浅谈初中数学线段之和最值问题

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-可编辑修改- 浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接：七上7.3线段的长短作业题：

如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由.

解题分析：

教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连接OC,求OC的长的最大值.

解题分析：潍坊的这一试题对教材进行了拓展：点C为动点，直接相联不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值,所以设AB中点为P，在一般情况下OP+PC＞OC，当O、P、C三点一线时OC=OP+PC最大.

求解策略：教材的模型是在两定点之间求最小值，根据“两点之间线段最短”，只要把两定点直接相连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值.

1.2应用垂线段最短

教材链接：七上7.7相交线（2）作业题

如图,直线l表示一段河道,点A表示集镇,图上距离与实际距离之比为1︰2000 000.现要从河l向集镇A引水，问沿怎样的路线开挖水渠，才能使水渠的长度最短？……

解题分析：教材作业题解决思路是过点A向垂直于水渠的方向开挖水渠，水渠长最短. 直接利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短”的原理.

试题链接：2010台湾

如图，△ABC中，有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6，則APBPCP的最小值为何？

(A) 8 (B) 8.8 (C) 9.8 (D) 10

解题分析：台湾此题APPC=AC为定值5，从而三线段和转化为求BP最小值，因为B为定点，P为AC上一动点，所以BP最小值就是定点B到AC的垂线段.

求解策略：教材的模型是已知一定点和一定直线求最小值.解答此类试题只要透过问题找到本质，剔A C

B DA

B C P

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-可编辑修改- 除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短” 即可得出最小值.

在平面几何求最值这类问题中，应用轴对称变换、平移变换和旋转变换这三种图形变换及性质，可以将那些分散、远离的条件转移到适当的位置上，得以相对集中后，再应用上述定（公）理，便可迎刃而解.

2.结合图形变换求最值

2. 1应用轴对称变换把直线同侧的线段和转化为异侧线段之和

2.1.1一定直线+两定点+一动点

教材链接：浙教版科学七下1.5光的反射和折射

基本模型1：（将军饮马问题）白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？

如图，在定直线l同侧有两个定点A、B,在定直线l上有一动点P，请找到使PA+PB 最短的点P位置.

思路分析：

如图2作A关于直线l的对称点'A,连接'AB交l于p，则p点即为所求使AP+BP为最短的距离（此题过B作关于l的对称点'B也可，方法都是一样的.

中考链接： 2010湖北鄂州市

如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点C、A分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为)0,2(，P是OB上的一动点，试求PAPD和的最小值是 A．102 B. 10 C. 4 D. 6

解题分析：由已知得点P为定直线OB上的动点，点D和点A为两个定点，符合模型；用正方形的轴对称性可知点A关于OB的对称点就是点C,因此PAPD和的最小值就是PCPD的最小值，而点A和点C都是定点，根据“两点之间线段最短”可得DC即为所求.

求解策略：此类试题往往把背景变换成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，但都有一个 “轴对称性”的图形共同点，解题时只要从变换的背景中提取“一定直线+两定点+一动点”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“两点间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决.若设问是求三角形周长或四边形周长最值，则必含有定长线段，依然可以转化为两线段和的最值.

2.1.2两定直线+一定点+一动点

基本模型2：如图1，已知两定直线a和l，其中在定直线l上有一个定点A,在定直线a上有一动点P，请找到使PA和点P到直线l距离之和的最小值的点P位置.

思路分析：如图2作A关于直线a的对称点'A,过'A作'AH垂直l于点H，则p点即为所求使AP和P到直线l距离和为最短的点.

中考链接：2009绍兴

定义一种变换：平移抛物线1F得到抛物线2F，使2F经过1F的顶点A．设2F的对称轴分别交21F，Fy

O D A x P B C 。

-可编辑修改- 于点B，D，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）、（2）略（3）如图3，若1F：3732312xxy，经过变换后，32AC，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

解题分析: 容易证得菱形ABCD，由菱形对称性可知PBPD.如图1，

作ADPH交AD于点H，则PHPBPHPD．要使PHPD最小，

只要使PHPB最小，此最小值是点B到AD的距离，即ABD边AD上的

高h．（∵1DN，3AN，ACDB，∴30DAN，故

ABD是等边三角形． ∴323ADh ∴ 最小值为3．

（C在点A的右侧和左侧同理）．

求解策略：解决此类题的关键是在轴对称背景中提取模型条件，通过找定直线的对称点把同侧线段和转化为异侧线段和，利用“点到直线垂线段最短”，实现“折”转“直”时，最小值就得到。

2.1.2两定直线+一定点+两动点

基本模型3：如图，已知∠AOB=45°，其中有一定点P，在AO,BO的边上有两动点MN，是否存在点MN，使得△PMN的周长最小

oABPMN oABPMNP1P2

解题分析：要求△PMN周长的最小值，其实就是求PM+PN+MN的最小值，根据基本模型2，作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1 P2交OA,OB于点M,N，则PM+PN+MN最小，即△PMN的周长最小。

2. 2．应用平移变换将无交点的两线段之和转化为“将军饮马问题” 中的两线段之和

教材链接:浙教版七下2.6图形变换的简单应用作业题:

B D

C A P

O y

x F1

（第24题图3）B D

O y

x F1

A P

图2 N

B D

O y

x F1

A P

图1 H

N 。

-可编辑修改-

“要在一条河上架一座桥(桥通常与河岸垂直),小聪小明小慧分别提供了一种方案,哪一种方案能使从A地到B地的路程最短?请说明理由.” （建桥问题）

思路分析：小明的方案能使从A到B地的路程最短.方法是：将B点向下平移到M，使B M的长等于桥长；连结A、M交b于点D,过点D作a的垂线，交a于点C,则CD是桥所在的位置.

基本模型4；两定点+一定直线+同侧两定点

如图1，已知两定点A、B和定直线L，其中在定直线上有两个定距离的动点A,B请在直线L上找到使AC+BD值最小的点C和点D的位置.

思路分析：如图2，作点B的对称点'B ,过点A作'AA∥L,且'AA=CD,连结'BA‘与直线L交点即为所求的点D位置，点C位置随之也就确定. 该模型是教材的变式。

中考链接： 2010天津：

在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB，D为边OB的中点.（Ⅰ）略（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

解题思路：如图，由于CD和EF是两定长线段，因此，四边形CDEF的周长最小值其实就是DE+CF的最小值.作点D关于x轴的对称点D，在CB边上截取2CG，连接DG与x轴交于点E，在EA上截取2EF.∵ GC∥EF，GCEF，∴ 四边形GEFC为平行四边形，有CFGE.又 DC、EF的长为定值，∴ 此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

∵ 由 RtOED∽RtBGD,可得31OE.∴ 37231EFOEOF.∴ 点E的坐标为（31，0），点F的坐标为（37，0）.天津试题是模型的变式，区别在于把定直线异侧不“聚头”的两线

初中数学线段之和的最值求解策略

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初中数学线段之和的最值求解策略

作者：王乔军

来源：《新高考·升学考试》2018年第12期

线段之和问题通常以直线、三角形、四边形、圆等几何图形或函数图像为背景，考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.这类问题呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点.解决这类问题的关键是根据图形的基本特征，将线段之和的最值问题转化为相应的几何模型.笔者根据自己教学实践中的体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略.

1. 运用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理（定理）：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

例1. 如图1已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，求OC的长的最大值.

【解题分析】点C为动点，直接相连不可能解决，但因为直角三角形斜边上的中线长和等边三角形边上的中线也是定值，所以设AB中点为P，在一般情况下OP+PC>OC，当O、P、C三点一线时OC=OP+PC最大.

【解题策略】根据“两点之间线段最短”，只要把两定点直接相连，对无法或较难量化的两点间距离则可以利用几何图形的性质转化为“折线和”，再利用三角形三边关系或两点间线段最短可得出最值.

1.2应用垂线段最短

【解题分析】此题AP

Symbolk@@ PC=AC为定值10，从而三线段和转化为求BP最小值，因为B为定点，P为AC上一动点，所以BP最小值就是定点B到AC的垂线段.

【解题策略】解答此类试题只要透过问题找到本质，剔除一些不变的线段（和）转化为一定点到一定直线的距离，再利用“直线外一点到直线的所有线中垂线段最短” 即可得出最小值.

求线段和或差的最值问题的方法

我折腾了好久求线段和或差的最值问题，总算找到点门道。

我一开始也是瞎摸索，就知道最基本的两点之间线段最短。比如说有两个点A和B，那从A到B的最短距离肯定就是连接AB的线段长度嘛。但一遇到稍微复杂点的情况，就歇菜了。

就像那种在一条直线同侧有两个点A和B，要在直线上找一个点P，使得PA + PB的值最小的问题。我试过直接连线，那肯定不对呀，然后我就去翻书查资料。人家说要做对称点，可是为啥呢，我开始也不明白。后来我就自己画图去尝试，拿一张纸，画出线、点，再试着把一个点比如B关于这条直线做对称点B'，这时候连接AB'，与直线的交点就是那个P点啦。为啥呢？我就想啊，你想啊，你把B点对称过去有了B'，这时候PA +

PB就相当于PA + PB'，那就变成了两点之间的距离啦，当然是线段AB'最短啦，按照这个方法去做这类题就都能解决了。

还有那种求一条差的最大值的题，我当时也很懵。比如说有个三角形ABC，里面有个点P，要找PA - PB的最大值，我开始都不知道从哪下手。后来我琢磨着，在三角形里，两边之差小于第三边。那对于点P来说，如果三点共线呢？我就尝试把B点、P点、A点想办法弄成一条线的情况。结果发现当P点在直线AB与三角形ABC的交点的时候，如果P向远离B靠近A的方向走，PA - PB就越大，最大就是AB的长度。

不过这里面要注意的是，画图一定要准确，当时我就是因为画图不认真，把对称点找歪了，结果答案就错了。所以画图要仔细，每一步的原理要多想想，找到这几个点之间的关系，像连线的依据啊这些一定要搞清楚。再就是多做一些类似的题，做完之后总结下方法，比较一下这些题目的相似的地方和不同点，这样求线段和或者差的最值问题就慢慢能搞定啦。有些时候可能问题会更复杂，比如说多个点或者更多的线段交错的情况，我想也应该是先从这些简单情况的方法里去找门道，把问题逐步拆解，找关键点之间的关系像对称或者共线这些情况啦。

线段最值问题模型整理

一、模型建立

线段最值问题可以表述为：对于一个给定的数轴上的线段，其两个端点分别为A和B，我们要寻找一个不同于A和B的点C，使得线段AC和BC的长度之和最小。为了解决这个问题，我们可以建立以下数学模型：

1. 设A和B的坐标分别为a和b，C的坐标为c。

2. 线段AC的长度为|c-a|，线段BC的长度为|c-b|。

3. 线段AC和BC长度之和为|c-a|+|c-b|。

4. 要找的是使得|c-a|+|c-b|最小的c值。

二、参数设定

在模型中，我们设A和B的坐标分别为a和b，C的坐标为c。参数a和b是已知的，而c是未知的。我们的任务就是找到合适的c值使得|c-a|+|c-b|最小。

三、求解策略

对于这个问题，我们可以采用以下求解策略：

1. 首先确定线段AB的位置，即确定a和b的值。

2. 根据线段AB的位置，确定点C的取值范围。由于点C不能是A或B，因此c的取值范围是[min(a, b), max(a, b)]之外。

3. 对c的取值范围进行遍历，计算每一组c值对应的|c-a|+|c-b|的值。

4. 找到使得|c-a|+|c-b|最小的c值，即为所求。

四、编程实现

在编程实现中，我们可以使用Python来进行计算。以下是一个示例代码：

```python

import sys

def find_min_distance(a, b):

# 初始化最小距离为正无穷大

min_distance = sys.maxsize

# 初始化最优解为None

best_solution = None

# 对c的取值范围进行遍历

for c in range(min(a, b), max(a, b) + 1):

# 计算当前c值对应的|c-a|+|c-b|的值

current_distance = abs(c - a) + abs(c - b)

三条线段之和最小值问题

.重庆南开中学初2013级l1班周华吴朱泓郦

0重庆南开中学初20i3级I2班王丁刘珈言

.指导教师:张克

近几年,中考数学试卷中出现了

求三条线段之和最小值的试题.题目

多变,风格清新,但万变不离其宗.下

面举三例:

霸(2009福建彰州改编)如

图1,厶40B--450r腥厶4OB内一点.

图13

(1)--角板绕点0旋转.acoFfl邑

否成为等腰直角三角形?若能,指出所

有情况(即给出ACO腥等腰直角三

角形时B珀勺长);若不能,请说明理由.

(2)---角板绕点0旋转,线段OE

和0间有什么数量关系?用图l2或

图13加以证明.

(3)若将三角板的直角顶点放在

斜边上的点P处(如图14),当:

AC4

时.和贿怎样的数量关系?证明

你发现的结论

222012/02

图14

Q-..?

图1

PO=IO,Q,R分别是,OB上的动点,

求PQ+PR+RQ的最小值

点跟角内部的一个定

点.要在角的两边各确定一点使这三

点连成的三角形周长最小.只需将这

三边的和转化为以两定点为端点的

藤(1)△c匕成为等腰直

角三角形.包括:当点雕曰C中点时,

CF=OF,曰÷;当点B与点腹合时,Z

OF=oC.Bl0.

(2)如图12,连结DB,则对于

△OEB和△OFC.有OB=OC;OBE=

/0CF--45..因为E0露+/--BOF=

/-COF+L_BOF=90..所以/_EOB=

C0F所以△D朋△OFC.所以

DEl_D(图13的证明方法与此类似)

(3)如图14,过点尸作肼上AB,垂

足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为

厶EPM+厶EPN=厶EPN+/_FPN=90~.

所以厶EPM=FpN.叉因为EMP=

FNP=90~.所以AEPM'-"AFPN.所

以—PM

—

:丝.因为AAMP~APNC:BJ

PP}

为等腰直角三角形,所~'XRt△PMA

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初中数学线段之和的最值求解策略

求线段和或差的最值问题的方法

线段最值问题模型整理

三条线段之和最小值问题

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