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(完整版)布尔函数参考答案

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湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准
课程编号 0701E0205 课程名称 密码与编码学中的布尔函数
注：需写清题号、每小题分值、参考答案要点、评分标准等

一、概念题参考答案及评分标准：
1.设2F是二元有限域，n为正整数，nF2是2F上的n维向量空间，从nF2到2F的映
射：22:FFfn称为n元布尔函数.
一个n元布尔函数f可以表示为2F上的含n个变元的多项式:

2)1()1)(1)(,,(),,(22112121Fa
nnnn

i

axaxaxaaafxxxf

nianaaFanxxxaaaf2122121),,(.

这里11niiixa表示2F中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示称
为布尔函数f的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形式
的一个多项式：

nnnjiiiiinjijijiniiinxxaxxaxxaxaaxxxfdd1,11,1,1021
11

),,(




这里系数jia,2F.

评分标准：答出n元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.

2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、
相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.
平衡性：一个n元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，
也就是该布尔函数的Hamming重量为12n.
代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数.
差分均匀度：设是一个n元布尔函数，其差分均匀度定义为
2
2

20maxmax{|()()}nnf
FaFxFfxafx



.

非线性度：f的非线性度()NLf定义为f和所有仿射函数的最小Hamming距离：
()min(,)min()nnlAlANLfdflwtfl
.
相关免疫阶：设是一个n元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如
果与中任意个变元统计独立，则称是m阶相关免疫函数。
评分标准：每个指标2分，答出其中5个得10分.

3.（10分）设1m，2mn，0rm.线性空间2nF中的子集合
2(,){|,deg}nfm
RMrmcFfBfr
叫做r阶的二元Reed-Muller码
其中mB为全体布尔函数的集合

二、证明题答题要点及评分标准：
1.（1）（10分）根据循环Walsh谱的定义,得到

2
()()(1)nfxxfxFW




g

22
{|()}{|()}nnxFfxxxFfxxgg
22()ntfxg
（2）（10分）根据循环Walsh谱的定义,得到

22()nfFW222
()()(1)(1)nnnfxxfyyFxFyF




gg

222
()()()(1)(1)nnnfxfyxyxFyFF











g

2
222nnn
xyF


倒数第二个等号成立是因为2(1)nxFg仅当0x时取值2n，其他时候取值均为
0.
2.证明：定义()fx的对偶函数()fx%如下：



2

2
0,2;1,2,nfxnfxWfxW





%

运用Walsh变换的性质得出22nfWa%，即fx%也是Bent函数.（4分）
再证明n元布尔函数()fx是Bent函数当且仅当矩阵

2
2

2
,,,[2]nnnffuvFuvFBhuvWuv







是一个nn22的Hadamard矩阵.（6分）
最后证明原命题：
（必要性）()fx是Bent函数则()fx%也是Bent函数.

通过221nuvfWuv%，得出矩阵

22
2

2
,,,,[1][2]nnnnfuvffuvFuvFuvFHhuvWuvB





%%

是Hadamard矩阵；（5分）

（充分性）由22,,,[1]nnfxyxyFuvFHhxy.
得出

2
12nfxfxynxFy

将上式两边同时乘以1yu，并对y求和得到22nfWu即22nfWu，则
()fx

是Bent函数. （5分）

3.证明：先利用McEliece定理，证明若()fx是相关免疫函数，1mn，则

110mod2nmmdfWa







,对任意2naF.（5分）

于是

2
1max2nmfaFWa


再结合211()2max2nnfaFNLfWa即得
1()22nmNLf

.（5分）
类似的，若()fx是m阶弹性函数

220mod2nmmdfWa







，对任意2naF.（5分）

再结合211()2max2nnfaFNLfWa即得
11()22nmNLf

.（5分）

4. 证明：记T为所有代数次数不超过2n的n元单项式构成的集合；
令|TffXXT,则
2
22nninTTfi





，（5分）

注意到T中所有元素线性无关，从而
0XYXTYTaXafY

，

其中Xa，2YaF,且存在某个0Ya.令
XXThaX，Y
YTgaY



，

则
0fgh
，（5分）

其中0,deg,deg2nggh.
于是，若0h，则0fg，否则10fh，所以
()2nAIf




（5分）.

因为f是2nF到2F的映射，总有10ff，于是
()degAIff
（5分）

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离散数学期末考试题及详细答案

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离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。

答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

《离散数学》试题带答案(二)

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《离散数学》试题带答案试卷九试题与答案一、 填空 30% （每空 3分）1、 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A= 。

2、 集合A={Φ,{Φ}}的幂集P (A) = 。

3、 设A={1，2，3，4}，A 上二元关系R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}画出R的关系图。

4、 设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= 。

B A = 。

5、 设|A|=3，则A 上有 个二元关系。

6、 A={1，2，3}上关系R= 时，R 既是对称的又是反对称的。

7、 偏序集><≤R A ,的哈斯图为，则≤R = 。

8、 设|X|=n ，|Y|=m 则（1）从X 到Y 有 个不同的函数。

（2）当n , m 满足 时，存在双射有 个不同的双射。

9、 2是有理数的真值为 。

10、Q ：我将去上海，R ：我有时间，公式)()(Q R R Q →∧→的自然语言为 。

11、公式)()(Q P P Q ∧⌝∧→的 主合取范式是 。

12、 若} ,, , {21m S S S S =是集合A 的一个分划，则它应满足 。

二、 选择 20% （每小题 2分）1、 设全集为I ，下列相等的集合是（ ）。

A 、} |{是偶数或奇数x x A =；B 、)}2( |{y x I y y x B =∧∈∃=；C 、)}12( |{+=∧∈∃=y x I y y x C ；D 、},4,4,3,3,2,2,1,1,0|{ ----=x D 。

2、 设S={N ，Q ，R}，下列命题正确的是（ ）。

A 、S S N N ∈∈∈2 ,2则； B 、S N S Q Q N ⊂∈⊂则 ,； C 、R N R Q Q N ⊂⊂⊂则 ,； D 、S N S N ⋂⊂Φ⊂Φ⊂Φ则 ,。

威布尔分布函数处理溶出数据应注意的问题

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卡波姆 (Carbom er) 是丙烯酸与烯丙基蔗糖或季戊 四醇交链而成的高分子聚合物, 是一种优良的药剂新 辅料, 美、英药典均已收载, 我国药用标准的卡波姆已 由上海人民制药 厂生产。 1 卡波姆的性质[1～ 4 ]
卡波姆为白色、疏松、酸性、具吸湿性和特殊臭味 的粉末, 平均含水量为 8%。根据聚合度的不同, 有多种 型 号 的 产 品, 美 国 药 典 收 载 6 种, 即 Ca rbom er2910, Ca rbom er2934, Ca rbom er2934p , Ca rbom er2940, Ca r2 bom er2941, Ca rbom er21342, 水分散相中和粘度 (0. 5～ 1% ) 为 3 000～ 60 000 厘泊。国产卡波姆根据粘度的不 同, 分为高、中、低 3 种型号。 卡波姆可溶于水、乙醇和 甘油, 具有胶体溶液的特性。在实际应用中卡波姆凝胶 必须避光放置, 也可加入适当稳定剂, 如醇、多羟基化
似。m = 1 时,W eibu ll 分布即可转化为通常的指数分
布。Β: 尺度参数。Α、m 固定时, Β 取不同值, 曲线的零点
相同, 形状也相似, 只是在 x 轴方向上有所压缩或伸
展。用W eibu ll 分布函数进行体外溶出数据处理中常求
算的参数还有: T d: 特征数, 药物溶出63. 2% 所需的时
学杂志, 1990, 10 (12) : 571 9 陈幼亭, 肖本富. 算法对W eibu ll 分布函数参数的影响. 药
学世界, 1995, 3 (3) : 32 (1997 年 10 月 6 日收稿)
卡波姆在半固体制剂中的应用
冯端浩 郑 毅 (中国人民解放军第 309 医院 北京 100091)
合物和螯合物等。温度对卡波姆凝胶粘度有一定影响, 但相对变化不大, 室温冷藏和冰冻储存其粘度稳定性 良好。 卡波姆对热压稳定经高压灭菌制成无菌的凝胶 制剂, 可用于临床。 卡波姆应用中未见刺激性、过敏反 应, 具有良好的乳化性、增稠性、助悬性和成膜性。Car2 bom er2934p 是认为可作内服用的药品级树脂。 2 在半固体制剂中的应用
数电习题参考答案(1-4)

数电习题参考答案(1-4)

第一单元练习数制与码制-答案、填空题（10 分）1、数制，基数，位权。

2、 0、1，2，逢二进一3、编码4、时间，幅度，H, L5、布尔代数（逻辑代数），逻辑电路6、二进制、八进制、十六进制7、8421BCD码，2421BCD码，5421BCD码，余三码，格雷码，奇偶校验码8、262.54，B2.B9、11101.1，29.5，1D.8，(0010 1001.0101)10、100111.11，47.6，27.C11、1011110.11, 136.694.75(1001 0100.0111 0101)12、1001110, 116，78, 4E二、选择题1. CD2. C3. B 4. CD 5. ABCD6. ABC7. .AB8. CD 9. BCD 10. A三、判断题1. V2. X3. V4. V5. V6. X7. X8. X9. V 10. V第二单元练习基本逻辑运算、逻辑代数公理定理、填空题（10分）1、布尔，与，或，非，与非，或非, 同或，异或2、逻辑表达式（逻辑函数），真值表，逻辑图，卡诺图3、代入规则，对偶规则，反演规则4、AB <C - D) , AB *(C ■ D)5、 A A B = A B6、AB AC7、0& A B *(C D) (B C). 、选择题1. D2. ABCD3. B4AD 5. AC6. A7. ACD8. C 9 D 10 . BCD V三、判断题1. X2. V3. V4. X5. X6. X7. V8. X 9 . X 10. X四、变换题1、已知F = A• B CL D E, 求其反函数F和对偶式F 二 A B C|_D E 二 A B CDE F =A （B CDE A B A CDE求 F ： F =A B C|_D E 二 A B CDEF 二 AB(C D E) = AB CDE五、简答题⑴ 如果已知X •丫二X Z,那么丫二Z 。