离散数学考试题详细答案
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1 / 1 离散数学 考试题(后附详细答案)
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 用命题逻辑把下列命题符号化
a) 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（P⇄Q）(P⇄RS)
b) 我今天进城，除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q
c) 仅当你走，我将留下。
设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 有些实数不是有理数
设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：
x(R(x) Q(x)) 或 x(R(x) →Q(x))
b) 对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：
x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1))))
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.
设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”,
命题符号化为：F(f)⇄a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b))))
二、简答题（共6道题，共32分）
1. 求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。（5分）
(P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR)
(（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）).
(（PQR） (PQR)) ((PQR) （PQR）)
(PQR)(PQR) 这是主合取范式
公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为
（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR（PQR
2. 设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）
a) xy(x+y=4)
b) yx (x+y=4)
a) T b) F
3. 求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。（4分）
x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z))
x(F(x)→G(x))→yz(F(y)→G(z)) xyz((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))
1 / 1 a
4. 判断下面命题的真假，并说明原因。（每小题2分，共4分）
a) （AB）－C=(A-B) (A-C)
b) 若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|
a) 真命题。因为（AB）－C=（AB）~C=（A~C）（B~C）=（A-C）（B-C）
b) 真命题。因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranfB,故命题成立。
5. 设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）
a) A上有多少种不同的等价关系？
b) 从A到A的不同双射函数有多少个？
a) 52 b) 5!=120
6. 设有偏序集，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)
f g
d e
b c
图1
B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.
7. 已知有限集S={a1,a2,…,an},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,Nn;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)
K[S]=n; K[P(S)]=n2; K[N]=0,K[Nn]=0, K[P(N)]=; K[R]=, K=[R×R]= ,K[{0,1}N]=
三、证明题（共3小题，共计40分）
1. 使用构造性证明，证明下面推理的有效性。（每小题5分，共10分）
a) A→(B∧C),(E→F)→C, B→(A∧S)B→E
b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，xR(x) xP(x)
a) 证 （1）B P(附加条件)
（2）B→(A∧S) P
(3) A∧S T(1)(2) I
(4) A T(3) I
(5) A→(B∧C) P
(6) B∧C T(4)(5) I
(7) C T(6) I
1 / 1 (8) (E→F)→C P
(9) (E→F) T(7)(8) I
(10) E∧F T(9) E
(11) E T(10) I
(12) B→E CP
b) 证 (1) xR(x) P
(2) R(c) ES(1)
(3) x(Q(x)∨R(x)) P
(4) Q(c)∨R(c) US(3)
(5) Q(c) T(2)(4) I
(6) x(P(x)→Q(x)) P
(7) P(c)→Q(c) US(6)
(8) P(c) T(5)(7) I
(9) xP(x) EG(8)
2. 设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠，关系R满足：<,>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且∈R2。试证明：R是A×B上的等价关系。（10分）
证 任取,
∈A×Bx∈A y∈B∈R1∈R2<,>∈R，故R是自反的
任取<,>,
<,>∈R∈R1∈R2∈R1∈R2<,>∈R.故R是对称的。
任取<,>,<,>∈R
<,>,<,>∈R∈R1∈R2∈R1∈R2(∈R1∈R1)(∈R2∈R2) R1∈R2<,>∈R, 故R是传递的。
综上所述R是A×B上的等价关系。
3. 用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。（10分）
证 构造函数f：（0,1]→(a,b)，f(x)=22bxa,显然f是入射函数
构造函数g: (a,b)→（0,1]，abaxxg)(,显然g是入射函数，
故（0,1]和(a,b)等势。
由于22122221rmmmrmmmrr，所以22rnrs
4. 设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rs≥n2。（10分）
证 设商集A/R的r个等价类的元素个数分别为m1,m2,…,mr，由于一个划分对应一个等价
1 / 1 关系，m1+m2+…+mr=n， smmmr22221
由于22122221rmmmrmmmrr（r个数的平方的平均值大于等于这r个数的平均值的平方），所以22rnrs，即2nrs
四、应用题（10分）
在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b, a→c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。
解 把8个城市作为集合A的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A上定义二元关系R，∈R当且仅当从x到y有直接连接的道路，即
R={,,,,,,,}
那么该问题即变为求R的传递闭包。
利用Warshal算法，求得t(R)=0000000001111010000100000000000000110000001100000111100001111110
那么从城市x出发能到达的城市为})(,|{}])[{)((yxRtyxyxIRtA，
故有},,,,,{}])[{)((gfedcbaIRtA
},,,{}])[{)((gfedbIRtA
},{}])[{)((fecIRtA
},{}])[{)((fedIRtA
}{}])[{)((efIRtA
},,,{}])[{)((fedbgIRtA
}])[{)((}])[{)((eIRteIRtAA
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离散数学 考试题答案
一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 用命题逻辑把下列命题符号化
a) 设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（P⇄Q）(P⇄RS)
b) 设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：Q→P或P→Q
c) 设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P
2. 用谓词逻辑把下列命题符号化
a) 设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：
x(R(x) Q(x)) 或 x(R(x) →Q(x))
b) 设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：
x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1))))
c) 设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：
F(f)⇄a(A(a)→b(B(b) E(f(a),b) c(S(c) E(f(a),c) →E(a,b))))
二、简答题（共6道题，共32分）
1. (P→(Q→R))(R→(Q→P))（PQR）(PQR)
(（PQR）→(PQR)) ((PQR) →（PQR）).
