2015年秋河南省漯河市临颍县新人教版八年级数学上册教案12.2.4“HL”公理.doc

∴DC＝FE.
∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE.
综合题
15．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距 离相等，且OB＝OC. (1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABO＝∠ACO； (2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO＝ ∠ACO.
证 明 ： (1) 过 点 O 作 OE⊥AB 于 E ， 作 OF⊥AC 于 F ， 则 ∠BEO＝∠CFO＝90°. 又∵OB＝OC，OE＝OF， ∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL)． ∴∠ABO＝∠ACO. •过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足， 则∠BEO＝∠CFO＝90°. 又∵OB＝OC，OE＝OF， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC. ∴∠EBO＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.
BC＝EF， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)． ∴AC＝DF. ∴AC－AF＝DF－AF，即 AD＝CF.
知识点2 直角三角形全等判定方法的选用 7．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那 么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ B ） A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
中档题
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC，AC
＝6，EC＝6，∠ACB＝60°，则∠ACD的度数为（ B ）
A．45°
B．30°
C．20°
D．15°
10．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，一条 线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线 AX上移动，当AP＝__C__B____时，才能使 △ABC≌△QPA.

可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM上截取CB=4cm．
第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A．
第四步：连结AB．
就可以得到所想要的Rt△ABC．（如下图所示）
将Rt△ABC剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．
4．角边角（ASA）5.角角边（AAS）6.HL（仅用在直角三角形中）
（二）当堂测评：
长江作业
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
四、反思小结当堂测评
（一）反思小结：
至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义2．边边边（SSS）3．边角边（SAS）
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？

第4课时“斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS ”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。

2．你可以做出几个满足同样条件的三角形？
3．你作的三角形与同桌作的三角形全等吗？
4．把数据变一下，同组的同学用同样的数据再作一次，看你们的三角形还全等吗？
5．通过上面的画图及比较，在直角三角形中，你发现了什么规律？
小结：在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于的特殊方法.
(2) 注意对应相等.
图1图2
3．如图2，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF（填”全等”或”不全等”）
据（用简写法）；
（2）若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF（填”全等”或”不全等”）
根据（用简写法）；;
（3）若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF（填”全等”或”不全等”）
六、我的收获与反思
(1)当图中哪两条线段相等时，△ABC≌△BAD？写出所有的答案,并选择其中一种进行证明.
(2)如果所问的条件不限“两条线段相等”，那么你又能确定哪些条件呢？
成
果
检
验
五、当堂检测
1．如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，求证：(1)△ABF≌Rt△DCE
(3) 因为”HL”仅适用直角三角形,
书写格式应为:
∵在Rt△ABC与Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
总结:判定两个直角三角形全等的方法有:．
导
学
解
疑
一、展示点拨，归纳新知：
二、典例分析
例1：如图1，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，
求证：(1)BC=BD
(2)若设AD、BC的交点为E，那么在图中，你还能得到哪对全等三角形？试说明理由；