全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总及答案

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总及答案

一、平行四边形

1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．

（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；

（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．

【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．

【解析】

试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；

（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；

（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，即∠BHO=45°．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，

∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADG和△CDG中

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCG；

②AG⊥BE．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°， 在△ABE和△DCF中

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

∵∠DAG=∠DCG，

∴∠DAG=∠ABE，

∵∠DAG+∠BAG=90°，

∴∠ABE+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE；

（2）由（1）可知AG⊥BE．

如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．

∴∠MON=90°，

又∵OA⊥OB，

∴∠AON=∠BOM．

∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OAN=∠OBM．

在△AON与△BOM中，

∴△AON≌△BOM（AAS）．

∴OM=ON，

∴矩形OMHN为正方形，

∴HO平分∠BHG．

（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．

与（1）同理，可以证明AG⊥BE．

过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，

与（2）同理，可以证明△AON≌△BOM，

可得OMHN为正方形，所以HO平分∠BHG，

∴∠BHO=45°．

考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质

2．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）见解析；

（2）存在，理由见解析;

（3）不成立．理由如下见解析.

【解析】

试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；

（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；

（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．

试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）存在，

理由：若∠BMC=90°，

则∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴AMABCDDM，

设AM=x，则xaabx，

整理得：x2﹣bx+a2=0，

∵b＞2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，

∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，

（3）不成立．

理由：若∠BMC=90°，

由（2）可知x2﹣bx+a2=0，

∵b＜2a，a＞0，b＞0，

∴△=b2﹣4a2＜0，

∴方程没有实数根，

∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．

考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质

3．如图①，在等腰RtABCV中，90BACo，点E在AC上(且不与点A、C重合)，在ABC△的外部作等腰RtCED△，使90CEDo，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

1请直接写出线段AF，AE的数量关系；

2①将CEDV绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

②若25AB，2CE，在图②的基础上将CEDV绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AF2AE②42或22.

【解析】

【分析】

1如图①中，结论：AF2AE，只要证明AEFV是等腰直角三角形即可；

2①如图②中，结论：AF2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明EKFV≌EDAV再证明AEFV是等腰直角三角形即可；

②分两种情形a、如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当ADAC时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.

【详解】

1如图①中，结论：AF2AE．

理由：Q四边形ABFD是平行四边形，

ABDF，

ABACQ，

ACDF，

DEECQ，

AEEF，

DECAEF90oQ，

AEFV是等腰直角三角形，

AF2AE．

故答案为AF2AE． 2①如图②中，结论：AF2AE．

理由：连接EF，DF交BC于K．

Q四边形ABFD是平行四边形，

AB//DF，

DKEABC45o，

EKF180DKE135oo，EKED，

ADE180EDC18045135ooooQ，

EKFADE，

DKCCQ，

DKDC，

DFABACQ，

KFAD，

在EKFV和EDAV中，

EKEDEKFADEKFAD，

EKFV≌EDAV，

EFEA，KEFAED，

FEABED90o，

AEFV是等腰直角三角形，

AF2AE．

②如图③中，当ADAC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EHDHCH2，22AH(25)(2)32，AEAHEH42，

如图④中当ADAC时，四边形ABFD是菱形，易知AEAHEH32222，

综上所述，满足条件的AE的长为42或22．

【点睛】

本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．

4．如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.

（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；

（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.

【答案】（1）22303yxxx；（2）∠AEC=105°；（3）边BC的长为2或1172.

【解析】

试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，得到四边形ADCH为矩形．在△BAH中，由勾股定理即可得出结论．

（2）取CD中点T，连接TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，得到∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

解△ABH即可得到结论．

②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论．

试题解析：解：（1）过A作AH⊥BC于H．由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形．

在△BAH中，AB=2，∠BHA=90°，AH=y，HB=1x，∴22221yx，

则22303yxxx

（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，∴∠AET=∠B=70°．

又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，∴∠AEC=70°＋35°=105°．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，

则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．

②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又2224ACBCABx，

则221411724ADCAxxACCBxx（舍负）

易知∠ACE<90°，所以边BC的长为1172．

综上所述：边BC的长为2或1172．