r =， 所以9n =.所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，5452359163C 216T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，453542269163C 28T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭；(2)展开式通项为：9318(9)9221991C C 22rr r r r r r r T xx x-----+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令31802r -=，6r =， 展开式中常数项为第7项，常数项为637921C 22T -=⨯=. 20．设82345678012345678(31)x a a x a x a x a x a x a x a x a x -=++++++++. (1)求02468a a a a a ++++ 的值；(2)求12326272727272727S C C C C C =+++++除以9的余数；(3)求123482348a a a a a +++++的值.【答案】(1)71522+ (2)7 (3)3072【分析】（1）分别令1x =和1x =-，两式相加即可得结果；（2）根据二项式系数和公式可得9(91)1S =--，再按照二项式定理展开即可得结果； （3）先对函进行求导，再令1x =即可得结果.【详解】(1)（1）对于823801238(31)x a a x a x a x a x -=+++++令1x = ，得：8012382a a a a a =+++++ ①令1x =- ，得：8012384a a a a a =-+-++ ②①+②得：88024682()24a a a a a ++++=+∴7150246822a a a a a ++++=+.(2)12326272792727272727C C C C C 2181S =+++++=-=-9(91)1=-- 09182727278899999999C 9C 9(1)C 9(1)C 9(1)C 9(1)C (1)1=+-+-++-+-+--08172627788999999C 9C 9(1)C 9(1)C 9(1)C (1)2⎡⎤=+-+-++-+--⎣⎦显然，上面括号内的数为正整数，故求S 被9除的余数为7.(3)823801238(31)x a a x a x a x a x -=+++++两边求导数得：7127123824(31)238x a a x a x a x -=++++，令1x =，则有71238242238a a a a ⨯=++++，即12382383072a a a a +++⋯+=.21．如图，在棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点.(1)求证：11EB AD ⊥；(2)求异面直线1D E 与1AB 所成角的余弦值； (3)求点1B 到平面1AD E 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)1010(3)6【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】(1)解：因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，故以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,2)D ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,2,2)C .因为E 为CD 的中点，所以(0,1,0)E ，1(2,1,2)EB =，1(2,0,2)AD =-，所以112(2)10220EB AD ⋅=⨯-+⨯+⨯=， 所以11EB AD ⊥，即11EB AD ⊥；(2)解：因为1(0,1,0)(0,0,2)(0,1,2)D E =-=-，1(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)AB =-=，所以1111112cos ,||||5D E AB D E AB D E AB ⋅<>===，因为异面直线1D E 与1AB 所成角是锐角， 所以异面直线1D E 与1AB (3)解：设平面1AD E 的法向量是(,,)m x y z = ，则1m AD ⊥，m AE ⊥，即100m AD m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，又1(0,0,2)(2,0,0)(2,0,2)AD =-=-，(0,1,0)(2,0,0)(2,1,0)AE =-=-，所以22020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则2y =，1z=， 所以(1,2,1)m =，又1(2,1,2)EB =， 所以点1B 到平面1AD E 的距离1|||2||EB m d m ⋅===22．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，2PA AD ==，E 为AD 的中点.(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ；(2)求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值； (3)求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 67【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)平面直角坐标系，利用向量方法求解；(3)求二面角的两个半平面的法向量，利用法向量夹角与二面角的平面角的关系结合向量夹角公式求解.【详解】(1)因为四边形ABCD 为菱形，所以DA DC =. 又60ADC ∠=︒，所以ADC 为等边三角形，即有CA CD =， 又在ADC 中，因为E 是AD 中点，所以CE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， 所以CE PA ⊥.又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ， 所以CE ⊥平面PAD ，又CE ⊂平面PCE ， 所以平面PCE ⊥平面PAD .(2)取BC 中点为F ，则AF BC ⊥，又//AD BC ，所以AF AD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，所以,,PA AD PA AF ⊥⊥故以A 为坐标原点，以AF ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则各点的坐标为：(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(3,0,0)F ，(3,1,0)B -，(3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,1,0)E .由(1)EC ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量是(3,0,0)EC =，又(3,1,2)=-PC 设直线PC 与平面PAD 所成角是θ， 36sin cos ,4||||3143PC EC PC AF PC EC θ⋅=<>===⨯++⨯， 直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值是64.(3)设二面角A PD C --的平面角为α， 设平面PDC 的法向量(,,)n x y z =， 则,,n PC n PD ⊥⊥所以0,0,n PC n PD ⋅=⋅=而(3,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-， 20,220y z y z +-=-=， 令1z =，则1y =，x =所以)3,1,13(n =， 又平面PAD 的法向量是()3,0,0AF =，所以cos cos ,||||1n AFn AF n AF α⋅=<>===⨯，所以二面角A PD C --。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案体验 探究 合作 展示数学试题一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知命题2,R :00>∈∃x e x p ，则p ⌝是( )A ．2,R 00≤∉∀x e x B ．2,R 00≤∈∀x e x C ．2,R 00≤∈∃x exD ．2,R 00≤∉∃x ex2．已知命题p ：存在R x ∈0，使2sin 0=x ；命题q ：任意R x ∈，都有012>++x x ．下列结论正确的是( )A ．命题“q p ∧”是真命题B ．命题“q p ∨”是假命题C ．命题“)(q p ⌝∧”是真命题D ．命题“q p ∨⌝)(”是真命题3．“52=a ”是“直线022=++a y ax 和直线07)1(3=+--+a y a x 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点A (1,－2)，B (m ,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x+2y-2=0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．15．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．032=-+y xB ．01=-+y xC ．03=--y xD ．052=--y x6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程是02=±y x ，则其离心率为( )A ．5B ．25C ．3D ．57．已知双曲线3322=-my mx 中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率．其中与参数m 无关的是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．以抛物线y x 42=的焦点为圆心，3为半径的圆与直线0143=++y x 相交的弦长为( )A ．24B ．22C ．254D ．89．直线04)14(=--y x k 与抛物线x y =2交于B A ,两点，若4=AB ，则弦AB 的中点到直线041=+x 的距离等于( ) A ．47 B ．2 C ．49 D ．410．设定点)3,0(),3,0(21F F -,动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段11．已知点21,F F 是椭圆2222=+y x 的两个焦点，点P+的最小值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．2212．点P 是双曲线1422=-y x 右支(在第一象限内)上的任意一点，21,A A 分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线21,,PA PO PA 的斜率分别为321,,k k k ，则斜率之积321k k k ⋅⋅的取值范围是( ) A ．)1,0(B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛81,0二、填空题(每小题5分，共20分)13．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x ，则y x z 32+=的最小值是_____________．14．过点)2,1(作圆01422=--+x y x 的切线方程为_____________________．15．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，21,F F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，若∆21F PF 的周长为12，离心率21=e ，则此椭圆的标准方程为________________________． 16．连接双曲线12222=-b y a x 和12222=-ax b y (其中0,0>>b a )的四个顶点的四边形面积为1S ，连接四个焦点的四边形的面积为2S ，则当21S S 的值最大时，双曲线12222=-ax b y 的离心率为________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)过点)3,2(且平行于直线064=++y ax 的直线与两坐标轴围成的三角形面积为a 2，求a 的值．18．(本小题满分12分)圆与直线01032=-+y x 相切于点)2,2(P ，并且过点)1,3(-，求圆的方程．19．(本小题满分12分)已知动圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，与圆2)4(:222=+-y x C 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．20．本小题满分12分)椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆C 上，且211F F PF ⊥，314,3421==PF PF ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 过M (－2,1)，交椭圆C 于B A ,两点，且B A ,关于点M 对称，求直线l 的方程．21．(本小题满分12分)已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于B A ,两点．(1)若2=，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．22．(本小题满分12分)如图，已知抛物线px y C 2:2=和⊙1)4(:22=+-y x M ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于B A ,两点，与抛物线分别交于F E ,两点，圆心M 到抛物线准线的距离为417． (1)求抛物线C 的方程；(2)当AHB ∠的角平分线垂直于x 轴时，求直线EF 的斜率； (3)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题和填空题答案填在答题卡上相应位置；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：(每小题5分，共60分，在每小题答案中只有一项符合题目要求) 1．设集合{}{}|23,|8,S x x T x a x a S T R =->=<<+⋃=，则a 的取值范围为A ．(3,1)--B ．[3,1]--C ．(,3][1,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃-+∞2．若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为A ．0B ．34C ．1D ．543．若⎩⎨⎧≥<+=)6(log )6()3()(2x x x x f x f ，则)1(-f 的值为A ．1B ．2C ．3D ．44．已知2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于 A ．0B ．－4C ．－2D ．25．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -= A ．42B ．45C ．48D ．516．下列命题：①若p ，q 为两个命题，则“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件；②若p 为：2,20x R x x ∃∈+≤，则p⌝为：2,20x R x x ∀∈+>；③命题p 为真命题，命题q 为假命题．则命题()p q ⌝∧，()p q ⌝∨都是真命题；④命题“若p ⌝，则q ”的逆否命题是“若p ，则q ⌝”.其中正确结论的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．47．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是 A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(3，4)8．在(OAB O ∆为原点)中，(2cos ,2sin ),(5cos ,5sin )OA OB ααββ==，若5OA OB ⋅=-，则OAB S ∆=A ．B ．2C ．D ．29．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立(其中()()f x f x '是的导函数)，若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10．数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列11n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则11a = A ．113-B ．17-C ．0D ．11111．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++=A ．335B ．338C ．2013D ．201212．设()3x f x -=-a ，b ，c 满足(a)()()0f f b f c <，且0a b c <<<，若0x 是函数的一个零点，下列不等式中不可能成立的为 A ．0x a <B ．0x b >C ．0x c <D ．0x c >第Ⅱ卷二、填空题：(每小题5分，共20分，请将符合题意的最简答案填在题中横线上) 13．已知53)4πsin(=-x ，则x 2sin 的值为_____________．14．已知函数20.5()log ()f x x ax a =--在区间(,1-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_____________________． 15．如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间(1,0)-上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的取值范围是________________． 16．给出以下四个命题：①已知命题:p 2tan ,=∈∃x R x ；命题01,:2≥+-∈∀x x R x q 则命题q p 且是真命题； ②过点)2,1(-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是01=-+y x ； ③函数()223xf x x =+-在定义域内有且只有一个零点； ④若直线01cos sin =++ααy x 和直线1cos 102x y α--=垂直，则角2().26k k k ππαπαπ=+=+∈Z 或其中正确命题的序号为________________．(把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题：(解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明，共70分)17．(本小题满分10分)点M 是单位圆O (O 是坐标原点)与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0)MOP x x π∠=<<，OQ OP OM =+，四边形OMQP 的面积为S ，函数()3f x OM OQ S =⋅+，求函数()f x 的表达式及单调递增区间．18．(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈．(Ⅰ)求证：数列{1}n a +是等比数列，并写出数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足()312111144441n nb b b b n a ----⋅⋅⋅⋅=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．(本小题满分12分)已知向量33(cos,sin )22a x x =，(cos ,sin )22x x b =-，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (Ⅰ)求||a b +；(Ⅱ)设函数()||f x a b a b =++⋅，求函数()f x 的最值及相应的x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数2()22cos f x x x m =+-．(Ⅰ)若方程()0f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求m 的取值范围；(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C 所对的边，当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-，2b c +=时，求a 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，． (Ⅰ)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，12a =，120(2,)n n a a n n n N ---=≥∈*．(Ⅰ)写出23,a a 的值(只写结果)，并求出数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设12321111n n n n nb a a a a +++=+++，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式212()6n t mt b n N *-+>∈恒成立，求实数t 的取值范围．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟，答案均填写在答题卡上，否则无效．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一个是正确的．)1．已知全集{}43210，，，，U =，集合{}321，，A =，{}42，B =，则=B A C U )(( ) A ．{}421，， B ．{}4,32，C ．{}420，，D ．{}4,320，，2．某单位有职工1000人，其中青年职工450人，中年职工350人，老年职工200人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的中年职工为7人，则样本容量为( ) A ．11B ．13C ．20D ．303．已知),2(),2,1(m -==，若//则|23|a b +等于( )AB ．C ．D ．4．下列结论中，正确的是：( )①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成正相关关系； ②散点图能直观地反映数据的相关程度； ③在统计中，众数不一定是数据组中数据；④在统计中，样本的标准差越大说明这组数据的波动越大； ⑤概率是随机的，在试验前不能确定. A ．①③B ．②⑤C ．②④D ．④⑤5．有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有1件次品与至多有1件正品 B ．至少有1件次品与都是正品 C ．至少有1件次品与至少有1件正品 D ．恰有1件次品与恰有2件正品6．一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是( )A ．112B ．80C ．72D ．647．甲、乙两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲不输的概率是( )A ．21B ．61C ．65D ．328．一个算法的程序框图如右图所示，该程序输出的结果为( )A ．98 B ．109 C ．1110D ．12119．在△ABC 中，c b a ,,为内角A 、B 、C 所对的边，若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的值是( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．15010．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A ．35 B ．65 C ．125D ．18511．将直线1=+y x 绕点(1，0)顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆2221r y x =+）－（相切，则r 的值是( ) A ．22B ．2C ．223 D ．112．若不等式022>+-a ax x ，对R x ∈恒成立，则关于t 的不等式132122<<-++t t t a a的解为( )A ．}21{<<t tB ．}12{<<-t tC ．}22{<<-t tD ．}23{<<-t t第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设⎩⎨⎧≤>=0,100,lg )(x x x x f x ，则=-))2((f f ________14．用辗转相除法或更相减损术求115、161的最大公约数是________；15．设0,0>>b a ，若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为________ 16．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为bx a y +=，其中已知23.1=b ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________万元三、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17．(本小题满分10分)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，且C b a A cos 2,3π2==，求： (Ⅰ)角B 的值；(Ⅱ)函数)2cos(2sin )(B x x x f -+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π,0上的最大值及对应的x 值．18．(本小题满分12分)已知集合{}032|2<-+=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+=032|x x x B . (1)在区间(－4，4)上任取一个实数x ，求“B A x ⋂∈”的概率；(2)设()b a ,为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数， (ⅰ)列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求“b aAB -∈”的概率.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线P Ｂ与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离．20．(本小题满分12分)某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六组[40，50)，[50，60)……[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求成绩落在[70，80)上的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)根据直方图估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(Ⅲ)若参加考试的学生共有600人，估计本次考试70分(包括70分)以上的学生共有多少人？21．(本小题满分12分)已知曲线04222=+--+m y x y x C ：．(1)当m 为何值时，曲线C 表示圆；(2)若曲线C 与直线042=-+y x 交于N M 、两点，且ON OM ⊥ (O 为坐标原点)，求m 的值．22．(本小题满分12分)已知函数c x c x x f ++-=)1()(2)(R c ∈．(1)解关于x 的不等式0)(<x f ；(2)当2-=c 时，不等式5)(->ax x f 在)2,0(上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)设ax x f x g -=)()(，已知1)2(0<<g ，5)3(3<<g ，求)4(g 的范围．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．若直线x=1的倾斜角为α，则α（）A．等于0 B．等于C．等于D．不存在2．已知ab＞0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限3．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）4．从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（）A．2 B．5 C． D．4+5．已知直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦AB的长等于（）A．3 B．2C．D．16．若l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（）A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣8．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=09．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C． D．210．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．4011．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．± D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为．14．过点A（1，2），且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为．15．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为．16．已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．18．求经过点A（﹣2，2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．19．如图，已知圆C：x2+y2+10x+10y=0，点A（0，6）．（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且MN=，求m的值．21．已知点A（2，0），点B（﹣2，0），直线l：（λ+3）x+（λ﹣1）y﹣4λ=0（其中λ∈R）．（1）求直线l所经过的定点P的坐标；（2）若直线l与线段AB有公共点，求λ的取值范围；（3）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线l所得线段的长为，求直线l的方程．22．在平面直角坐标系xoy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；（2）若OB=2OA，求直线l的方程；（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，求△ABD面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若直线x=1的倾斜角为α，则α（）A．等于0 B．等于C．等于D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由题意知：由直线方程求斜率，再求倾斜角为α．【解答】解：由题意知直线的斜率不存在，故倾斜角α=，故选C．【点评】本题考查了直线方程、斜率和倾斜角之间的关系，属于基础题．2．已知ab＞0，bc＜0，则直线ax+by+c=0通过（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】由条件得到直线的斜率和直线的截距，即可得到直线的位置．【解答】解：直线的斜截式方程为y=x﹣，∵ab＞0，bc＜0，即直线的斜率k=，截距，∴直线ax+by+c=0通过第一，二，四象限．故选：A．【点评】本题主要考查直线的方程的应用，将方程转化为斜截式是解决本题的关键，比较基础．3．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0） B．（0，1） C．（3，1） D．（2，1）【考点】过两条直线交点的直线系方程．【专题】计算题．【分析】将直线的方程变形为k（x﹣3）=y﹣1 对于任何k∈R都成立，从而有，解出定点的坐标．【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1对于任何k∈R都成立，则，解得x=3，y=1，故直线经过定点（3，1），故选C．【点评】本题考查直线过定点问题，把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上另一个因式等于0的形式恒成立，故这两个因式都等于0．4．从点P（m，3）向圆C：（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是（）A．2 B．5 C． D．4+【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题．【分析】过A作x轴的垂线，与y=3交于点P，此时过点P作圆的切线PQ，切线长PQ最小，连接AQ，得到AQ垂直于PQ，先利用两点间的距离公式求出AP的长，然后在直角三角形APQ中，利用勾股定理即可求出PQ．【解答】解：如图，当PA⊥x轴时，过P点作的切线长最短，根据PQ为圆的切线，Q为切点得到AQ⊥PQ，由圆的方程得到圆心（﹣2，﹣2），半径为1在直角三角形APQ中，AQ=1，PA=3﹣（﹣2）=5，根据勾股定理得PQ==2．故选A【点评】此题考查学生掌握切线垂直于经过切点的直径，灵活运用勾股定理解决实际问题，是一道中档题．本题的突破点是找出切线长的最小值．5．已知直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，那么弦AB的长等于（）A．3 B．2C．D．1【考点】点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆；空间位置关系与距离．【分析】解：利用圆的方程确定其圆心与半径，求得圆心到直线的距离，再由勾股定理确定相应的弦长．【解答】解：由已知，圆x2+y2=4的圆心坐标为O（0，0），半径r=2．则圆心O（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离为=1．∴弦长AB=2=2=2．故选：B．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式等知识，属于基础题．6．若l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0的图象是两条平行直线，则m的值是（）A．m=1或m=﹣2 B．m=1 C．m=﹣2 D．m的值不存在【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据两条直线平行的条件，结合题中数据建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．【解答】解：∵l1：x+（1+m）y+（m﹣2）=0，l2：mx+2y+6=0，且直线l1∥l2，∴，解之得m=1或﹣2．故选：A．【点评】本题给出两条直线互相平行，求参数m的值．着重考查了两条直线平行位置关系的判定及其应用的知识，属于基础题．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【考点】圆的切线方程；直线的斜率．【专题】计算题；直线与圆．【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k （x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设所求直线上任一点（x，y），关于x=1的对称点求出，代入已知直线方程，即可得到所求直线方程．【解答】解：解法一（利用相关点法）设所求直线上任一点（x，y），则它关于x=1对称点为（2﹣x，y）在直线x﹣2y+1=0上，∴2﹣x﹣2y+1=0化简得x+2y﹣3=0故选答案D．解法二：根据直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D，再根据两直线交点在直线x=1选答案D故选D．【点评】本题采用两种方法解答，一是相关点法：求轨迹方程法；法二筛选和排除法．本题还有点斜式、两点式等方法．9．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）A．B．C． D．2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据对应图形，求出对应的面积即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则A（0，1），A到直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距离d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），则|BC|==，则△ABC的面积S==，故选：B【点评】本题二元一次不等式组表示平面区域，根据条件作出平面区域，根据三角形的面积公式是解决本题的关键．10．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．20C．30D．40【考点】直线与圆相交的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由题意得最长的弦|AC|=2×5=10，根据勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=×10×4=20．故选B【点评】考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．11．已知点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，那么把这两个点代入ax ﹣y﹣1，它们的符号相反，乘积小于0，求出a的范围，设直线l倾斜角为θ，则a=tanθ，再根据正切函数的图象和性质即可求出范围．【解答】解：因为点（1，﹣2）和在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，所以，（a+2﹣1）（a﹣1）＜0，即：（a+1）（a﹣）＜0，解得﹣1＜a＜，设直线l倾斜角为θ，∴a=tanθ，∴﹣1＜tanθ＜，∴0＜θ＜，或＜θ＜π，故选：C．【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是中档题．12．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A．2 B．±2 C．± D．【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；数形结合．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=，圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4故答案为：4【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值14．过点A（1，2），且与直线x﹣2y+3=0垂直的直线方程为2x+y﹣4=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x﹣2y+3=0的斜率为，∴由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣2，∴方程为y﹣2=﹣2（x﹣1）化为一般式可得2x+y﹣4=0故答案为：2x+y﹣4=0【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．15．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由题意可知圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上，可得a+b=1，而=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解：由圆的性质可知，直线ax+2by﹣2=0即是圆的直径所在的直线方程∵圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=13，∴圆心（2，1）在直线ax+2by﹣2=0上∴2a+2b﹣2=0即a+b=1∵=（）（a+b）==3+2∴的最小值故答案为：【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换16．已知a＞0，x，y满足若z=2x+y的最小值为1，则a=．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由题意得a＞0，作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=﹣2a时z取得最小值，由此建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．【解答】解：由题意可得：若可行域不是空集，则直线y=a（x﹣3）的斜率为正数时．因此a＞0，作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（1，﹣2a），C（3，0）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，观察x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值∴z=F（1，﹣2a）=1，即2﹣2a=1，解得a=最小值故答案为：【点评】本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数的最小值情况下求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）AC边上的中线所在直线的方程；（3）△ABC外接圆方程．【考点】圆的标准方程；待定系数法求直线方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程；（2）求出AC的中点坐标，即可求AC边上的中线所在直线的方程；（3）利用待定系数法求△ABC外接圆方程．【解答】解：（1）k AB==1，∴AB边上的高的斜率为﹣1，∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣4=﹣（x+1），即x+y﹣3=0；（2）AC的中点坐标为（1，3），∴AC边上的中线所在直线的方程为x=1；（3）△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则∴D=﹣，E=﹣，F=，∴△ABC外接圆方程为x2+y2﹣x﹣y+=0．【点评】本题考查直线的方程与圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．求经过点A（﹣2，2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】点斜式设出直线方程，求出与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积求出斜率，从而得到1的直线方程．【解答】解：设直线为y﹣2=k（x+2），交x轴于点，交y轴于点（0，2k+2），得2k2+3k+2=0，或2k2+5k+2=0解得，或k=﹣2，∴x+2y﹣2=0，或2x+y+2=0为所求．【点评】本题考查直线方程的求法，本题的解题关键是求直线的斜率．19．如图，已知圆C：x2+y2+10x+10y=0，点A（0，6）．（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）由圆心在直线y=x上，设出圆心N（a，a）（a＞0），根据圆C与圆N相切，得到点为切点，表示出半径，进而写出圆的标准方程，将A坐标代入求出a的值，即可确定出圆N方程；（2）将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径，显然直线x=0满足题意；由对称性得到圆心C 到直线PQ距离为5，设出直线PQ方程，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时直线m方程，综上，得到所有满足题意直线m的方程．【解答】解：（1）由圆心N在直线y=x上，故设圆心N（a，a）（a＞0），由圆N与圆C相切，根据题意得到切点为原点O，可得半径为a，圆N方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，将A（0，6）代入得：a2+（6﹣a）2=2a2，即﹣12a+36=0，解得：a=3，则圆N方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=18；（2）由圆C方程x2+y2+10x+10y=0，变形得：（x+5）2+（y+5）2=50，∴圆心C（﹣5，﹣5），半径为5，由CD⊥P′Q′，得到CD=5，D为P′Q′中点，令圆C方程中x=0，得到y=0或y=10，即P′Q′=10，P′D=Q′D=5，∵y=x的倾斜角为45°，即∠CP′D=45°，∴△CDP′为等腰直角三角形，同理△CDQ′为等腰直角三角形，∵圆弧PQ恰为圆C周长的，∴CP′⊥CQ′，满足题意，此时直线m方程为直线x=0；由对称性得到CB⊥PQ，且CB=5，设直线m解析式为y﹣6=k（x﹣0），即kx﹣y+6=0，∴=5，整理得：（5k﹣11）2=25（k2+1），即25k2﹣110k+121=25k2+25，移项合并得：110k=96，解得：k=，此时直线m方程为48x﹣55y+330=0，综上，直线m解析式为x=0或48x﹣55y+330=0，．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，弄清题意是解本题的关键．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．。

2019-2020学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“x R ∃∈，2230x x -+<”的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x -+≥ B ．x R ∀∈，2230x x -+< C ．x R ∃∉，2230x x -+< D ．x R ∀∈，2230x x -+≥【答案】D【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到结果. 【详解】因为x R ∃∈的否定为x R ∀∈，2230x x -+<的否定为2230x x -+≥， 所以命题的否定为：x R ∀∈，2230x x -+≥. 故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题.2．“2x <”是“220x x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 【详解】当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3．准线方程为1y =的抛物线的标准方程为( ) A ．24x y =- B ．24y x =- C ．22x y =- D ．24x y =【答案】A【解析】先根据准线方程确定出抛物线方程的基本形式，然后求解出p 的值即可得到抛物线的标准方程. 【详解】因为准线方程为1y =，所以设抛物线方程为()220x py p =->，又因为准线方程12py ==，所以2p =， 所以抛物线标准方程为：24x y =-. 故选：A. 【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求解抛物线的标准方程，难度较易.解答此类问题的思路：根据焦点或准线设出标准方程，求解出方程中p 的值即可得到标准方程.4．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=u r ，平面α的法向量2,2(),4n -=-r，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．5C ．﹣1D ．﹣5【答案】C【解析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n u r r，所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a r ，平面α的法向量为b r ，若//l α则有a b ⊥r r，若l α⊥则有//a b r r.5．函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】将221x x +-变形为()22121x x -++-，然后根据基本不等式求解出y 的最小值即可. 【详解】 因为22(1)1y x x x =+>-，所以()2222122611y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2211x x -=-，即2x =， 所以min 6y =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.6．已知数列{}n a 是等比数列，20144a =，202016a =，则2017a =( )A ．B ．±C ．8D ．±8【答案】D【解析】根据等比数列下标和的性质，得到2017a 是2014a 、2020a 的等比中项，从而可计算出2017a 的值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，且2014202022017+=⨯， 所以220172014202064a a a =⋅=，所以20178a =±.故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的性质运用，难度较易.在等比数列{}n a 中，已知()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7．如图，已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB V 为等边三角形，则该双曲线的离心率是( )A 3B 3C 2D 5【答案】A【解析】根据等边三角形的特点，用c 表示出12,AF AF ，再结合122AF AF a -=即可计算出双曲线的离心率. 【详解】因为122F F c =且1F AB V 是等边三角形， 所以12143cos30F F AF ==︒，21223tan 30AF F F =︒=， 由双曲线的定义可知：12232AF AF a -==， 所以3==ce a故选：A. 【点睛】本题考查根据几何图形的性质求解双曲线离心率，难度一般.求解椭圆或者双曲线的离心率时，若出现了特殊几何图形，可借助几何图形的性质（边、角等）求解离心率. 8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是( ) A ．211B ．811C ．1611D ．1811【答案】C【解析】将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出5a 的值. 【详解】将等差数列记为{}n a ，其中第n 节的容积为()*19,n a n n N≤≤∈，因为478946S a a a =⎧⎨++=⎩，所以1146472a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1811211a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5116411a a d =+=，所以第5节的容积为1611. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列及其前n 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性质求解通项公式.二、多选题9．已知函数2()43f x x x =-+，则()0f x ≥的充分不必要条件是( )A ．[1,3]B ．{1,3}C ．1[3)+(]-∞⋃∞，， D ．(3,4) 【答案】BD【解析】先求解出()0f x ≥的解集A ，则充分不必要条件B 应是A 的真子集，由此作出判断即可. 【详解】因为()0f x ≥即2430x x -+≥的解集为：{|3x x ≥或}1x ≤， 所以()0f x ≥的充分不必要条件应是{|3x x ≥或}1x ≤的真子集， 所以{}()1,3,3,4满足条件.故选：BD. 【点睛】本题考查命题成立的充分不必要条件的判断，难度较易.判断命题成立的充分不必要条件或必要不充分条件，可从命题成立的对象所构成集合的真子集关系考虑.10．与直线0x y +=仅有一个公共点的曲线是( ) A ．221x y += B ．2212x y +=C ．221x y -=D ．2y x =【答案】AC【解析】A ．根据圆心到直线的距离进行判断；B ．联立直线与椭圆方程利用∆进行判断；C ．根据双曲线的渐近线与直线的位置关系进行判断；D ．联立直线与抛物线方程利用∆进行判断. 【详解】A．圆心到直线的距离1d r ===，所以直线和圆相切，所以仅有一个公共点，符合；B．因为22012x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所以2320x -+=，所以322480∆=-=>，所以直线与椭圆有两个交点，不符；C ．因为221x y -=的渐近线方程为y x =±，所以0x y +-=平行于渐近线且不与渐近线重合，所以0x y +=与双曲线仅有一个公共点，符合；D．因为20x y y x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，所以20y y +-=，所以10∆=+>，所以直线与抛物线有两个交点，不符. 故选：AC. 【点睛】本题考查直线与曲线的位置关系，难度一般.（1）判断直线与圆的交点个数可通过圆心到直线的距离和半径作比较得到结果；（2）判断直线与双曲线的交点个数，可先判断直线与双曲线的渐近线是否平行，若不平行可考虑通过联立方程利用∆进行判断. 11．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}2log n aC ．{}1n n a a +⋅D ．{}12n n n a a a ++++【答案】ACD【解析】先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】设11n n a a q -=，A ．11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，此时1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为11a ，公比为1q 的等比数列；B ．因为()()()12212121log log log1log 0,0n n a a qa n q a q -==+->>，此时{}2log n a 是首项为21log a ，公差为2log q 的等差数列；C ．因为()()()()112212211111n n n n n n a q a q q a a q a a q --+-=⋅==⋅⋅，所以{}1n n a a +是首项为21a q ，公比为2q 的等比数列；D ．因为()()122221111n n n n n n n n a a q a q q q a a q q q a a a +-+++⎡⎤=++=++=++⋅⎣⎦， 所以{}12n n n a a a ++++是首项为()211a q q ++，公比为q 的等比数列.故选：ACD. 【点睛】本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等比中项法.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为1AC uuu r的有( )A ．AB BC CD ++u u u r u u u r u u u rB ．11111AA BC DC ++u u u r u u u u r u u u u rC ．111AB C C BC -+u u u r u u u u r u u u u rD ．111AA DC B C ++u u u r u u u r u u u u r 【答案】BCD【解析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果. 【详解】A ．1A AB BC CD AD C ++=≠u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，故错误；B ．11111111111AA BC DC AA A D DC AC ++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； C ．1111111111AB C C BC AB CC BC AB BB BC AC -+=++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，故正确； D ．111111111AA DC BC AA A B BC AC ++=++=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数2()f x x x =-的图象上，则3a =________.【答案】4【解析】将点的坐标代入到()f x 中，求解出n S 的表达式，根据()12n n n a S S n -=-≥求解出n a ，即可求解出3a 的值. 【详解】因为(),n n S 在()f x 的图象上，所以2n S n n =-，所以()()()22111222n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=-=-----=-≥⎣⎦，所以32324a =⨯-=.故答案为：4. 【点睛】本题考查根据n a 与n S 的关系求解{}n a 的通项公式，难度一般.根据1n n n a S S -=-求解数列通项公式时，注意*2,n n N ≥∈.14．在空间直角坐标系中，1(1)A t -,,，()20B t ,,，2(1,),C t -，若AB BC ⊥u u u r u u u r，则实数t 的值为________. 【答案】12【解析】先根据点的坐标得到,AB BC u u u r u u u r的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出t 的值即可. 【详解】因为()()1,1,,1,0,2AB t t BC =+-=--u u u r u u u r ，且AB BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB BC ⋅=u u u r u u u r，所以120t -+=，所以12t =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查根据空间向量的垂直关系求解参数，难度较易.已知()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r ，若a b ⊥r r，则有1212120x x y y z z ++=.15．若关于x 的一元二次不等式220ax bx a -+<的解集为(,1)m m + ，则实数ba的值为________. 【答案】±3 【解析】根据一元二次不等式解集的特点，计算出m 的值，然后将m 和1m +的值代入到对应的一元二次方程中即可得到,a b 的关系，从而可求ba的值. 【详解】因为220ax bx a -+<的解集为(),1m m +， 所以()21am m a+=，所以2m =-或1m =， 当1m =时，204220a b a a b a -+=⎧⎨-+=⎩，所以3b a =，所以3ba =，当2m =-时，422020a b a a b a ++=⎧⎨++=⎩，所以3b a =-，所以3ba =-，所以3ba=±. 故答案为：3±. 【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数关系，难度一般.注意一元二次不等式解集的端点值是对应的一元二次方程的根.16．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦点为1F ，2F ，如果椭圆C 上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，且12PF F △的面积等于4，则实数b 的值为_______，实数a 的取值范围为_______.【答案】2 )⎡+∞⎣【解析】根据椭圆的定义以及勾股定理、12PF F △面积即可求解出b 的值；再根据120PF PF ⋅=u u u r u u u u r以及椭圆中x 的取值范围即可求解出a 的范围.【详解】因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以12PF PF ⊥， 又因为122PF PF a +=，所以122221224PF PF a PF PF c⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2122PF PF b ⋅=， 又因为1212242PF FP S b PF F ⋅===V ，所以2b =； 又因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，设(),P x y 且22214x y a+=， 所以2220x c y -+=，所以2222440x x c a-+-=，所以222244a x c a -=-，所以()2222444a x a a-=--， 又因为()2222280,4a a x a a -⎡⎤=∈⎣⎦-且2a >，所以28a ≥，所以)a ⎡∈+∞⎣. 故答案为：2；)⎡+∞⎣. 【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中,x y 的范围求解参数范围，难度一般.其实，椭圆()222210x y a b a b+=>>上任意一点P （非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于212tan2F PF b ∠.四、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且47a =-，39S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1()2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-+；（2）2112n nT n =-+-. 【解析】（1）根据34,S a 求解出等差数列的公差，再根据()n m a a n m d =+-即可求解出{}n a 的通项公式；（2）采用分组求和的方法分别对等差数列和等比数列进行求和，最后将结果相加即可. 【详解】（1）∵n S 是数列{}n a 前n 项和,且39S =- ∴239a =-，23a =- 又∵47a =- ∴427(3)2422a a d ----===-- ∴2(2)n a a n d =+-32(2)n =---21n =-+∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-+. （2）由（1）知2(1)(2)2n n n S n n -=-+-=- 令nS '是数列12n⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和∴11112211212n n nS '⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- ∵12nn n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ∴2112n n n nT S S n '=+=-+-. 【点睛】本题考查等差、等比数列的综合运用，难度较易.求解形如n n n a b c =+的前n 项和（{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列），注意采用分组求和的方法.18．已知抛物线2:2C y px =(0p >)经过点(1,2)A -，直线l 过抛物线C 焦点F 且与抛物线交于M 、N 两点，抛物线的准线与x 轴交于点B . （1）求实数p 的值；（2）若4BM BN ⋅=u u u u r u u u r，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）10x y --=或10x y +-=.【解析】（1）直接将点的坐标代入到抛物线方程，即可求解出p 的值；（2）设出直线l 的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到对应的韦达定理形式，将4BM BN ⋅=u u u u r u u u r改写成韦达定理形式即可求解出直线l 的方程.【详解】（1）∵抛物线C 过点()1,2- ∴2(2)21p -=⋅⋅∴2p =（2）抛物线C 为24y x =，焦点F 为()1,0，准线为1x =-∵抛物线准线与x 轴交于点B ，∴(1,0)B - ∵过焦点F 的直线l 与抛物线有两个交点.∴直线l 的斜率不为0，故设直线l 为1x my =+，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭∴214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得：2440y my --=，∴121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩ ∵4BM BN ⋅=u u u u r u u u r ，∴2212121,1,444y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形得：()21121212222()3164y y y y y y y y +-++=即21681434m +-+=，解得1m =±故直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及根据坐标的韦达定理形式求解直线方程，难度一般.直线与圆锥曲线的综合问题中，若出现向量数量积运算，可优先考虑利用坐标的韦达定理形式解决问题.19．如图，在四棱锥—S ABCD 中，底面ABCD 是矩形，SA ⊥平面ABCD ，2AD SA ==，1AB =，点E 是棱SD 的中点.（1）求异面直线CE 与BS 所成角的余弦值； （2）求二面角E BC D --的大小. 【答案】（1）15；（2）4π.【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据两条直线方向向量的夹角的余弦值求解出异面直线所成角的余弦值；（2）利用平面法向量夹角的余弦值结合具体图形，即可计算出二面角E BC D --的大小. 【详解】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则(0,0,2)S ，(0,2,0)D ，点E 为SD 中点，则(0,1,1)E ，(1,2,0)C∴(1,1,1)CE =--u u u r∵(1,0,0)B ，∴(1,0,2)BS =-u u u r设异面直线CE 、BS 所成角为θ∴||cos ||||CE BS CE BS θ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r ∴异面直线CE 与BS所成角的余弦值为5； （2）设平面EBC 的法向量()1111,,n x y z =u r ，(0,2,0)BC =u u u r ，(1,1,1)CE =--u u u r则1111200y x y z =⎧⎨--+=⎩，令11x =，得111101x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴1(1,0,1)n =u r取平面BCD 的一个法向量2n AS =u u r uu r ，求得2(0,0,2)n =u u r∴122121cos ,2n n n n n n ⋅<===⋅>u u r r ru u r u r u r ∴法向量11,n n u r u r的夹角为4π. 即二面角E BC D --的大小为4π. 【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角以及二面角，难度一般.（1）向量法求解异面直线所成角时，注意异面直线所成角的余弦值等于直线方向向量所成角余弦值的绝对值；（2）向量法求解二面角的大小时，平面法向量夹角的余弦值不一定等于二面角的余弦值，需要结合具体图形判断.20．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？【答案】（1）()4,16 n *∈N ；（2）该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12.【解析】（1）列出利润的表达式，盈利则利润大于零，由此求解出n 的取值范围；（2）列出平均利润的表达式，利用基本不等式求解出平均利润的最大值. 【详解】 （1）由题意得：(1)6919212602n n n n ----⋅> 化简得：220640n n -+< 解得：416n <<，答：该批小型货车购买n 年后盈利，n 的范围为()4,16,且n *∈N （2）设批小型货车购买n 年后的年平均利润为y则2360192643()6032646012n n y n n n-+-==-++≤-⨯+=当且仅当8n =时取“=”，答：该批小型货车购买8年后的年平均利润最大，最大值是12. 【点睛】本题考查二次函数模型以及基本不等式的实际应用，难度一般.解答问题的关键是能通过题意列出对应的表达式，同时在利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为32，焦距为23.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 上一点，过点O 作OM 的垂线交直线23y =N ，设OM 的斜率为k (0k ≠).求证：2211OM ON +为定值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据离心率以及焦距先求解出,a c 的值，然后即可求解出22,a b 的值，从而C 的方程可求；（2）设出直线OM 的方程，根据点到点的距离公式表示出2OM ，再根据斜率的关系亦可表示出2ON ，由此可判断出2211OM ON+为定值. 【详解】（1）∵∴c a =∵椭圆的焦距为∴2c =c =2a =∴2222221b a c =-=-=∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）∵OM 的斜率为k ，∴设直线OM 为y kx =.2244x y y kx ⎧+=⎨=⎩，求得：22414x k =+∴M OM ==∴()2224114k OM k +=+∵ON OM ⊥，∴1ON k k=-∴3N ON y ==，∴()22413k ON +=∴()()()222222214344141141114k k k k k OM ON ++=+==++++ ∴2211OM ON+为定值1. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及椭圆中的定值问题，对学生的的分析和计算能力要求较高，难度一般.求解椭圆方程的两种思路：（1）根据椭圆的定义求解方程；（2）根据,,a b c 的值求解椭圆方程.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-(N n *∈). （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的N n *∈，不等式1()15n n n a a λ+-+≤恒成立，求实数λ的最大值.【答案】（1）2nn a =；（2）278. 【解析】（1）由22n n S a =-写出1n -时对应的等式，两式作差即可证明{}n a 为特殊数列，由此求解出{}n a 的通项公式；（2）将不等式1()15n n n a a λ+-+≤采用分离参数的方法分离出λ，由此得到λ与关于n 的式子的大小关系，通过数列的单调性可分析出关于n 的式子的最值，即可求出λ的范围. 【详解】（1）∵22n n S a =-① ∴1122(2)n n S a n --=-≥② ①-②得122n n n a a a -=-，即12nn a a -= ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列 ∵11122S a a =-=，∴12a = ∵221222S a a a =-=+，∴24a = ∴212a a =，即当1n =时，符合等比数列 ∴当*N n ∈时，{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴111222n n nn a a q --=⋅=⋅=；（2）要使1()15n n n a a λ+-+„恒成立，则1()2215n nn λ+-⋅+„，参变分离得1min15122n n λ+⎛⎫+- ⎪⎝⎭„ 令115122n n b n +=+-，∴212215215122n n n n n b b ++++--=-= ∴当2n ≥时，10n n b b +->，即1n n b b +> 当1n =时，10n n b b +-<，即21b b <.∴1234n b b b b b ><<<<<L L ∴当2n =时，n b 有最小值为278. ∴278λ…∴实数λ的最大值为278. 【点睛】本题考查根据()12n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式以及根据数列单调性求解参数最值，难度一般.（1）数列{}n a 的单调性的证明方法：将1n n a a +-的结果与0比较大小，若大于零，则是递增数列，若小于零，则是递减数列.；（2）数列求通项时若出现了1n -的下标则需要标注2n ≥，要注意验证1n =是否符合条件.。

江苏省淮安市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）当实数x,y满足不等式时，恒有成立，则实数a的取值集合是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·莆田期末) 已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2．下列说法正确的是（）A . “p∨q”为真命题B . “p∧q”为真命题C . “￢p”为真命题D . “￢q”为真命题3. （2分）下列四个判断：①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn），由样本数据得到回归方程 = x+ 必过样本点的中心（，）；③调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年中应抽取的个体数为12；④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距．其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分）下列命题是假命题的是（）A . 已知随机变量，若，则；B . 在三角形中，是的充要条件；C . 向量，，则在的方向上的投影为2；D . 命题“ 或为真命题”是命题“ 为真命题且为假命题”的必要不充分条件。

5. （2分） (2016高二下·新疆期中) m=0是方程x2+y2﹣4x+2y+m=0表示圆的（）条件．A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要6. （2分） (2016高二下·新疆期中) 设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 237. （2分） (2017高三下·武邑期中) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A . 18B . 20C . 21D . 408. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A . 2cm2B . cm3C . 3 cm3D . 3cm39. （2分） (2016高二下·新疆期中) 设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣D .10. （2分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A .B .C . 3D . 911. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A . （3，5）B . （3，+∞）C . （2，+∞）D . （2，4]12. （2分） (2016高二下·新疆期中) 已知点F1 ， F2为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A . （0，）B . （0， ]C . （， ]D . [ ，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知函数f（x）满足f（2x+1）=3x+2，则f（x）=________．14. （2分） (2019高一下·湖州期末) 已知点，，向量，则向量________，向量 ________．15. （1分） (2018高一下·四川期末) 若变量满足约束条件，则的最小值为________．16. （1分）已知，，三点共线，则对空间任一点，存在三个不为的实数λ ， m， n，使，那么的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共6题；共50分)17. （5分） (2017高一下·济南期末) 已知α，β为锐角，cosα= ，tan（α﹣β）=﹣，求cosβ的值．18. （5分） (2016高二上·郸城开学考) 已知函数f（x）=2cos2（x﹣）﹣ sin2x+1（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（，）时，若f（x）≥log2t恒成立，求 t的取值范围．19. （5分） (2016高二上·曲周期中) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量 =（a，b）与 =（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a= ，b=2，求△ABC的面积．20. （10分）（1）已知，，求，，；（2）已知空间内三点，， .求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积 .21. （15分） (2016高二下·新疆期中) （文）已知点D（1，）在双曲线C： =1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是 x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．22. （10分） (2016高二下·新疆期中) 已知函数f（x）= ﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2emx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1 ，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。