导数压轴题十种构造方法及解题方法

导数六类构造：

导数构造专题：

——作差构造：

作差构造主要适用于：

1、比较大小

2、位置关系

3、交点个数

例题选讲：

1、(天津高考)已知函数 f(x) xe x( x R)

(1)求函数 f (x) 的单调区间和极值：

(2)已知函数 y g(x) 的图像与函数 y f(x) 的图像关于 直线 x 1对称 ，证明当 x 1时， f ( x) g(x) 。ln x 2、（北京高考）设 l为曲线 C : f（x） ln x 在点（ 1，0）处的切线， x 证明：除切点（ 1，0）之处，曲线 C 在直线 l 的下方。

变换构造————对结果处理之后再构造

1、化简整理

2、分离变量

3、同构变换

4、取对变换

5、取通项变换1、化简整理之后再构造

（对结果或结论进行简单的化简（等量化简） ——常用于带有分母的）

1、（全国卷）设函数 f （ x） 1 e 证明：当 x 1时， f （ x） x 。

1x

2、分离变量之后再构造 （主要是针对一些求取值范围的，尤其是恒成立或零点问题） 例2、（浙江高考）设函数 f（x） （x a）2ln x，a R （1）若 x e为 y f （ x）的极值点，求实数 a （2）求实数 a的取值范围，使得对任意的 x （0,3e] 恒有 f（x） 4e2成立。1

1、同构变换之后再构造——最最重要的一种构造方法

1 例3、(辽宁高考)已知函数 f(x) x2 ax (a 1)ln x，a 1 2

(1)讨论函数 f (x) 的单调性；

2)证明：若 a 5 ，则对任意 x1,x2 (0, ), x1 x2，有 f (x1) f (x2) x1 x2

2、取对变换之后再构造

(主要是有指数，或者连乘的形式) 例4、已知 m, n 都是正数，且 1 m n，证明： (1 m)n (1 n)m

3、取通项变换之后再构造

（主要是针对求和）

例5、（湖北高考）已知函数 f（x） ax b c（a 0）的图像在点 （1, f（1）） 处的切线方程为 y x 1 x

专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类

【命题规律】

函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：

（1）含参函数的单调性、极值与最值；

（2）函数的零点问题；

（3）不等式恒成立与存在性问题；

（4）函数不等式的证明．

（5）导数中含三角函数形式的问题

其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．

【核心考点目录】

核心考点一：含参数函数单调性讨论

核心考点二：导数与数列不等式的综合问题

核心考点三：双变量问题

核心考点四：证明不等式

核心考点五：极最值问题

核心考点六：零点问题

核心考点七：不等式恒成立问题

核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

核心考点九：利用导数解决一类整数问题

核心考点十：导数中的同构问题

核心考点十一：洛必达法则

核心考点十二：导数与三角函数结合问题

【真题回归】

1．（2022·天津·统考高考真题）已知abR，，函数sin,xfxeaxgxbx

(1)求函数yfx在0,0f处的切线方程；

(2)若yfx和ygx有公共点，

（i）当0a时，求b的取值范围；

（ii）求证：22eab．

2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()eln(1)xfxx．

(1)求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；

(2)设()()gxfx，讨论函数()gx在[0,)上的单调性；

(3)证明：对任意的,(0,)st，有()()()fstfsft．

3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．

(1)求()fx的单调区间；

(2)已知,abR，曲线()yfx上不同的三点112233,,,,,xfxxfxxfx处的切线都经过点(,)ab．证明：

【方法综述】

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是

这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现

nfxxfx



形

式，构造函数

Fnxxfx

；出现

xfxnfx



形式，构造函数

F

nfx

x

x

；出现

fxnfx



形

式，构造函数

Fnxxefx

；出现

fxnfx



形式，构造函数

F

nxfx

x

e

．【解答策略】

类型一、利用

fx进行抽象函数构造

1．利用

fx

与x

（nx

）构造

常用构造形式有

xfx

，

fx

x；这类形式是对uv，u

v型函数导数计算的推广及应用，我们对uv，

u

v的导函数观察可得知，uv

型导函数中体现的是“

”法，u

v型导函数中体现的是“

”法，由此，我们可

以猜测，当导函数形式出现的是“

”法形式时，优先考虑构造uv

型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造u

v．

例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，

，则函数的零点个数为

A．0B．1

C．2D．0或2

【答案】A

【解析】设，因为函数为偶函数，所以也是上的偶函数，所以．由已知，

时，，可得当时，，

精品公众号：学起而飞故函数在上单调递减，由偶函数的性质可得函数在上单调递增．所以

，所以方程，即无解，

所以函数没有零点．故

选A．

【指点迷津】设，当

时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．

【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是

，其导函数为，若

，且（其中是自然对数的底数），则

A．B．

C．当时，取得极大值D．当时，

【答案】C

【解析】

设

，则

则又

得

即

，所以即，由得，得，此时函数为增函数由得，得，此时函数为减函数则

，即，则，故错误

，即，则，故错误当时，取得极小值即当，

，即

，即，故错误当时，取得极小值

精品公众号：学起而飞

导数构造

一、 基础知识

常见导数结构

1. 对于不等式)0(,)(

kkxf

，构造函数bkxxfxg+−=)()(

2. 对于不等式,0)()(+

xfxfx

，构造函数)()(xxfxg=

3. 对于不等式,0)()(−

xfxfx，构造函数

xxf

xg)(

)(=

4. 对于不等式,0)()(+

xnfxfx

，构造函数)()(xfxxgn

=

5. 对于不等式,0)()(−

xnfxfx，构造函数

n)(

)(

xxf

xg=

6. 对于不等式,0)()(+

xfxf

，构造函数)()(xfexgx

=

7. 对于不等式,0)()(−

xfxf，构造函数

x

exf

xg)(

)(=

8. 对于不等式,0)()(+

xkfxf

，构造函数)()(xfexgkx

=

9. 对于不等式,0)(2)(+

xxfxf

，构造函数)()(2

xfexgx

=

10. 对于不等式,0)(ln)(+

xfaxf

，构造函数)()(xfaxgx

=

11. 对于不等式,0tan)()(

+xxfxf

，构造函数)(sin)(xfxxg=

12. 对于不等式,0)(tan)(−

xfxxf

，构造函数)(cos)(xfxxg=

13. 对于不等式,0

)()(



xfxf

，构造函数)(ln)(xfxg=

14. 对于不等式,0)(

ln)(+

xxf

xxf

，构造函数)(ln)(xfxxg=

二、课堂练习

1. 加减构造法

例1.已知函数21

()

2fxxalnx=+，若对任意两个不相等的正数

1x，

2x，都有12

12()()

4fxfx

xx−



−

恒成立，则a的取值范围为( )

A．[4，)+ B．(4,)+ C．(−，4] D．(,4)−

变式1.已知函数()2x

fxeax=+−，其中aR，若对于任意的

1x，

2[1x，)+，且

12xx，

都有

211212()()()xfxxfxaxx−

−成立，则a的取值范围是( )

A．[1，)+ B．[2，)+ C．(−，1] D．(−，2]