华师大版-数学-九年级上册- 一元二次方程 导学案

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第22章一元二次方程

22.1 一元二次方程

弃七数字目际

【知识与技能】

1. 知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式

2 ax+bx+c=O (a^ 0).

2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元 二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加 对一元二次方程的感性认识.

【过程与方法】

通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概 念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际 问题的能力•

【情感态度】

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实 际问题的根.

住' 孰学S3程

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、情境导入，初步认识

问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900 平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？ 2

【分析】 设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x (x+10) =900,整 理可得 x2+10x-900=0. ( 1 )

问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率 .

解：设这两年的年平均增长率为 x,我们知道，去年年底的图书数是 5万 册，则今年年底的图书数是5( 1+x)万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的(1+x)倍，即5 (1+x)・( 1+x) =5 (1+x) 2万册.可列得方程5 (1+x)

2

2=7.2，整理可得 5x2+10x-2.2=0 (2)

【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题 .

二、思考探究，获取新知

思考、讨论

问题 1 和问题 2 分别归结为解方程( 1)和( 2) . 显然，这两个方程都不是 一元二次方程 . 那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？

课题 4.一元二次方程根的判别式 课时 1课时 上课时间

教学目标 1.知识与技能

(1)能根据判别式判断方程根的情况;

(2)能由方程根的情况得出判别式Δ与0的大小关系.

2.过程与方法

(1)经历思考、探究过程、发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

(2)体会解决问题能力,发展实践能力与创新意识.

3.情感、态度与价值观

(1)积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲.

(2)形成合作交流、独立思考的学习习惯.

教学

重难点 重点:b2-4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实根;b2-4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实根;b2-4ac<0⇔一元二次方程没有实根.

难点:从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.

教学活动设计 二次设计

课堂导入 用公式法解下列方程.

(1)2x2-3x=0;

(2)3x2-2√3x+1=0;

(3)4x2+x+1=0.

探索新知

合作探究 自学指导

自学课本31~32页,然后填空:

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a,b,c满足条件b2-4ac 0时才有实数根.

观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况:

①当b2-4ac>0时,方程有 个 的实数根;

②当b2-4ac=0时,方程有 个 的实数根;x1=x2=

③当b2-4ac<0时,方程 实数根. 这里的b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“Δ”来表示,用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根,如对方程x2-x+1=0,可由b2-4ac= 0直接判断它 实数根.

合作探究

从前面的具体问题,我们已经知道b2-4ac>0(<0,=0)与根的情况,现在我们从求根公式的角度来分析:

求根公式:x=-b±√b2-4ac2a,当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,√b2-4ac等于一个具体数,所以一元二次方程的x1=-b+√b2-4ac2a≠x2=-b-√b2-4ac2a,即有两个不相等的实根.当b2-4ac=0时,根据平方根的意义,√b2-4ac=0,所以x1=x2=-b2a,即有两个相等的实根;当b2-4ac<0时,根据平方根的意义,负数没有平方根,所以没有实数解.

第2讲 一元二次方程解法复习

知识要点

1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a、b、c、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：

（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个

时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：

①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；

③配方，即方程两边都加上 的平方；

④化原方程为2()xmn的形式，

如果n是非负数，即0n，就可以用 法求出方程的解。

如果n＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)axbxca，当24bac_______ 0时，x = ________

（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

①将方程的右边化为 ；

②将方程的左边化成两个 的乘积；

③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；

④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .

（1）acb42>0一元二次方程002acbxax有两个 的实数根,

即2,1xx

（2）acb42=0一元二次方程有两个 的实数根，即21xx,

（3）acb42<0一元二次方程002acbxax 实数根。

班级：______姓名：___________

年级 九年级 科目 数学 课型 运算课 课时 1

主备 主讲 课题 一元二次方程的解法——配方法

教研组长签字 教学副校长签字

一、教学目标

1.能准确找到配方所需的常数；会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.让学生经历配方法的探究过程，培养学生的应用意识，转化思想，提高学生的运算能力；

3.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心

二、教学过程

知识预备 1. 用直接开平方法解方程：27)132x（

2.问题导入：

学校要建一个操场，要求长比宽多10m，并且面积为375m2，那么操场的长和宽分别为多少？

自主探究 （一）探究配方所需的常数

1.回顾: 完全平方公式：2)ba（= ，说出公式的特点

2.根据你所掌握的公式特点，将下列代数式配成完全平方的形式

试一试： 2x＋6x＋ （ ）= x（ ）2

2x- 5x＋ （ ） = x（ ）2

2x＋8x＋ （ ） = x（ ）2

3、思考：当二次项系数为1时，常数项与一次项系数有怎样的关系？

常数项为一次项系数一半的平方

（二）用配方法解一元二次方程

1、尝试解一元二次方程 375102xx

2.解下列方程。

(1)016-62xx （2） 024-2xx

课堂小结 配方法解一元二次方程的一般步骤：1、将二次项系数化为1；2、将常数项移到方程的右边；3、方程两边都加上一次项系数一半的平方；4、写成2mxnp的形式，用直接开平法求解。 达标检测 1.用配方法将二次三项式2a-4a+5变形结果是（ ）