相似三角形
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- 1 - 相似三角形
◆课前热身
1．如图，已知ABCDEF∥∥，那么下列结论正确的是（ ）
A．ADBCDFCE B．BCDFCEAD C．CDBCEFBE D．CDADEFAF
2.如图所示，给出下列条件：
①BACD； ②ADCACB；
③ACABCDBC； ④2ACADABg．
其中单独能够判定ABCACD△∽△的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.
其中正确的有：（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【参考答案】
1. A
2. C
3. B
4. D A B
D C
E F
1题 A
C D
B
（第2题图）
- 2 - ◆考点聚焦
1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．
2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．
4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．
◆备考兵法
1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等．
2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．
3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．
◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____．
EADCB EADCB ADCB
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5. 三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
- 3 - 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．
2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
◆典例精析
例1（山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为
米．
【答案】9.
【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用.设路灯高为x米，由相似得
1.5530x，解得9x，所以路灯甲的高为9米，故填9.
例2（浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．
【答案】 P1（1，4），P2（3，4）．
点拨：这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．
拓展变式 在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．
【答案】 3
例3 如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：①只有一对相似三角形；甲 小华乙
- 4 - ②EF：ED=1：2；③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．③ C．① D．①②
【答案】 B
【解析】 ∵AB∥DC，∴△AEF•∽△CDF，•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA（全等是相似的特例）．
∴①是错的．
∵12AEEFCDDF，∴②EF：ED=1：2是错的．
∴S△AEF：S△CDF =1：4，S△AEF：S△ADF =1：2．
∴S1：S2：S3：S4=1：2：4：5，③正确．
点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）
②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．
拓展变式 点E是YABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，则图中相似三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】 C
◆迎考精练
一、选择题
1.（江苏省）如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
- 5 - D．先向下平移3格，再向右平移2格
2.（浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（ ）
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上但有限 D．有无数个
3.（浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
4.(浙江义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）
A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
5.（湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （ ）
A．3米 B．0.3米 C．0.03米 D．0.2米
6.（甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ） D B
C A
N M
O
- 6 - A．12m B．10m C．8m D．7m
7.（天津市）在ABC△和DEF△中，22ABDEACDFAD，，，如果ABC△的周长是16，面积是12，那么DEF△的周长、面积依次为（ ）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
二、填空题
1. (山东滨州)在平面直角坐标系中，ABC△顶点A的坐标为(23)，，若以原点O为位似中心，画ABC△的位似图形ABC△，使ABC△与ABC△的相似比等于12，则点A的坐标为 ．
2.(黑龙江牡丹江)如图，RtABC△中，90ACB°，直线EFBD∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若13AEGEBCGSS△四边形，则CFAD ．
3.（湖北孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
4.（山东日照）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ． A
E F
D G
C B
第2题
- 7 -
5.（福建莆田）如图，AB、两处被池塘隔开，为了测量AB、两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接ACBC、，并分别取线段ACBC、的中点EF、，测得EF=20m，则AB=__________m．
三、解答题
1.（湖南郴州）如图，在DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求ADAB的值，（2）求BC的长
2.（湖南常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．
3.(湖北武汉)如图1，在RtABC△中，90BAC°，ADBC⊥于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB⊥交BC边于点E．
（1）求证：ABFCOE△∽△；
（2）当O为AC边中点，2ACAB时，如图2，求OFOE的值； A
E
C F B 第5题图 E
（第4题图） A
B′
C F B
A
C B D E
