2-2 课后·演练·提升

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高考新课标大一轮总复习·配人教A版·数学(理)

课堂新坐标让您感受品质的魅力

一、选择题

1．下列四个函数中，在(0,1)上为增函数的是( )

A．y＝sin x B．y＝－log2x

C．y＝2－x D．y＝x－12

2．函数y＝log12 (x2－5x＋6)的单调增区间为( )

A．(52，＋∞) B．(3，＋∞)

C．(－∞，52) D．(－∞，2)

3．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于( )

A．－1 B．1

C．6 D．12

4．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ 2－ax＋1，x＜1，ax， x≥1是R上的增函数，那么a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(1，32]

C．(1,2) D．[32，2)

5．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )

A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0,1) D．(0,1]

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二、填空题

6．(2011·珠海模拟)若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．7．(2011·常州模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．

7．(2011·常州模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．

8．(2010·江苏高考)已知函数f(x)＝ x2＋1 x≥01 x＜0，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．

三、解答题

9．已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)，

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；

(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．

10．(2011·青岛模拟)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

11．(2010·江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．

(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．

答案及解析

1.【解】 ∵y＝sin x在[－π2，π2]上是增函数，

∴y＝sin x在x∈(0,1)上是增函数，其余皆为减函数，选A.

【答案】 A

2.【解】由x2－5x＋6＞0得x＞3或x＜2. 高考新课标大一轮总复习·配人教A版·数学(理)

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又∵y＝log12 x在(0，＋∞)上是减函数，

且y＝x2－5x＋6在(－∞，2)上为减函数，

∴y＝log12 (x2－5x＋6)在(－∞，2)上是增函数．

【答案】 D

3.【解】由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2

∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

【答案】 C

4.【解】依题意 2－a＞0，a＞1，a≥2－a×1＋1.解之得32≤a＜2.

【答案】 D

5.【解】 ∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1,2]上是减函数，

∴a≤1.……………………①

又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数．

∴a＋1＞1，∴a＞0 …………②

由①、②知，0＜a≤1.

【答案】 D

6.【解】 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴m＝0，此时f(x)＝－x2＋3，

∴单调减区间为[0，＋∞)．

【答案】 [0，＋∞)

7.【解】由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝ex(x－2)＞0，

∴x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．

【答案】 (2，＋∞)

8.【解】当x≥0时，f(x)＝x2＋1是增函数；当x＜0时f(x)＝1，因此由题设f(1－x2)＞f(2x)得，高考新课标大一轮总复习·配人教A版·数学(理)

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 1－x2＞02x＜0或 1－x2＞2x2x≥0

解之得－1＜x＜0或0≤x＜2－1.

故所求实数x的取值范围是(－1，2－1)．

【答案】 (－1，2－1)

9.【证明】 (1)设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，

∵f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)

＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．

(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，

又f(x)在[12，2]上单调递增，

∴f(12)＝12，f(2)＝2.∴易得a＝25.

10.【证明】 (1)任设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2

＝2x1－x2x1＋2x2＋2.

∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任设1＜x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x1－a＝ax2－x1x1－ax2－a.

∵a＞0，x2－x1＞0，

∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，∴a≤1.

综上所述知0＜a≤1. 高考新课标大一轮总复习·配人教A版·数学(理)

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11.【解】函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.

(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，

令f′(x)＞0，得2－x2xx－2＜0.

又0＜x＜2，则2－x2＞0，解得0＜x＜2.

令f′(x)＜0，则2－x2＜0，解得2＜x＜2.

∴函数f(x)的单调增区间为(0，2]，单调减区间为[2，2)．

(2)∵a＞0，当x∈(0,1]时，f′(x)＝1x－12－x＋a＝21－xx2－x＋a＞0.

则f(x)在x∈(0,1]上是增函数，

故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.