2013届江西省南昌市高三第一次模拟考试(文科数学)
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绝密★启用前2012—2013学年度南昌市高三第一次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合B A ,，则 A B A =是 A B B =的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2．函数1212)(2--+=x x x x f 的定义域是A ．1{|}2x x ≠-B ．1{|}2x x >-C ．1{|1}2x x x ≠-≠且D ．1{|1}2x x x >-≠且3．若复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则z 的虚部为 A ．2i B ．2 C.i - D ．1-4. 在数列{n a }中，若12a =-，且对任意的n N *∈有1212n n a a +=+，则数列{}n a 前10项的和为A ．5B ．10C ．52D ．545. 已知命题:“如果,x y y ⊥∥z ，则z x ⊥”是假命题，那么字母z y x ,,在空间所表示的几何图形可能是A ．全是直线 B.全是平面 C ．z x ,是直线，y 是平面 D. y x ,是平面，z 是直线6．已知函数()cos()f x A x ωθ=+的图象如图所示，2()23f π=-，则()6f π-= A ．－23 B ．－12 C.23 D.127．程序框图如图，如果程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中可填入A. 10k ≤ B ．10k ≥ C ．11k ≤ D ．11k ≥8．双曲线22221x y b a-=-与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为3，则双曲线的离心率等于 A ．2 B9．下列说法中，不正确．．．的是 A .点(,0)8π为函数()tan(2)4f x x π=+的一个对称中心.B .设回归直线方程为x y5.22ˆ-=，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 C ．命题“在ABC ∆中，若sin sin ,A B =则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题. D .对于命题p ：“01x x ≥-”则⌝ p ：“01x x <-” 10．已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 A ．74π .2π C. 94π D.3π绝密★启用前2011—2012学年度南昌市高三第三次模拟考试文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知)40sin ,40(cos 00=，)20cos ,20(sin 00=，则b a ⋅＝ .12．若一个圆台的的主视图如图所示，则其全面积等于 ．13．张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间的早上7：00—8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .14. 若对任意的a R ∈，不等式|||1||1||1|x x a a ++≥+--恒成立，则实数x 的取值范围是______. 15．已知函数()sin()tan()55f x a x b x ππ=+（b a ,为常数，R x ∈)．若1)1(=f ，则不等式x f 2log )31(>的解集为________．三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的（1（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．17．（本小题满分12分）设角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，已知25cos()sin24A B C ++=. （1）求角A 的大小；（2）若1AB AC ⋅=-，求BC 边上的高AD 长的最大值.18．（本小题满分12分）如图：多面体111C B A ABC -中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，11124AA BB CC ===.（1）若O 是AB 的中点，求证：1OC ⊥11A B ；（2）在线段1AB 上是否存在一点D ，使得//CD 平面111A B C ，若存在确定点D 的位置；若不存在，说明理由.19．（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，（1）求{}n a 的通项公式；（2）若125,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列31321log 4log 4n n n c b b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求n T ．20. （本小题满分13分）已知函数2()ln f x ax b x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为31y x =-.（1）若()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是．．单调函数，求实数k 的取值范围；（2）若对任意[0,]x ∈+∞，均存在[1,3]t ∈，使得32111ln 2()326c t t ct f x +-+++≤，试求实数c 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知点(1,0),(1,0)M N -，动点(,)P x y满足：PM PN +=（1）求P 的轨迹C 的方程；（2）是否存在过点)0,1(N 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，并且曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.2012—2013学年度南昌市高三第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）二．填空题：（本大题共5小题，每小题5，共25分）11.32 12.5π+ 13.78 14. 13(,][,)22-∞-+∞ 15. ()0,2 三．解答题：（本大题共6小题，共75分） 16.解：（1）①的位置为12，②的位置为0.30……4分（2）抽样比为61305=，所以第三、四、五组抽中的人数为3，2，1……8分 （3）设2人中至少有1名是第四组为事件A ，则63()1155P A =-=……12分 17.解：（1）1cos 5cos ,24A A --+=1cos 2A =-，因为(0,)A π∈，所以23A π=…6分 （2）由1AB AC ⋅=-知2=bc ， ……8分所以1sin 2ABC S bc A ∆==，而a =≥……10分，当且仅当b c ==11分所以BC 边上的高AD 的最大值为2.……12分18．解：(1)取线段11A B 的中点为E ，连接CO E C OE ,,1 已知等边ABC 是边长为4，11124AA BB CC ===，1AA ⊥ 平面ABC ，111////AA BB CC∴11AA B B 是正方形，AB CO AB OE ⊥⊥,, 又O OE CO = 1EOCC AB 面⊥∴ 1111,||EOCC OC AB B A 面⊂, 故 1OC ⊥11A B ……6分 （2）设1OE AB D =，则点D 是1AB 的中点，所以，ED ∥1AA ,112ED AA =……8分又111121,||AA CC AA CC = , 所以四边形1CC ED 是平行四边形，…10分∴1//CD C E ，∴//CD 平面111A B C即存在点D 使得//CD 平面111A B C ，点D 是1AB 的中点.…12分19.解：设{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n ds na -=+,=是等差数列得到：102d a ⎧-=⎪⎪=……2分，则d =120d a =>，所以12d =，……4分，所以：1124d a ==……5分，1121(1)424n n a n -=+-⋅=……6分（2）由112235139,,444b a b a b a ======，得到：等比数列{}n b 的公比3q =，所以：1134n n b -=⨯， …………………8分所以1331111log 3log 3(1)1n n n c n n n n +===-⋅++……10分 1111111122311n T n n n =-+-++-=-++ ……12分20. （1）()2bf x ax x '=-，由(1)3(1)2f f '=⎧⎨=⎩，得21a b =⎧⎨=⎩…………………………2分 2()2ln f x x x =-，2141()40x f x x x x-'=-==，得12x =，………………3分 所以 10131122112k k k k ⎧⎪-≥⎪⎪-<⇒≤<⎨⎪⎪+>⎪⎩…………………………………………………………6分（2）设32111()ln 2326c g t t t ct +=-+++根据题意可知min min ()()g t f x ≤…………7分 由（1）知min 11()()ln 222f x f ==+ ……………………………………………………8分2()(1)(1)()g t t c t c t t c '=-++=--，当1c ≤时，()0g t '≥；()g t 在[1,3]t ∈上单调递增，min ()(1)ln 22cg t g ==+，满足min min ()()g t f x ≤……………………………………………………………………9分 当13c <<时，()g t 在[1,]t c ∈时递减 ，在[,3]t c ∈时递增，32min 111()()ln 2626g t g c c c ==-+++，由321111ln 2ln 26262c c -+++≤+得322320,(1)(22)0c c c c c -+≥---≥，此时13c <……………………………10分当3c ≥时，()0g t '≤；()g t 在[1,3]t ∈上单调递减，min 314()(3)ln 223c g t g ==-++ 31433141(3)ln 2ln 2ln 223232c g ⨯=-++≤-++=+……………………………………12分综上，c 的取值范围是(]),11⎡-∞+∞⎣………………………………………13分21. 解：（1）由PM PN +=C 是以,M N 为焦点的椭圆，且1a c ==，b =所以曲线C 的方程为221.32x y +=………………………………6分 （2）设1122(,)(,)A x y B x y 、，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设:1l x my =+，代入椭圆方程整理得22(23)440m y my ++-=，…………………7分显然0.∆> 则12122244,2323m y y y y m m +=-=-++ ①，…………………8分 假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ OA OB =+，则点Q 的坐标为1212(,)x x y y ++。
