函数的零点教案详细孔祥武

《函数的零点》教学设计

常州市第一中学 孔祥武

一.设计思想与理念

本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．

二．教材分析：

1.内容分析

函数()fx的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0fx的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数()fx与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．

学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.

2.学情分析：

初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题．

本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识．

3.教材处理

本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系． 3-1yxO对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用．

重点：函数的零点存在性定理的理解及运用.

难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；

三．教学目标设计

1．知识与技能

（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念．

（2）理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点.

2.过程与方法

能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法．

3.情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神．

四．教学过程设计

1．情境问题：

问题一： 函数223yxx图象与x轴交点坐标是什么

【生】：（-1，0） （3，0）

【师】：你是怎样得到的，

【生】：令0y解出来的.

问题二：方程2230xx的根与函数223yxx之间有什么联系

【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.

【师】：很好，方程2230xx可看作函数223yxx函数值为0时特殊情形，

函数与方程之间似乎有某种联系， 1,3是方程2230xx的两根，那么是函数223yxx的什么呢为了表述方便，我们给它一个名称，把1,3称为函数223yxx的零点.(板书课题)

设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便．

2．建构数学

问题三：类似的，函数()yfx的零点又该怎样定义

【生】：令0y，解出()0fx的根便是函数的零点.

函数的零点：

1、 定义：一般地， 我们把使函数()yfx的值为0的实数x称为函数()yfx的零点.

【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢一张纸还是一支笔啊

【生】：零点是一个实数．

【师】：很好，去掉修饰语，实数x称为零点．我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.

2、说明：

（1）函数的零点不是点，是个实数.

（2）函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与x轴交点的横坐标.

函数的零点问题方程的根的问题图象与x轴的交点问题

设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想．

问题四：方程23456345810xx有没有实数根

【生】：有，用23458434560计算，可以估算．

【师】：很好，还有别的做法吗

【生】：设2()345634581fxxx， (1)10f，因图像开口向上，所以2()345634581fxxx的图像和x轴必有两个交点． 【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题.

变化：在区间(1,2)上有根吗

【生】：(1)1,(2)0ff，二次函数图像必定穿越x轴，在区间(1,2)上有一个根．

变化：在区间(0,1)上有根吗

【生】：(1)1,(0)1ff，函数图像必定穿越x轴，在区间(0,1)上有一个根．

设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想.同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔.

问题五：若函数()yfx在区间[,]ab上满足()()0fafb,则函数()yfx在区间(,)ab上一定有零点吗试举例说明.

教师学生自己画图论证．

【生1】：不一定，1yx在区间(1,1)上满足条件，却没有零点.

【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数()yfx在区间(,)ab上一定有零点

【生】：感觉只要函数()yfx在区间[,]ab上连在一起，不间断就可以了．

引出零点存在性定理

设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的引出便是自然的，水到渠成的．

零点存在定理： 一般地，若函数()yfx在区间[,]ab上的图象是一条不间断的曲线，且()()0fafb,则函数()yfx在区间(,)ab上有零点． 问题六(剖析概念系列①②③④问)：

【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方．

（设计意图引导学生自主发现问题）

【生】：①区间从[,]ab变化为(,)ab，为什么

【师】：使零点位置更精确！第一个区间[,]ab能改为区间(,)ab吗

【生】：不可以， 如函数1,[1,1)()1,1xfxx，

【师】②何谓“有零点”

【生】：至少有一个零点

【师】 ③（能逆向吗）一般地，若函数()yfx在区间[,]ab上的图象是一条不间断的曲线，若函数()yfx在区间(,)ab上有零点，则()()0fafb能举例吗

【生】：二次函数2()4fxx

在区间[4,4]上有零点却不满足．

【师】：④不间断的单调函数()yfx在区间[,]ab上有()()0fafb,则函数()yfx在区间(,)ab上有几个零点

【生】：1个.

【师】：变式：二次函数()yfx在区间[,]ab上有()()0fafb,则函数()yfx在区间(,)ab上有几个零点

【生】：1个（这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受）

设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，诸如：满足定理的条件就有零点，不满足定理的条件是否就没有零点， 函数在区间上有零点是否一定有()()0fafb，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础．这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，

3、典型例题：

例题1：求证：函数32()1fxxx在区间(2,1)存在零点．

解答：(2)(1)0ff,函数32()1fxxx在区间(2,1)上不间断.

强调：函数32()1fxxx在区间(2,1)上不间断.注重解题规范．

变式1：求证：方程342xx在区间(2,0)上至少有两个实根.

解：令3()42fxxx，

(2)8820f，(0)20f，(1)10f，

又函数3()42fxxx在区间(2,0)上连续不间断，

3()42fxxx在区间(2,1),(1,0)上都至少有一个根，所以得证．

教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理．

设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法．变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想．当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择．

例题2：函数()ln4fxxx有零点的区间为(,1)kkkZ，求k的值．

分析1：尝试直接应用定理解题．

函数()ln4fxxx，(2)ln220f，(3)ln310f，函数()ln4fxxx在区间(,1)kkkZ上单调增，故2k

分析2：把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题．

14yx与2lnyx，观察图像可得零点在区间(1,4)当中，

至于根到底在哪个区间，依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查(1,4)中的整点2,3.

2x时，12y，2ln21y，

3x时，11y，2ln31y，

通过精确比较，根位于区间(2,3)要进行细化.

纠正学生的常见误区：直接()(1)(ln4)[(ln(1)(1)4]0fkfkkkkk的做法不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用.逐一检验整数点。

归纳：函数零点的求解与个数的判断：

（1）（代数法）转化为相应方程的实数根问题；(能求则求)，

（2）（几何法）转化为函数的图象交点问题；

（3）利用零点存在性定理解决．

设计意图：设计一个入口较宽的，有一定挑战性的，一题多解的例题，让学生正确理解零点存在性定理使用误区和注意事项，并培养学生数形结合的意识，把陌生的问题转化为熟悉问题，把数的问题转化为形的问题，当依靠形说不清时再次把形的问题转化为数，感受数学解题其实就是一个不断转化的过程．

4、当堂训练：（备用）

1、设函数8121()log1xxfxxx，则函数1()()4gxfx的零点为 ．