希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)

数学试卷

题31 已知Rzyx、、，求函数222,,xyyzuxyzxyz的最大值.

（第九届高二培训题第61题）

题32 已知a,bR，且ab10，则2223ab的最小值是 .

（第十届高二培训题第44题）

题33 实数x，y满足方程94622yxyx，则yx32的最大值与最小值的和等于_______.

（第十届高二第二试第17题）

题34 线段AB的端点坐标是A（-1，2），B（2，-2），直线y=kx+3与线段AB相交的充要条件是

（ ）

A、125k B、251k C、125k且k≠0 D、125kk或

（第八届高二培训题第2题）

题35 过点1,1P且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .

(第十届高二第一试第18题)

题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A、B、C、D的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A、B、D的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A、B、C、D四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是

百万元.

（第十三届高二第一试第25题）

题37 点M00,yx是圆0222rryx内圆心以外的一点，则直线200ryyxx与该圆的位置关系是 （ ）

（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）相切或相交

（第七届高二第一试第5题）

题38 过圆016222yxyx与圆0176622yxyx的交点的直线方程是 .

（第二届高二第二试第15题）

题39 若实数x、y适合方程014222yxyx，那么代数式2xy的取值范围是——.

（第九届高二第一试第17题）

题40 圆1122yx上任意一点yxP,都使不等式0cyx成立，则C的取值范围是

（ ）

A、0, B、[2,) C、[21,) D、[12,)

(第七届高二第一试第10题)

31.解法1 取待定正数、，由均值不等式得11xyyzxyyz 数学试卷

222222222222222111111,22xyyzxyz

令,112222则.21,2,2,244422于是

2222222222zyxzyxyzxy 222,,xyyzuxyzxyz

222222222,2xyzxyz当1,2,1zyx时取等号..22maxu

解法2 ,1,,,22222yzyxyzyxzyxyzxyzyxuRy可化为

,01122uyzyxyzyx配方，得.1212121222uuyzuyx由上式可得,01212u即,,,.2222Rzyxu由已知，显然有20,0.2uu

max22u（当22yzyx时，u取得最大值）.

解法3 由已知，得,,,.222Rzyxzyxyzxu且,22222zxzx

222222222222.22xzyyxzuxzyyxz当且仅当zx且,222yzx即

yzx22时取等号..22maxu

解法4

,,,xyzR22222221122xyzxyyz 22122xy

22122yz2,xyyz当且仅当yzx22时取等号. 222,,xyyzuxyzxyz

2.22xyyzxyyz当且仅当yzx22时，u取得最大值.22

解法5 222222211122xyyzxyzuxyyzxyyz 112222xyyzxyyz 数学试卷

ADBC1A1D1B1C22,xyyzxyyz,22u当且仅当,21222zyx即yzx22时取等号，.22maxu

解法6 ,2,222222yxyxxyyx 222222xyyzxyyzuxyzxzy

22222.2222xyyzxzyxzyxzy当且仅当yzx22时，.22maxu

解法7 构造如图长方体1AC，设对角线11,ACdAC与交于点1C的三个面所成的锐角分别为,,，长方体的三条棱分别为.,,zyx则有.sin,sin,sin.2222dzdydxzyxd

1sinsinsin222

于是2222sinsinsinsinxyyzxyyzxyyzuxyzddddd

222222211sinsinsinsinsinsinsin222.2222,sin2sinsin当且仅当即yzx22时，.22maxu

解法8 由,222zyxyzxyu得2220uyxzyuxz（1）

,0,,,uRzyx关于y的一元二次方程（1）的判别式042222zxuzx，

解得.2144222222222222zxzxzxzxxzzxu当且仅当zx时取得等号. 2max1,2u

max2.2u把zx代入（1）可得xy2,.2222maxuyzx时，当且仅当

评析 222,xyyzuxyz若222xyyzkxyz，则uk，这就是说，只要xyyz与222xyz的倍数之间建立了不大于的关系，则u的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数、，并运用,222baab解法3运用公式22222baba，解法4、解法5运用abba2，解法6运用2222222yxyxxyyx及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u的分子、分母同除以数学试卷

2y，巧妙地通过配平方，得到2110,2u进而得202u，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为zyx,,的长方体的对角线长为l，则有,2222zyxl而222zyx恰好是u的分母，且长方体中有1sinsinsin222）解决问题.解法8则把222xyyzuxyz变为2220uyxzyuxz，看作关于y的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22u，是方程思想的典型运用.

拓展 设,xyR，显然有22,xyuxyxy的最大值为12，即cos3；设,,xyzR，已解出222,,xyyzuxyzxyz的最大值为22，即cos.4

我们不妨猜想：

命题 若01,2,,2,kakn则1223122212nnnnaaaaaafaaa的最大值是.1cosn

证明 取正参数有,,,,21n

nnnnnnaaaaaaaaaaaa1113222211113221111

22222221122112221211111.2nnnnnaaaa

令222121222121111nnn （1），因求最大值，故还必须有

,1,,1,111132222111nnnnaaaaaa此即,1221aa.,,1212322nnnaaaa将上式代入（1），得nnnnnaaaaaaaaaa11223112 （2），令21,r则21132211,,,,.nnnnnaraaaraaaraara观察（2）的形式，考虑作代换,1.,1112kkkkaqqraaaRrCqqqrqqaakk11123,kkaqakn故数列1kkaqa是公比为1q的等比数列， 112111221111.kkkkkaaqaaqaqaqaqqqq于是111kkkkqaqaa （3）. 数学试卷

再令则,1kkkaqb（3）为11112abbbqbkk注意，上式变形为

.11211221qbbqqbbkk这样，又得到一个公比为2q的等比数列12211212111,1kkkqqbbqbbqbb，即22112211,11kkkqqbbaqq

211121,1kkkkkqabaqqq故有2211221,1nnnqaaqq211211qqaqannn.而

11,nnnaraqaq故有22211221211111nnnnqaqaqqqqqq，整理得2221nqq

2211,nqq化简得221.cossin11nmmqqinn,021mZmn.

nf的最大值唯一，应能求出m的一个确定的值，对于这个m的值，我们有.1cos2112121maxnmqqqqrfn12231122212nnnnnaaaaaaaafaaa