2009年数学九年级奥林匹克初中训练(含答案) (1)
- 格式：doc
- 大小：1.52 MB
- 文档页数：12
欧阳川本 1 / 12
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1、方程组的解的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
A、20 B、18
C、16 D、14
3、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
4、已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）
A、内心 B、外心
C、重心 D、垂心
5、方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（ ）
A、0 B、1
C、3 D、无穷多
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6、如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 _________
7、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 _________ ．
8、如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F= _________ 度．
欧阳川本 2 / 12
9、已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是 _________ ．
10、已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则= _________ ．
三、解答题（共4小题，满分60分）
11、已知抛物线y=﹣x2﹣3x+4和抛物线y=x2﹣3x﹣4相交于A，B两点．点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．
12、已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．
13、如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．
求证：（1）；（2）△PAB∽△PDC．
14、（1）是否存在正整数m，n，使得m（m+2）=n（n+1）？
（2）设k（k≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得m（m+k）=n（n+1）？
欧阳川本 3 / 12
答案与评分标准
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）
1、方程组的解的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：解二元一次方程组；绝对值。
专题：分类讨论。
分析：由于x、y的符号不确定，因此本题要分情况讨论．
解答：解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；
由于y≤0，所以此种情况不成立．
当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得；
由于当x、y同号时，原方程组无解，故这两种情况不做考虑．
因此原方程组的解为：．
故选A．
点评：在解含有绝对值的二元一次方程组时，要分类讨论，不可漏解．
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）
A、20 B、18
C、16 D、14
考点：简单的枚举法。
分析：根据题意，则白球有6种取法：2、3、4、5、6、7、8；红球有4种取法：2、3、4、5，黑球有4种取法：0、1、2、3．然后根据所取球的总数为10，用枚举法，将所有可能的情况列举出来，然后再计算一共有多少种取法．
解答：解：用枚举法：
因此所求的种数一共有4+4+4+4=16种．
故选C．
点评：此题首先要分析出各种球有多少种取法，再结合总数分析搭配的方法．
3、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，则的值为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：一元二次方程的解；分式的化简求值。
欧阳川本 4 / 12
专题：方程思想。
分析：设三个方程的公共根为x0，代入三个方程得到a，b，c的关系，然后代入代数式求出代数式的值．
解答：解：x0是它们的一个公共实数根，
则ax02+bx0+c=0，bx02+cx0+a=0，cx02+ax0+b=0．
把上面三个式子相加，并整理得
（a+b+c）（x02+x0+1）=0．
因为，
所以a+b+c=0．
于是=
故本题选D．
点评：本题考查的是一元二次方程的公共解，一般是设公共解，代入方程，确定a，b，c的值，然后求出代数式的值．
4、已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）
A、内心 B、外心
C、重心 D、垂心
考点：三角形的外接圆与外心。
分析：连接BE．根据两个圆的半径相等和圆周角定理可以证明∠BAC=∠ABE，再结合三角形的外角的性质可以证明∠BEC=2∠BAC，从而肯定该圆一定过三角形的外心．
解答：解：如图，连接BE．
因为△ABC为锐角三角形，所以∠BAC，∠ABE均为锐角．
又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，所以∠BAC=∠ABE．
于是，∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心为O1，则∠BO1C=2∠BAC，
所以⊙O一定过△ABC的外心．
故选B．
点评：此题综合运用了圆周角定理、三角形的外角的性质．
5、方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（ ）
A、0 B、1
C、3 D、无穷多
考点：非一次不定方程（组）。
分析：先把方程左边化为3的倍数的形式，再根据方程右边不可能是3的倍数判断出方程无整数解即可．
解答：解：原方程可化为x（x+1）（x+2）+3（x2+x）=y（y﹣1）（y+1）+2，
∵三个连续整数的乘积是3的倍数，
∴上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．
∴原方程无整数解．
欧阳川本 5 / 12
故选A．
点评：本题考查的是非一次不定方程的解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解答此题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6、如图，点A，C都在函数的图象上，点B，D都x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 （2，0）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质。
专题：几何图形问题。
分析：设△OAB，△BCD边长的一半为a，b，根据等边三角形的性质可得点A的纵坐标，点C的纵坐标，代入反比例函数解析式可得两个等边三角形边长的一半，相加后乘2即为点D的横坐标，点D在x轴上，所以纵坐标为0．
解答：解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F．设OE=a，BF=b，则AE=a，CF=，
∴点A，C的坐标为，（a，），（2a+b，），
∴，
解得，
∴点D的坐标为（，0）．
点评：综合考查等边三角形和反比例函数的性质；得到用等边三角形边长的一半表示点A和点C的坐标是解决本题的突破点．
7、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 4 ．
考点：扇形面积的计算；三角形的面积。
欧阳川本 6 / 12
分析：连接OP、OB，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为三角形BOP的面积的2倍．
解答：
解：连接OP、OB，
∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积，
图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积﹣△BOP的面积，
又点P是半圆弧AC的中点，OA=OC，
∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积，△AOB的面积=△BOC的面积，
∴两部分面积之差的绝对值是2S△BOP=OP•OC=4．
点评：此题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
注意根据已知条件发现面积相等的图形．
8、如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F= 360 度．
考点：多边形内角与外角；三角形的外角性质。
专题：计算题。
分析：根据四边形的内角和等于360°，及三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得出．
解答：解：在四边形BEFG中，
∵∠EBG=∠C+∠D，
∠BGF=∠A+∠ABC，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．
点评：本题考查了多边形的内角和公式与及三角形内角与外角的关系．
9、已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y=x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是 ﹣1≤a＜﹣或a=3﹣2 ．
考点：二次函数综合题。
专题：分类讨论。
分析：根据题意，图象到底是开口向上还是开口向下，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．
解答：解：依题意，应分为两种情况讨论，
①当二次函数顶点在x轴之下，
