【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考冲刺：换元法与构造法的妙用
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数学方法是解决数学问题的工具，常用的数学方法有换元法、配方法、待定系数法、构造法等，不同的问题可以用不同的方法解决，相同的问题也可以有各种不同的方法（即所谓的一题多解）。
各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的，是高考的热点，本讲探究换元法与构造法的妙用，以期抛砖引玉。
1. 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
常用的换元有局部换元、三角换元、整体换元等。
2. 构造法
构造法是指当解决某些数学问题时，使用通常方法按照定向思维难以解决问题，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，根据问题的数据、外形、坐标等特征，构造出满足条件或结论的数学对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
例题 （北京高考）已知函数()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π
=-∈.
（1）求证：()0f x ≤；
（2）若sin x a b x <<对(0,)2
x π
∈恒成立，求a 的最大值与b 的最小值。
解析：（1）要证()0f x ≤，只需证明()cos sin 0f x x x x =-≤，只需证()f x 的最大值小于等于0，然后利用导数判断函数的单调性，判断()f x 与0的大小关系；
（2）sin x
a b x
<<等价于sin 0x ax ->且sin 0x bx -<，即根据不等关系构造含,a b
的不等式，然后构造函数()sin g x x cx =-，通过研究函数()g x 的单调性和区间范围得出c 的范围，进而得出,a b 最值。
答案：（1）证明：由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，
因为在区间(0,
)2
π上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间[0,]2π
上单调递减，从而
()(0)0f x f ≤=；
（2）当0x >时，“
sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x
b x
<”等价于“sin 0x bx -<”，
令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-，
当0c ≤时，()0g x >对任意(0,)2
x π
∈恒成立，
当1c ≥时，因为对任意(0,
)2x π
∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间[0,]2
π
上单调递减，从而()(0)0g x g <=对任意(0,
)2
x π
∈恒成立，
当01c <<时，存在唯一的0(0,
)2
x π
∈使得00()cos g x x c '=-=0，
()g x 与()g x '在区间(0,)2
π
上的情况如下：
因为()g x 在区间0[0,]x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=，进一步，“()0g x >对任意(0,
)2x π
∈恒成立”当且仅当()1022g c ππ=-≥，即2
0c π
<≤， 综上所述，当且仅当2c π≤时，()0g x >对任意(0,)2
x π
∈恒成立；当且仅当1c ≥时，
()0g x <对任意(0,)2x π
∈恒成立， 所以，若sin x a b x <<对任意(0,)2x π∈恒成立，则a 的最大值为2
π
，b 的最小值为1。
点拔：使用构造法的关键是如何构造及构造怎样的函数、方程、不等式等，这往往需要观察问题所要研究的代数结构，进而做出相关的猜测和试探，切不可胡乱拼凑，要冷静观察、合理构造。
妙用三角换元求最值
对有些最值问题，巧构向量，利用向量模的性质，常能打破常规，另辟蹊径，获得简捷、独到的解法，有时妙用三角换元法也会有意想不到的精彩。
【满分训练】设b 2是a +1和a -1的等比中项，则4a b +的最大值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
解析：根据等比中项的概念求出,a b 的关系，然后根据等式特点，用换元法或构造向量法求解。
