4.1.3 正弦和余弦

第四章锐角三角函数4.1 正弦和余弦（1）课标要求：通过实例认识正弦函数。

目标达成：（1）使学生理解锐角正弦的定义。

（2）会求直三角形中锐角的正弦值。

（3）使学生经历探索正弦定义的过程。

逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力。

（4）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。

教学重点难点：重点：理解和掌握锐角正弦的定义。

根据定义求锐角的正弦值。

难点：探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学过程:一创设情景引入新课如图4—1 一艘轮船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向轮船从B处继续向正北方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65°的方向；试问：C处和灯塔A的距离AC约等于多少米（精确到10m）？（课件演示）启发：你能建立一个方位图，根据题意把这个实际问题转化为数学问题吗？由题意△ABC是直角三角形，其中∠B＝90°,∠A＝65°，∠A所对的边(简称对边)BC＝2000m，如何求斜边AC的长度呢？实用文档 1实用文档 2 能否使用已学的直角三角形的有关知识来解决？学习本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）二 自主学习：1. 如图;在直角三角形ABC 中∠C=900，你能分别指出∠A 和∠B 的对边和邻边吗？由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。

我的疑问：三 合作探究1. 探究新知发现:在有一个锐角为65°直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是常数，它约等于0.9。

三角形相似对应边成比例。

可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数现在你能解决轮船航行到C 处时与灯塔A 的距离约等于多少米的问题吗？定义：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫角α 的正弦，记作Sin α 即如图: C A B）？精确到么学的比较，你会发现什将自己的计算结果和同的对边与斜边的比值求并通过测量、计算，，使作1.0(,.6590,.200A A C ABC Rt ∠=∠=∠∆斜边的对边角a Sina ＝。

正弦与余弦【知识要点】1.正弦:在直角三角形中,一个锐角所对的直角边与斜边的比,叫做这个角的正弦.即:c a A A =∠=斜边的对边sin ； cb B B =∠=斜边的对边sin . 2．余弦：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比，叫做这个角的余弦．即:c b A A =∠=斜边的邻边cos ； ca B B =∠=斜边的邻边cos 3.特殊角的三角函数值=︒0sin ；=︒30sin ；=︒45sin ；=︒60sin ；=︒90sin ； =︒0cos ；=︒30cos ；=︒45cos ；=︒60cos ；=︒90cos ．4. 增减性正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小。

正切值随锐角的增大而增大，余切值随锐角的增大而减小。

5．互余关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．()ααcos 90sin =-︒； ()ααsin 90cos =-︒．6．同角的正弦，余弦间的关系： ①平方和的关系：1cos sin 22=+A A ．②大小比较：当︒<<︒450A 时，A A sin cos >．当︒<<︒9045A 时，A A sin cos <.【典型例题】例1． 根据下列图中给出的ABC Rt ∆的数据，求A sin ，A cos ，B sin ， B cos 的值．例2．已知等腰梯形ABCD 中，上底CD=2cm,下底AB=5cm,腰AD=3cm ，试求A sin ，A cos 的值．例3．求下列各式的值．（1）︒+︒-︒60cos 45cos 30sin （2）︒⋅︒-︒30cos 30sin 260sinBA2 C B3 A B（3)︒+︒+︒50cos 50sin 45cos 222 (4)︒-︒︒60cos 245cos 45sin 例4．用不等号“＞”“＜”或“=”连接。

⑴ ︒35sin 635sin '︒； ⑵0372cos '︒ 2872cos ︒；⑵ ︒50.15sin 0315sin '︒； ⑷︒6cos ︒84sin⑸︒-︒27cos 63sin 0； ⑹︒-︒48sin 32cos 0。

即
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)

4．(2011· 蚌埠模拟)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， cos A a b，c，若cos B＝b，则△ABC一定是 A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 B．直角三角形 D．等边三角形 ( )
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cos A a sin A 解析：法一：由正弦定理得cos B＝b＝sin B， ∴sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，可得A－B＝0，∴A＝B. 法二：由余弦定理将角化为边，可得a＝b.
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1 解：(1)因为cos 2C＝1－2sin C＝－4，及0<C<π，
2
10 所以sin C＝ 4 . (2)当a＝2,2sin A＝sin C时， a c 由正弦定理sin A＝sin C， 得c＝4.
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1 由cos 2C＝2cos2C－1＝－ ， 4 6 及0<C<π得cos C＝± . 4 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2± 6b－12＝0， 解得b＝ 6或2 6，
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[冲关锦囊] 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主 要有如下两种方法
1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因
式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从
而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π
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a b bsinA 解析：直接根据正弦定理可得 sinA ＝ sinB ，可得sinB＝ a ＝ 3λsin45° 6 ＝ 2 >1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. λ
答案： A
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π 1 4．(2011· 北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝4，sin A＝3， 则a＝________.