高二数学 上学期曲线和方程例题(五)

高二数学曲线和方程练习

【同步达纲练习】

A级

一、选择题

1.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0时称曲线的方程为( )

A.f(y+2,x)=0 B.f(x-2,y)=0

C.f(y+2,x-2)=0 D.f(y-2,x+2)=0

2.若点M到x轴的距离和它到直线y=8的距离相等，则点M的轨迹方程是( )

A.x=-4 B.x=4 C.y=-4 D.y=4

3.动点P到x轴，y轴的距离之比等于非零常数k，则动点P的轨迹方程是( )

A.y=kx(x≠0) B.y=kx(x≠0)

C.y=-kx(x≠0) D.y=±kx(x≠0)

4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是( )

A.一个点 B.两条互相平行的直线

C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不垂直的直线

5.已知点A(，点B是抛物线y=2x2+1上的一个动点，则线段AB的中点的轨迹是( )

A.抛物线y=2x2 B.抛物线y=4x2

C.抛物线y=6x2 D.抛物线y=8x2

二、填空题

6.已知A(-1，0)，B(2，4)，且△ABC的面积是10，则点C的轨迹方程是 .

7.Rt△ABC的斜边AB的长度等于定值C，顶点A、B在x轴，y轴上滑动，则斜边AB的中点M的轨迹方程为

8.到两平行线3x+2y-1=0和6x+4y-3=0的距离相等的点的轨迹方程为 .

三、解答题

9.已知直线l:4x+ 3y=1，M是直线l上的一个动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B求把有向线段AB分成的比λ=2的动点P的轨迹方程.

10.经过点P(3，2)的一条动直线分别交x轴、y轴于点A、B，M是线段AB的中点，连结OM并延长至点N，使｜ON｜=2｜OM｜，求点N的轨迹方程.

1 / 7 曲线和方程

曲线和方程（1）

一、知识小结

1．曲线和方程的概念：

在直角坐标系中，如果曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与方程,0Fxy的实数解集之间具有以下两个关系：

（1）曲线C上的点的坐标都是方程,0Fxy的解；

（2）以方程,0Fxy的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么曲线C上的点与方程,0Fxy的解是一一对应的，此时把方程,0Fxy叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程,0Fxy的曲线．

定义中条件（1）说明曲线上没有哪个点的坐标不满足方程，即曲线上所有点都适合这

个条件而毫无例外，即曲线具有纯粹性；条件（2）说明适合条件的点都有在这条曲线上而无一遗漏，也就是说曲线具有完备性．由曲线与方程的关系可以知道，曲线的方程实质就是这条曲线上的任意一点的横坐标x与纵坐标y之间的等量关系．

注意点：数形结合分析问题．

2．点与曲线的关系的判断：

若曲线C的方程,0Fxy，则点0000000,,,0PxyCFxyCFxy，即要判断一个点是否在曲线上，只要把点的坐标代入曲线方程，如果满足方程，则点在曲线上；如果不满足方程，则点不在曲线上．

注意点：用代入法来解决问题．

3．求曲线的方程的一般步骤：

（1）建立适当的直角坐标系（建系）；

（2）设曲线上任意一点的坐标为,xy（设点）；

（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式（列式）；

（4）用坐标x，y表示这个等式，并化方程为最简形式（化简）；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（证明）．

注意点：要检验，防止出现增解或失解．

4．求曲线的方程的一般方法：

（1）直接法：根据题意与条件，设出动点坐标，直接列出相关等式，然后化简得结果； 2 / 7 （2）代入法：设出动点坐标，然后找出相关点的了解，利用相关点的规律，从而得出动点之间关系的等式；

注意点：过程中要保持等价变形，这样可省略检验环节．

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析

1. 若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线

【答案】D

【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．

【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．

2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）

A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3. 椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。故选B。

4. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为 （ ）

A．（1, 0） B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）

【答案】A

【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5. 圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）

A．x2+ y 2-x-2 y -=0 B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"

C．x2+ y 2-x-2 y +1=0 D．x2+ y 2-x-2 y +=0

【答案】D

【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

1. （1）把下列的极坐标方程化为直角坐标方程(并说明对应的曲线)：

① ②

（2）把下列的参数方程化为普通方程（并说明对应的曲线）：

③ ④

【答案】（1）①,表示的曲线为圆。

②x+y=2,表示的曲线为直线

（2）③ 表示的曲线为双曲线

④ (表示的曲线为抛物线的一部分。

【解析】（1）先将原极坐标方程两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，进而可得曲线的形状．（2）根据平方关系消去参数θ可得普通方程，进而可得曲线的形状．

试题解析：（1） ① 2分

表示的曲线为圆。 3分

②x+y=2 5分

表示的曲线为直线 6分

（2）③ 8分

表示的曲线为双曲线 9分

④ ( 11分

表示的曲线为抛物线的一部分。 12分

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

2. 曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B.

【解析】∵，∴，又∵，，∴，即.

【考点】圆的参数方程与普通方程的互化.

3. 已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为( )

A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cos

C．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos

【答案】B

【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.

【考点】极坐标方程.

4. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的倾斜角为，参数方程为（t为参数，），圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点，则|OA|+|OB|= . 【答案】 【解析】由参数方程可得直线方程为，圆的方程为，即，将两方程联立可解得得，又，由两点距离公式可得|OA|+|OB|=. 【考点】参数方程，极坐标方程,直线与圆的方程. 5. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径. （1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；