阿基米德三角形在高考中的应用

利用底边过焦点的阿基米德三角形性质解高考题
王海燕
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2022()12
【摘要】阿基米德最早利用逼近思想证明了抛物线的弦与抛物线所围成封闭图形的面积,等于抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围三角形面积的三分之二.后来人们称由抛物线的弦与过该弦端点的两切线所围成的三角形为阿基米德三角形.其中该弦称为阿基米德三角形的底边,阿基米德三角形有许多性质,底边过焦点的阿基米德三角形有如下常见结论.
【总页数】3页(P58-60)
【作者】王海燕
【作者单位】甘肃省灵台县第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.圆锥曲线焦点弦的一个性质在解高考题中的应用
2.圆锥曲线焦点弦的一个性质在解高考题中的应用
3.从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎
4.过焦点的阿基米德三角形的性质及其在高考中的应用
5.利用焦点三角形面积公式解一类高考题
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阿基米德三角形的性质切线方程：1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-=【概念】一、阿基米德三角形：抛物线（圆锥曲线）的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图一SAB ∆即为阿基米德三角形）.重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二.图（一） 图（二）阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论. 【证明】：如图（三）SM 是SAB ∆中AB 边上的中线，则SM 平行于x 轴（下面的性质1证明会证到），过M '作抛物线的切线，分别交SA 、SB 于,A B ''，则A AM ''∆、B BM ''∆也是阿基米德三角形，可知A C '是A AM ''∆中AM '边上的中线，且A C '平行于x 轴，可得点A '是SA 的中点，同理B '是SB 的中点，故M '是SM 的中点，则SA B S ''∆是M AB S '∆的12，由此可知：A A C S '''''∆是C M A S ''∆的12，B B D S '''''∆是D M B S ''∆的12，以此类推，图（二）中蓝色部分的面积是红色部分而知的12，累加至无穷尽处，便证得重要结论.【性质1】 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴. 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，2222px y =，解得两切线交点)2,2(2121y y p y y Q + 【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线； 【证明】：设),(11y x A ，),(22y x B ，00(,)C x y 为抛物线内的定点，弦AB 的过定点C ，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，则设另一顶点(),Q x y ''，满足11()y y p x x ''=+且22()y y p x x ''=+，故弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，又由于弦AB 过抛物线内的定点00(,)C x y ，故00()y y p x x ''=+，即点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ . 【性质3】 抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹； 【证明】：由【性质2】的证明可知：点Q 的轨迹方程为直线00()y y p x x =+ .因为点C 为弦AB的中点，故Q 的轨迹方程为121222y y x x y p x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+；而弦AB 所在的直线方程为()yy p x x ''=+，由【性质1】的证明可知：122y y y +'=，122y y x p '=，故弦AB 所在的直线方程为121222y y y y y p x p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，斜率122p k y y =+，又因为直线AB 与Q 的轨迹方程不重合，故可知两者平行. 【性质4】 若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线l 方程为：0ax by c ++=，则定点的坐标为,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭；【证明】：任取直线l ：0ax by c ++=上的一点()0,o Q x y ，则有000ax by c ++=，即00a cy x b b=--┅①，过点Q 作抛物线22y px =的两条切线，切点分别为,A B ，则又由【性质2】的证明可知：弦AB 所在的直线方程为00()y y p x x =+，把①式代入可得：()00ac x y p x x bb ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即0a c y p x px y b b ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，令0a y p b --=且0c px y b +=，可得：弦AB 所在的直线过定点,c bp C aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【性质5】 底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为pa 83；【证明】：AB a =，设Q 到AB 的距离为d ，由性质1知： 22212121212122()22444x x y y y y y y y y d QM p p p p++-≤=-=-=（直角边与斜边），设直线AB 的方程为 x my n =+，则a =所以2322121()428a a y y a d s ad p p-≤⇒≤⇒=≤. 【性质6】 若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p ；【证明】：由性质2，若底边过焦点，则00,02p x y ==，Q 点的轨迹方程是2px =-，即为准线；易验证1QA QB k k ⋅=-，即QA QB ⊥，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q 为直角顶点。

New Generation寻圆锥曲线的“源”与“流”———2019年高考数学全国理科Ⅲ卷21题的启示林月理（泉州市第七中学福建泉州362000）摘要：探究2019年高考数学全国Ⅲ卷（理科）21题第（1）小题，分析题目背景，进而进行推广，从特殊到一般，寻求根源，理顺规律，得到一系列的统一性质。

探究出试题中数学问题所蕴含的本质阿基米德三角形，拓展出阿基米德三角形的一些性质，并举例说明阿基米德三角形的性质在解决近几年相关高考题中的妙用。

关键词：2019年全国Ⅲ卷（理科）21题；高考解题；推广研究；圆锥曲线；问题本质；阿基米德三角形。

近年来各地高考试题中，圆锥曲线问题，尤其是圆锥曲线中的定点、定值问题，始终是考题中的热点、重点、难点问题。

圆锥曲线问题信息量大，综合性强，灵活性高，能比较全面地考查学生的数学核心素养，在高考试题中有着重要的作用。

本文通过对2019年全国Ⅲ卷（理科）21题第（1）小题进行探究，逐步发现并解决问题，推广和深化试题的结论，最终探究出试题中数学问题所蕴含的本质阿基米德三角形，进一步探究圆锥曲线中过一个焦点的阿基米德三角形的统一性质，并举例说明这些性质在解决近几年相关高考题中的妙用。

一、真题再现2019年全国Ⅲ卷（理科）21题题目已知曲线C:,D 为直线上的动点。

过D作曲线C 的两条切线，切点分别为点A、B。

（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积。

接下来，本文就该题的第（1）小题展开研究。

证明：设，则曲线C 在点A 处的切线DA 的斜率为，所以整理，得。

同理，对于直线DB 有因此直线AB 的方程为，所以直线AB 经过定点。

二、推广研究本题中，观察到直线所经过的定点恰为该抛物线的焦点，而动点D 为抛物线C 的准线上的一个动点。

这一特性是否对一般抛物线成立，下面进行猜想与证明。

结论:对于抛物线C （以为例）。

高考与阿基米德三角形试题答案1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）1．证明：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，设切线PA 的方程为：11()y y k x x -=-由1122()1y y k x x x y -=-⎧⎨-=⎩ 得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx ------=从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k ∆=-+--+-=,解得11x k y =因此PA 的方程为：111y y x x =- 同理PB 的方程为：221y y x x =-又0(,)P m y 在PA PB 、上，所以1011y y mx =-，2021y y mx =- 即点1122(,),(,)A x y B x y 都在直线01y y mx =-上 又1(,0)M m也在直线01y y mx =-上,所以三点A M B 、、共线 （2）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩ 解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m --+-=即2212()39x y m --=为重心G所在曲线方程 2．（2008年山东卷理科第22题）解：（Ⅰ）证明：由题意设221212120(2)22x x A x B x x x M x p p p ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，．由22x py =得22x y p =，得xy p'=，所以1MA x k p =，2MB x k p=． 因此直线MA 的方程为102()x y p x x p +=-，直线MB 的方程为202()xy p x x p+=-． 所以211102()2x x p x x p p +=-，① 222202()2x x p x x p p+=-．② 由①、②得121202x x x x x +=+-， 因此1202x xx +=，即0122x x x =+． 所以A M B ，，三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当02x =时，将其代入①、②并整理得：2211440x x p --=， 2222440x x p --=，所以12x x ，是方程22440x x p --=的两根，因此124x x +=，2124x x p =-，又222101221222ABx x x x x p p k x x p p-+===-，所以2AB k p =．由弦长公式得AB ==又AB =1p =或2p =， 因此所求抛物线方程为22x y =或24x y =．（Ⅲ）解：设33()D x y ，，由题意得1212()C x x y y ++，， 则CD 的中点坐标为12312322x x x y y y Q ++++⎛⎫⎪⎝⎭，，设直线AB 的方程为011()x y y x x p-=-， 由点Q 在直线AB 上，并注意到点121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线AB 上， 代入得033x y x p=．若33()D x y ，在抛物线上，则2330322x py x x ==， 因此30x =或302x x =．即(00)D ，或2022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）当00x =时，则12020x x x +==，此时，点(02)M p -，适合题意．（2）当00x ≠，对于(00)D ，，此时2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，2212022CDx x pk x +=221204x x px +=，又0AB x k p =，AB CD ⊥， 所以22220121220144AB CDx x x x x k k p px p++===-g g ，即222124x x p +=-，矛盾． 对于20022x D x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为2212022x x C x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，此时直线CD 平行于y 轴，又00AB x k p=≠，所以直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点． 综上所述，仅存在一点(02)M p -，适合题意． 3．（2007年江苏卷理科19题）解：（1）设过C 点的直线为y kx c =+，所以()20x kx c c =+>，即20x kx c --=，设A ()()1122,,,x yB x y ，OA u u u r =()11,x y ，()22,OB x y =u u u r，因为2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，所以12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，()221212122x x k x x kc x x c +-++=所以222c k c kc k c --++=g，即220,c c --=所以()21c c ==-舍去 （2）设过Q的切线为()111y y k x x -=-，/2y x =，所以112k x =，即2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x cc x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Q ,2k c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为12x x c =-,所以21c x x -=，所以M 12,,222x x k c c ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。

㊀㊀㊀㊀㊀１５２数学学习与研究㊀２０２１ １０从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎从一道高考题的变迁看阿基米德三角形性质及其定理的演绎Һ李㊀真㊀徐水龙㊀（浙江省衢州第三中学，浙江㊀衢州㊀３２４０２２）㊀㊀ʌ摘要ɔ阿基米德三角形有着丰富的内涵㊁深刻的背景，至今依然是高考命题者的青睐，其有关性质仍是命题专家的热点素材．本文从一道２００８年山东高考题开始，探索阿基米德三角形定理的由来，演绎其性质应用．ʌ关键词ɔ阿基米德三角形定理；性质演绎阿基米德是古希腊伟大的物理学家㊁数学家㊁天文学家和机械发明家．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形，常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形以其丰富的内涵㊁深刻的背景，在数学发展的历史长河中不断发出闪耀的光芒，至今依然是高考命题者的青睐，其有关性质也成为命题专家的热点素材．下面举例说明．这是２００８年理科第２２题（部分）．如图１，设抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ｍ为直线ｙ＝－２ｐ上任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ．求证：Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列；本题涉及阿基米德三角形，考查了阿基米德三角形的有关性质．下面证明Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．图１证明㊀由题意，设Ａｘ１，ｘ２１２ｐæèçöø÷，Ｂｘ２，ｘ２２２ｐæèçöø÷（ｘ１＜ｘ２），Ｍ（ｘ０，－２ｐ）．ȵｘ２＝２ｐｙ，ｙ＝ｘ２２ｐ，ｙᶄ＝ｘｐ，ʑｋＭＡ＝ｘ１ｐ，ｋＭＢ＝ｘ２ｐ，ʑＭＡ：ｙ＋２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ－ｘ０）㊀①；ＭＢ：ｙ＋２ｐ＝ｘ２ｐ（ｘ－ｘ０），ʑｘ２１２ｐ＋２ｐ＝ｘ１ｐ（ｘ１－ｘ０），ｘ２２２ｐ＋２ｐ＝ｘ２ｐ（ｘ２－ｘ０），ʑｘ１＋ｘ２２＝ｘ１＋ｘ２－ｘ０，ʑｘ１＋ｘ２＝２ｘ０，所以Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．我们将ｘ０＝ｘ１＋ｘ２２代入①式，得ｙ＝ｘ１ｘ２２ｐ，由此得到Ｍ点的坐标为ｘ１＋ｘ２２，ｘ１ｘ２２ｐæèçöø÷．又ｋＡＢ＝ｙ２－ｙ１ｘ２－ｘ１＝ｘ２＋ｘ１２ｐ，故直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ２１２ｐ＝ｘ２＋ｘ１２ｐ（ｘ－ｘ１），化简，得（ｘ１＋ｘ２）ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０．由此我们得到阿基米德三角形的性质１．性质１㊀在阿基米德三角形中，Ｍ为抛物线外任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ，则有Ａ，Ｍ，Ｂ三点的横坐标成等差数列．取ＡＢ的中点Ｑ，连接ＭＱ，则会得到一个结论：直线ＭＱ与ｙ轴平行或重合．我们会得到几个推论．推论１㊀阿基米德三角形底边上的中线平行（重合）于抛物线的对称轴．推论２㊀弦ＡＢ所在的直线方程为（ｘ１＋ｘ２）ｘ－２ｐｙ－ｘ１ｘ２＝０．推论３㊀设点Ｍ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则弦ＡＢ的直线方程为ｘ０ｘ－ｐ（ｙ＋ｙ０）＝０，这就是抛物线Ｍ点的极线方程．下面是２０２０年４月衢州㊁丽水㊁湖州三地市教学质量检测卷第２１题，是２００８年山东卷改编而来，同样考查阿基米德三角形的性质．如图２，设抛物线方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０），Ｍ为直线ｙ＝－２ｐ上任意一点，过Ｍ引抛物线的切线，切点分别为Ａ，Ｂ．图２. All Rights Reserved.㊀㊀㊀１５３㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０（１）求直线ＡＢ与ｙ轴的交点Ｎ的坐标；（２）若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，记λ＝ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ，问：λ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．问题（１）求直线ＡＢ与ｙ轴的交点坐标，由前面分析可知直线ＡＢ的方程，我们只需令ｙ＝０即可，直线ＡＢ与ｙ轴的交点坐标为Ｎ（０，２ｐ），是个定点．于是我们猜想弦ＡＢ绕着Ｎ点转动，Ｍ点的轨迹是什么？我们设Ｍ（ｘ，ｙ），有ｘ＝ｘ１＋ｘ２２，ｙ＝ｘ１ｘ２２ｐ，由Ａ，Ｎ，Ｂ三点共线，得ｙ＝－２ｐ，显然它是一条直线．我们进一步猜想弦ＡＢ绕着点Ｇ（ｘＧ，ｙＧ）转动，Ｍ点的轨迹是什么？由Ａ，Ｇ，Ｂ三点共线，得（ｘ１＋ｘ２）ｘＧ－２ｐｙＧ－ｘ１ｘ２＝０，将ｘ１＋ｘ２＝ｘ，ｘ１ｘ２＝ｙ代入，得ｘＧｘ－ｐ（ｙ＋ｙＧ）＝０，它仍然是一条直线．于是我们得到阿基米德三角形的性质２．性质２㊀若阿基米德三角形的底边ＡＢ过抛物线内定点Ｇ（ｘＧ，ｙＧ），则另一顶点Ｍ的轨迹为一条直线，其方程为ｘＧｘ－ｐ（ｙ＋ｙＧ）＝０．特别地，当定点Ｇ在ｙ轴上时，性质２还有以下推论．推论㊀设Ｇ（０，ｍ），则另一顶点Ｍ的轨迹为ｙ＝－ｍ．问题（２），抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ．我们记ｘＭ＝ｘ１＋ｘ２２，同理可得ｘＣ＝ｘ１＋ｘＥ２，ｘＤ＝ｘ２＋ｘＥ２，ＡＣＣＭ＝ｘＣ－ｘ１ｘＭ－ｘＣ＝ｘ１＋ｘＥ２－ｘ１ｘ１＋ｘ２２－ｘ１＋ｘＥ２＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ＣＥＥＤ＝ｘＥ－ｘＣｘＤ－ｘＥ＝ｘＥ－ｘ１＋ｘＥ２ｘ２＋ｘＥ２－ｘＥ＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ʑＡＣＣＭ＝ＣＥＥＤ，同理ＭＤＤＢ＝ｘＥ－ｘ１ｘ２－ｘＥ，ʑＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ，于是我们又得到了阿基米德三角形的性质３．性质３㊀若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，则有ＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ．我们再记ＡＣＣＭ＝ＥＣＥＤ＝ＤＭＤＢ＝ｔ，记ＳәＭＣＥ＝Ｓ，则ＳәＡＣＥ＝ｔＳ．同理，ＳәＭＤＥ＝Ｓｔ，ＳәＢＤＥ＝Ｓｔ２，ＳәＭＡＢＳәＭＣＤ＝ＭＡＭＢＭＣＭＤ＝ｔ＋１１㊃ｔ＋１ｔ＝（ｔ＋１）２ｔ，于是ＳәＭＡＢ＝（ｔ＋１）２ｔＳәＭＣＤ＝（ｔ＋１）２ｔＳ＋Ｓｔ()＝（ｔ＋１）３ｔ２Ｓ，ʑＳәＥＡＢ＝ＳәＭＡＢ－ＳәＭＣＤ－ＳәＡＣＥ－ＳәＢＤＥ＝２（ｔ＋１）ｔＳ，ＳәＭＣＤ＝ｔ＋１ｔＳ，ʑλ＝ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ＝２．此时我们又得到了一个推论．推论３㊀若Ｅ为抛物线弧ＡＢ上的动点，抛物线在Ｅ点处的切线与әＭＡＢ的边ＭＡ，ＭＢ分别交于点Ｃ，Ｄ，则有ＳәＥＡＢＳәＭＣＤ＝２．我们再假设Ｃ为ＭＡ的中点，ＣＥ为抛物线的切线，交ＭＢ于Ｄ，由性质３可知，｜ＣＥ｜＝｜ＥＤ｜，｜ＭＤ｜＝｜ＤＢ｜，设Ｑ为ＡＢ中点，很容易得到Ｍ，Ｅ，Ｑ三点共线，且｜ＭＥ｜＝｜ＱＥ｜，这里我们又得到了一个推论．推论４㊀在阿基米德三角形中，与底边ＡＢ平行的抛物线的切线恰是әＭＡＢ中位线所在直线，切点就是这条切线与底边上的中线的交点，反之亦然．由推论４，可知：ＳәＡＢＥ＝１２ＳәＡＢＭ，ＳәＡＣＥ＝ＳәＭＣＥ＝１２ＳәＡＭＥ＝１４ＳәＡＢＥ＝１８ＳәＡＢＭ，同理，ＳәＤＢＥ＝１８ＳәＡＢＭ．对阿基米德三角形әＡＥＣ和әＤＥＢ，分别作与底边平行的中位线，结果与上面一样，类似地，这样无限操作下去，抛物线和弦ＡＢ围成的图形面积就等于无限多个三角形面积之和，也就是说，其面积可以分割求和得到，即阿基米德本人最早利用逼近的思想．Ｓ＝ＳәＡＢＥ＋１２ＳәＡＣＥ＋１２ＳәＤＢＥ()＋ ＝１２ＳәＡＢＭ＋１２ˑ２ˑ１８ＳәＡＢＭ＋ ＝１２ＳәＡＢＭ１＋１４＋１４２＋ æèçöø÷＝１２ＳәＡＢＭ㊃１１－１４＝２３ＳәＡＢＭ．这样我们又得到了一个定理：阿基米德三角形定理．阿基米德三角形定理㊀抛物线和它的一条弦所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．阿基米德三角形背景深刻，内涵丰富，我们从一道高考题演绎了阿基米德三角形的性质及其定理．ʌ参考文献ɔ［１］方亚斌．千年古图蕴藏题库：阿基米德三角形演绎高考题［Ｊ］．中学教研（数学），２０１７（７）：３３－３９．［２］邵志明，陈克勤．高考试题中的阿基米德三角形［Ｊ］．数学通报，２００８（９）：３９－４６．［３］刘瑞美．对一道２０１１年高考圆锥曲线问题的探究［Ｊ］．数学通迅，２０１２（５）．. All Rights Reserved.。

第15节 阿基米德三角形的常见性质及其应用知识与方法1.如图1所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则： （1）设AB 中点为M ，则PM 平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM 的中点S 在抛物线上，且抛物线在点S 处的切线平行于弦AB .2．如图2所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则： （1）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则点P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB 过定点()0,m ()0m >，则点P 的轨迹是直线y m =-；（2）若弦AB 过抛物线内的定点Q ，则以Q 为中点的弦与（1）中点P 的轨迹平行.3．如图3所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，若AB 过焦点F ，则点P 的轨迹为抛物线准线，PA PB ⊥，PF AB ⊥，且PAB 的面积的最小值为2p . 4．如图4所示，不妨设抛物线为()220x py p =>，抛物线上A 、B 两点处的切线交于点P ，则：（1）PFA PFB ∠=∠；（2）2AF BF PF ⋅=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题【例1】己知点()1,1P -在抛物线()220y px p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，切点为A 、B ，则直线AB 的斜率k =_______.【解析】点()1,1P -在抛物线()220y px p =>的准线上⇒抛物线的准线为1x =-⇒抛物线的焦点为()1,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F 且PF AB ⊥，而101112PF k -==---，所以直线AB 的斜率为2.【答案】2变式1 已知点()2,1M -和抛物线2:4C x y =，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =_______.【解析】由题意，M 在抛物线C 的准线上，直线AB 过点F 且90AMB ∠=︒，所以MAB 是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MF AB ⊥，而11120MF k --==--，所以直线AB 的斜率为1.【答案】1变式2 已知抛物线2:4C x y =，过点()1,1P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则经过P 、A 、B 三点的圆的方程为______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且直线AB 过焦点()0,1F ，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，直线PF 的斜率为11210--=--， 所以直线AB 的斜率为12，其方程为112y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立21124y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：2240x x --=， 故122x x +=，()12121232y y x x +=++=，从而AB 中点为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，1225AB y y =++=，所以经过P 、A 、B 三点的圆的方程为()22325124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【答案】()22325124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭变式3 已知过抛物线22x y =焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，抛物线在A 、B 处的切线交于点C ，则ABC 面积的最小值为______.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB 过焦点F 时，ABC 面积的最小值为21p =. 【答案】1变式4 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，若3AF =，则PF =_______.【解析】设AFO α∠=，则231cos AF α==+，所以1cos 3α=-，故()2231cos 1cos 2BF παα===+--，由阿基米德三角形性质，2AF BF PF ⋅= 所以32PF AF BF ⋅=.32【例2】抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，且F 与圆()22:21I x y ++=上的点的距离的最大值为4.（1）求p 的值；（2）若点Q 在圆I 上，QA 、QB 是抛物线C 的两条切线，A 、B 是切点，当IQ AB ∥时，求直线AB 与y 轴交点的坐标.【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p =.（2）显然直线AB 斜率存在，可设其方程为y kx m =+，由（1）知抛物线C 的方程为24x y =，联立24y kx mx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m --=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =-，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由24x y =可得24x y =，所以2xy '=，故直线QA 的方程为()211142x x y x x -=-，整理得：21124x x y x =-，同理，直线QB 的方程为22224x x y x =-，联立2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==-，所以点Q 的坐标Wie ()2,k m -， 因为点Q 在圆I 上，所以()22421k m +-+=①，因为IQ AB ∥，所以22mk k-=，从而222k m =-， 代入式①可得()()22221m m -+-+= 解得：32m =，又2220k m =-≥，所以2m ≤，故32m =， 从而直线AB 与y 轴的交点的坐标为(0,32.【反思】对于开口向上（或向下）的抛物线的阿基米德三角形大题，通常采用设两个切点，写出切线方程并联立求出交点坐标，同时将切点弦所在直线与抛物线联立，结合韦达定理计算的方法来处理.强化训练1.（★★★）已知点()2,1P -在抛物线()2:20C y px p =>的准线上，过P 作抛物线C 的切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】()2,1P -在准线上4p ⇒=⇒抛物线的焦点为()2,0F ，由阿基米德三角形性质，直线AB 过F ，且PF AB ⊥，而101224PF k -==---，所以直线AB 的斜率为4， 故直线AB 的方程为()42y x =-【答案】()42y x =-2.（★★★）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则PAB 面积的最小值为_______. 【解析】当AB 过焦点时，阿基米德三角形面积的最小值为24p =. 【答案】43.（★★★）已知抛物线2:2C y x =和点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若0PA PB ⋅=，则k =_______.【解析】由题意，1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 在抛物线的准线上，且PA PB ⊥，所以PAB 是阿基米德三角形，从而PF PB ⊥，直线PF 的斜率1011122PF k -==---，故直线AB 的斜率为1. 【答案】14.（★★★）已知抛物线2:4C x y =，过点()0,1P x -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若经过P 、A 、B 三点的圆被x 轴截得的弦长为4，则0x =______.【解析】由题意，点P 在抛物线C 的准线上，则PA PB ⊥，PF AB ⊥，且AB 过焦点()0,1F ，直线PF 的斜率为001120x x --=--，所以直线AB 的斜率为02x ， 其方程为012x y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y 联立02124x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得：20240x x x --=，所以1202x x x +=， ()201212022x y y x x x +=+=+， 从而AB 中点为200,12x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，212024AB y y x =++=+， 因为PA PB ⊥，所以经过P 、A 、B 三点的圆就是以AB 为直径的圆，该圆的半22220014222x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：01x =±.【答案】1±5.（★★★★）已知抛物线2y x =和点()0,1P ，若过某点C 可作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，且满足1233CP CA CB =+，则ABC 的面积为______.【解析】()()12123333CP CA CB CP CP PA CP PB PA PB =+⇒=+++⇒=-⇒P 、A 、B 三点共线，设直线AB的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设0k >,联立21y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y 整理得：210x kx --=，判别式240k =+>， 由韦达定理12x x k +=，121x x =-，又2PA PB =-，所以122x x =-，联立12121212x x kx x x x+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩可解得：2k =，所以122x x +=，设AB 中点为D ，则1222D x x x +==，代入1y kx =+得22514D y =+=， 由阿基米德三角形性质知CD x ⊥轴且点C 在直线1y =-上，所以()59144CD =--=，故1211999222418216ABC S CD x x =⋅-=⨯⨯=⨯=.【答案】272166.（★★★★★）已知动圆过点()0,1F ，且与直线:1l y =-相切.（l ）求动圆圆心的轨迹E 的方程；（2）设P 为一动点，过P 作曲线E 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 和B ，且PA PB ⊥，直线AB 与圆224x y +=相交于C 、D 两点，设点P 到直线AB 的距离为d ，是否存在点P ，使得24AB CD d ⋅=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点F 的距离和到定直线l 的距离相等, 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为24x y =.（2）显然直线AB 的斜率存在，故可设其方程为y kx m =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得：2440x kx m --=，由韦达定理，124x x k +=，124x x m =-，由24x y =得24x y =，所以2x y '=，故直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-，整理得：21124x x y =-，同理，直线PB 的方程为22224x x y =-，联立2112222424x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：1222x x x k +==，124x x y m ==-，所以点P 的坐标为()2,k m -，因为PA PB ⊥，所以12122x x m ⋅=-=-，故1m =，从而AB 过点F ， 所以()212122444AB y y k x x k =++=++=+， 原点到直线AB 21k +，故21241CD k =-+ 点P 到直线AB 的距离22222211k d k k +==++所以24AB CD d ⋅=等价于()()222144241611k k k +⋅-++， 化简得：2101k =+，无解，故不存在点P ，使得|24AB CD d ⋅=.。

简谈新课改高考复习中的阿基米德三角形
陈潜勇
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2010(000)015
【摘要】2010年3月19日，舟山、嘉兴、绍兴、湖州、衢州五地市数学高考复习研讨会在衢州高级中学举行，五地市的数学教研员及高三数学教师近360人参
加了本次研讨会．研讨会紧紧围绕“高考数学创新题的命题特点与导向”这一主题，由教学观摩和专家讲座两个部分组成．19日上午，该校贾林义老师为研讨会奉上
了一堂颇受好评的教学观摩课．
【总页数】1页(P42-42)
【作者】陈潜勇
【作者单位】浙江省舟山市普陀第三中学,316100
【正文语种】中文
【中图分类】G632.474
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的应用
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阿基米德的故事在公元前3世纪，阿基米德在总结了前人经验的基础上，利用“浮力原理”解决了判断皇冠是否为纯金的问题和把王冠和假发洗清的问题。

这两个问题被解决，阿基米德被大家称为“百科全书式的学者”。

阿基米德的名声越来越大，传到了叙拉古。

国王听说了他的学识，立即派使者把阿基米德请到宫中，封他为王的谋士。

国王对阿基米德说：“我有一条很大的纯金项链，但怎么也不能把它分割成大小相同、轻重一样的两部分，你能想个办法帮我解决这个问题吗？”阿基米德想了想，点点头同意了。

他决定利用自己刚刚发现的“浮力原理”来解决这个问题。

第二天，阿基米德准备好了所有的东西，叫上国王和工匠来到了海边。

他把工匠叫到身边，告诉他所要做的项链的重量和大小，让他按这个要求去准备一个大小合适的金碗。

工匠很快就准备好了。

一切准备就绪，阿基米德让工匠把项链放到水中，然后让他把碗翻过来扣在海面上。

这时，阿基米德发现碗掉到了海里。

他告诉工匠：“你回去把项链拿来吧！”工匠按照阿基米德的指示把项链拿了出来。

工匠把项链放到碗里，这时，碗没有沉下去！国王看到了这个现象，感到非常惊讶！他用手在碗里搅了几下，碗里的水升高了，可是碗还是纹丝不动。

阿基米德解释道：“陛下，由于项链的体积与碗的体积相等，碗的重量小于项链的重量，所以碗会漂浮在水面上。

”国王终于明白了。

这次实验后，国王更加器重阿基米德了。

在数学的历史长河中，圆周率是一个极为重要的数字。

它的精确值和近似值不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在科学、工程、艺术等领域中也扮演着重要的角色。

而阿基米德，这位古希腊伟大的数学家和科学家，与圆周率有着千丝万缕的。

阿基米德（Archimedes）生活在公元前3世纪，被誉为古代西方世界最伟大的数学家和科学家之一。

他出生在希腊的西西里岛，一生献给了科学和数学的研究。

阿基米德的主要贡献包括浮力定律、杠杆原理、球的体积公式等，而他对圆周率的研究也是其辉煌成就之一。

在阿基米德的时代，对于圆周率的计算还处于初级阶段。

第80讲阿基米德三角形知识梳理如图所示，AB 为抛物线22(0)x py p =>的弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别过,A B 作的抛物线的切线交于点P ，称PAB △为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边．1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点()00 C x y ，，则另一顶点P 的轨迹为一条直线．3、若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．4、底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为38a p．5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p ．6、点P 的坐标为1212,22x x x x p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；7、底边AB 所在的直线方程为()121220; x x x py x x +--=8、PAB △的面积为3128PAB x x S p-=．9、若点P 的坐标为()00,x y ，则底边AB 的直线方程为()000x x p y y -+=．10、如图1，若E 为抛物线弧AB 上的动点，点E 处的切线与PA ，PB 分别交于点C ，D ，则||||||||||||AC CE PD CP ED DB ==.11、若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在点E 处的切线与阿基米德三角形PAB △的边PA ，PB 分别交于点C ，D ，则2EABPCDS S = ．12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的23．图1必考题型全归纳题型一：定点问题例1．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）设D 为直线=2y -上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．例2．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M 恒过定点10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭，圆心M 到直线14y =-的距离为1,8d d MF =+．(1)求M 点的轨迹C 的方程；(2)过直线1y x =-上的动点Q 作C 的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，证明：直线AB 恒过定点．例3．（2024·全国·高二专题练习）已知平面曲线C 满足：它上面任意一定到10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到直线32y =-的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)D 为直线12y =-上的动点，过点D 作曲线C 的两条切线，切点分别为A B ､，证明：直线AB 过定点；(3)在（2）的条件下，以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.变式1．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，OD AB ⊥，D 为垂足，点D 的坐标为(1,1)．(1)求C 的方程；(2)若点E 是直线4y x =-上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线EP ，EQ ，其中P ，Q 为切点，试证明直线PQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．变式2．（2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C ：2y ax =给出如下三个条件：①焦点为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭；②准线为12y =-；③与直线210y -=相交所得弦长为2．(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C 的方程；(2)已知ABQ 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q 是抛物线C 在弦AB 两端点处的两条切线的交点，若点Q 恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．变式3．（2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线2:C y ax =（a 是常数）过点(2,2)P -，动点1,2D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)当1t =时，求直线AB 的方程；(3)证明：直线AB 过定点．变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 在x 轴及其上方，且点P 到点(0,1)F 的距离比到x 轴的距离大1.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点Q 是直线4y x =-上任意一点，过点Q 作点P 的轨迹C 的两切线QA ､QB ，其中A ､B 为切点，试证明直线AB 恒过一定点，并求出该点的坐标.题型二：交点的轨迹问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()0,F c (0)c >到直线:20l x y --=．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过（2）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．例5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2e =．(1)求椭圆E 的方程；(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：点M 定在直线1y =-上；(3)椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、(M B A '''、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出切线M A ''、M B ''的方程；若不存在，试说明理由．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点Q 在x 轴上方，且到定点()0,1F 距离比到x 轴的距离大1.（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点A ，B 分别异于原点O ，在曲线C 的A ，B 两点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 交于点M ，求证：M 在定直线上.变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x =的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证:点N 在定直线上．变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知点F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，点M 、N 在抛物线上，且M 、N 、F 三点共线.若圆22:(2)(3)16P x y -+-=的直径为MN .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，分别过A 、B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，证明直线1l ，2l 的交点在定直线上，并求出该直线.变式7．（2024·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．(1)圆222:O x y r +=上点()00,M x y 处的切线方程为．理由如下：．(2)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为；(3)(,)P m n 是椭圆22:13x L y +=外一点，过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则直线AB 的方程是．这是因为在()11,A x y ，()22,B x y 两点处，椭圆L 的切线方程为1113x x y y +=和2213x x y y +=．两切线都过P 点，所以得到了1113x m y n +=和2213x my n +=，由这两个“同构方程”得到了直线AB 的方程；(4)问题（3）中两切线PA ，PB 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为()y n k x m -=-，由22()33y n k x m x y -=-⎧⎨+=⎩，得222(13)6()3()30k x k n km x n km ++-+--=，化简得Δ0=，得222(3)210m x mnk n -++-=．若PA PB ⊥，则由这个方程可知P 点一定在一个圆上，这个圆的方程为．（5）抛物线22(0)y px p =>上一点()00,x y 处的切线方程为00()y y p x x =+；（6）抛物线2:4C x y =，过焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的两条切线1l 和2l ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为112()x x y y =+．直线2l 的方程为222()x x y y =+，设1l 和2l 相交于点M ．则①点M 在以线段AB 为直径的圆上；②点M 在抛物线C 的准线上．题型三：切线垂直问题例7．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若点P 坐标为()0,1-，求切线,PA PB 的方程；（2）若点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，求证：切线PA 和PB 互相垂直.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为24x y =，点P 是抛物线C 的准线上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，点M 是AB 的中点.（1）求证：切线PA 和PB 互相垂直；（2）求证：直线PM 与y 轴平行；（3）求PAB 面积的最小值.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点.(1)求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；(2)设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1C 和抛物线2C 有相同的焦点()1,0，椭圆1C 过点31,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线2C 的顶点为原点．()1求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；()2设点P 为抛物线2C 准线上的任意一点，过点P 作抛物线2C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．①设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；②若直线AB 交椭圆1C 于C ，D 两点，PAB S ，PCD S 分别是PAB ，PCD 的面积，试问：PABPCDS S 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．变式9．（2024·全国·高三专题练习）抛物级22(0)x py p =>的焦点F 到直线2py =-的距离为2.（1）求抛物线的方程；（2）设直线1y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，分别过A ，B 两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P ，求证：PF AB ⊥.变式10．（2024·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为2．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．题型四：面积问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）点Q 为直线12y =-上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线22x py =上一点()0,1M x 到其焦点F 的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）如图，过直线:2l y =-上一点A 作抛物线的两条切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，且直线PQ 与y 轴交于点N ．设直线AP ，AQ 与x 轴的交点分别为B ，C ，求四边形ABNC 面积的最小值．例12．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到原点的距离等于直线:440l x y --=的斜率.（1）求抛物线C 的方程及准线方程；（2）点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求PAB 面积的最小值.变式11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点R 的横坐标为1，焦点为F ，且||2RF =，过点(4,0)P -作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，D 为线段PA 上的动点，过D 作抛物线的切线，切点为E （异于点A ，B ），且直线DE 交线段PB 于点H .(1)求抛物线C 的方程；(2)（i ）求证：||||AD BH +为定值；（ii ）设EAD ，EBH △的面积分别为12S S ，，求12133S S S =+的最小值.变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 作曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值．变式13．（2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点()F ，平面上的动点S 到F 的距离是S 40+=的距离的2倍，记点S 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过直线:2l y =上的动点()(),22P s s >向曲线C 作两条切线1l ，2l ，1l 交x 轴于M ，交y 轴于N ，2l 交x 轴于T ，交y 轴于Q ，记PNQ V 的面积为1S ，PMT △的面积为2S ，求12S S ⋅的最小值．题型五：外接圆问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知P 是抛物线C ：2134y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- ．（1）试判断直线AB 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；（2）设点M 是PAB 的外接圆圆心，求点M 的轨迹方程．例14．（2024·高二单元测试）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.例15．（2024·全国·高三专题练习）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=- .（1）判断点()0,1D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.题型六：最值问题例16．（2024·全国·高三专题练习）如图已知()2,P t -是直线2x =-上的动点，过点P 作抛物线24y x =的两条切线，切点分别为,A B ，与y 轴分别交于,C D.（1）求证：直线AB 过定点，并求出该定点；（2）设直线AB 与x 轴相交于点Q ，记,A B 两点到直线PQ 的距离分别为12,d d ；求当12AB d d +取最大值时PCD 的面积.例17．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xoy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，P 为直线1y x =-上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，当P 在y 轴上时，OA OB ⊥.(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.例18．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线()2:21C x py p =>，从点()4,9发出的平行于y 轴的光线照射到抛物线上的D 点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G 点射出，经过点()1,5-．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆()22:34M x y +-=，在抛物线C 上任取一点E ，过点E 向圆M 作两条切线EA 和EB ，切点分别为A 、B ，求EA EB ⋅ 的取值范围．变式14．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线()2:20C x py p =>上的点()02,y 到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点D 在直线l ：=3y -上，过点D 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与直线l 交于点M ，过抛物线C 的焦点F 作直线AB 的垂线交直线l 于点N ，当MN 最小时，求ABMN 的值.变式15．（2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线2:4C y x =，点P 为直线2x =-上的任意一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1M 到直线AB 的距离的最大值为（）A ．1B ．4C ．5D题型七：角度相等问题例19．设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB ．例20．（2024·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C .(1)求轨迹2C 的方程；(2)若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性.例21．（2024·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22=>交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的+-=与抛物线2:2(0)C x py pG x y:(1)1直径，过点E（0，2）作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)求证：点P的纵坐标为定值；∠=∠．(2)若F是抛物线C的焦点，证明：PFA PFBy x=的焦点为F，动点P 变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C：2x y--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，在直线l：20求证：AFB BFP∠=∠.变式17．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB。