北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题

一、选择题1.如图，直线a，b被直线c所截．在下列条件中，不能判定a∥b的是( )A．∠3=∠4B．∠3+∠5=180∘C．∠2=∠3D．∠1=∠42.如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=36∘，那么∠2=( )A．54∘B．56∘C．44∘D．46∘3.下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接A，B两点；④鸟是动物；⑤不相交的两条直线是平行线；⑥ n为任意自然数，n2−n+11的值都是质数吗？其中不是命题的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4.下列命题是真命题的是( )A．同位角相等B．两直线平行，同旁内角相等C．同旁内角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行5.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠BAE等于( )A．12∘B．15∘C．30∘D．45∘6.下列命题中是真命题的个数是( )①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判断AB∥CD的是( )A．∠5=∠B B．∠1=∠2C．∠B+∠BCD=180∘D．∠3=∠48.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β，则α，β之间的关系为( )A．β=12αB．β=23αC．β=90∘−12αD．β=90∘−23α9.下列命题中，属于真命题的是( )A．三角形的一个外角大于内角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．无理数与数轴上的点是一一对应的D．对顶角相等10.下列命题中是真命题的为( )A．两锐角之和为钝角B．直角三角形的两锐角互余C．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c D．内错角相等二、填空题11.下列命题：①两直线平行，内错角相等；②如果m是无理数，那么m是无限小数；③同旁内角相等，两直线平行；④如果a是实数，那么√a是无理数；⑤ 64的立方根是8，其中真命题是．12.△ABC中，∠B=65∘，∠A比∠C小35∘，则∠C的外角=．13.“两个全等的三角形必成轴对称或中心对称”是命题．（填“真”或“假”）14.如图，已知直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=30∘，则∠2=度．15.命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”的结论是．16.如图，AB∥EF，∠ABC=30∘，∠DEF=120∘，则∠BCD+∠CDE=．17.如图将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1的大小为度．三、解答题18.如图所示：(1) 若DE∥BC，∠1=∠3，∠CDF=90∘，求证：FG⊥AB．(2) 若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．19.如图，根据直线平行的判定方法填空：(1) 因为∠1=∠2（已知），所以∥( )．(2) 因为∠3=∠4（已知），所以∥( )．20.已知：如图，DB平分∠ADC，∠1+∠2=180∘．(1) 求证：AB∥CD．(2) 若ED⊥DB，∠A=50∘，求∠EDC的大小．21.根据题意，完成推理填空：如图，AB∥CD，∠1=∠2，试说明∠B=∠D．证明：∵∠1=∠2（已知），∴（内错角相等，两直线平行），∴∠BAD+∠B=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD（已知），∴+=180∘（，），∴∠B=∠D（等量代换）．22.补全下列的推理依据：如图，(1) ∵∠1=∠2（已知），∴a∥b( )．(2) ∵∠3=∠4（已知），∴a∥b( )．23.指出下列命题的题设和结论，并把下列命题改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式．面积相等的两个三角形全等．24.已知：如图，m∥n，∠2=∠4=∠1，求证：∠2+∠3=180∘．25.如图，已知AD∥BE，∠1=∠2．试说明∠A=∠E的理由解：因为∠1=∠2（已知），所以∥（），所以∠E+∠=180∘（），因为AD∥BE（已知），所以∠A+∠=180∘（），所以∠A=∠E（）．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】内错角2. 【答案】A【解析】∵AB⊥BC，∠1=36∘，∴∠3=90∘−∠1=54∘．∵a∥b，∴∠3=∠2=54∘．【知识点】平行线的性质3. 【答案】B【解析】判断一件事情的句子叫做命题．故不是命题的有②③⑥，故选B．【知识点】命题的概念4. 【答案】D【知识点】命题的真假5. 【答案】B【解析】由题意得：∠ECD=90∘，∠D=30∘，∴∠DEC=60∘，∵∠B=45∘，∴∠1=∠DEC−∠B=15∘．【知识点】三角形的外角及外角性质6. 【答案】B【解析】①两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误，是假命题；③若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题；⑤三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故错误，为假命题．【知识点】命题的真假7. 【答案】D【知识点】同旁内角、内错角8. 【答案】A【解析】设∠ABC=x，∠AED=y，∵AB=AC，AD=AE，∴∠ACB=∠B=x，∠AED=∠ADC=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β．【知识点】等腰三角形的性质、三角形的外角及外角性质9. 【答案】D【知识点】命题的真假10. 【答案】B【知识点】命题的真假二、填空题11. 【答案】①②【解析】①两直线平行，内错角相等，是真命题；②如果m是无理数，那么m是无限小数，是真命题；③同旁内角互补，两直线平行，是假命题；④如果a是实数，那么√a不一定是无理数，如a=4，是假命题；⑤ 64的立方根是4，是假命题．【知识点】命题的真假12. 【答案】105∘【知识点】三角形的外角及外角性质13. 【答案】假【知识点】命题的真假14. 【答案】30【知识点】平行线的性质15. 【答案】同位角相等【知识点】命题的概念16. 【答案】270°【知识点】平行公理的推论、内错角相等、同旁内角互补17. 【答案】75【知识点】三角形的外角及外角性质三、解答题18. 【答案】(1) ∵DE∥BC（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1=∠3（已知），∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠BFG=∠FDC=90∘（两直线平行，同位角相等）∴PG⊥AB（垂直定义）；(2) 是真命题．理由：∵FG⊥AB（已知），∴∠BFG=90∘=∠FDC，∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【知识点】平行线的性质、命题的真假、平行线及其判定19. 【答案】(1) AB；CD；内错角相等，两直线平行(2) AD；BC；内错角相等，两直线平行【知识点】内错角20. 【答案】(1) ∵∠1+∠DCB=180∘，∠1+∠2=180∘，∴∠DCB=∠2，∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．(2) ∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180∘，∴∠ADC=180∘−50∘=130∘，又∵DB平分∠ADC，∠ADC=65∘，∴∠ADB=∠CDB=12又∵ED⊥DB，∴∠EDB=90∘，又∵∠EDC=∠EDB−∠CDB，∴∠EDC=90∘−65∘=25∘，∴∠EDC=25∘．【知识点】内错角、同旁内角互补21. 【答案】AD∥BC；∠BAD；∠D；两直线平行；同旁内角互补【知识点】平行线的性质、平行线及其判定22. 【答案】(1) 同位角相等，两直线平行(2) 内错角相等，两直线平行【知识点】内错角23. 【答案】题设：面积相等的两个三角形．结论：全等．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．【知识点】命题的概念24. 【答案】∵∠2=∠4，∴l∥m，∵m∥n，∴l∥n，∴∠3+∠1=180∘，∵∠2=∠1，∴∠2+∠3=180∘．【知识点】平行公理的推论、同旁内角互补、内错角25. 【答案】∵∠1=∠2，∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠E+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∵AD∥BE，∴∠A+∠ABE=180∘（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A=∠E（同角的补角相等）．【知识点】内错角相等、内错角。

一、选择题1．下列四个命题中，假命题有（ ）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等．（2）如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠．（3）一个锐角的余角一定小于这个锐角的补角．（4）如果1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，那么1∠和2∠互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等 3．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 4．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°5．下列命题中，属于假命题的是（ ）A ．如果三角形三个内角的度数比是1:2:3，那么这个三角形是直角三角形B ．内错角不一定相等C ．平行于同一直线的两条直线平行D ．若数a 使得a a >-，则a 一定小于06．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ） A ．5B ．12C ．14D ．16 7．下列命题中，假命题是（ ）A ．负数没有平方根B ．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C ．对顶角相等D ．内错角相等 8．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的角是对顶角B ．内错角相等C ．任何非负数的算术平方根是非负数D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离9．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 10．下列说法错误的是（ ）A ．过任意一点P 可作已知直线m 的一条平行线B ．同一平面内的两条不相交的直线是平行线C ．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线平行11．下列命题中，真命题的个数为（ ）（1）如果22a b >，那么a>b ； （2）对顶角相等；（3）四边形的内角和为360︒； （4）平行于同一条直线的两条直线平行；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．在ABC 中，若+,A B C ∠=∠∠那么这个三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 二、填空题13．下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有_________个．14．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是_______命题（填“真”或“假”）．15．如图，ABC ∆中，60B ∠=︒，55C ∠=︒，点D 为BC 边上一动点．分别作点D 关于AB ，AC 的对称点E ，F ，连接AE ，AF ．则EAF ∠的度数等于_______．16．如图，木工师傅用角尺画平行线的依据是_________________________.17．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点E 恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边AB 上，DE 与AC 交于点G ．如果110BEF ∠=︒，∠=__________度．那么AGE18．下列命题中，其逆命题成立的是_____．（填上正确的序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；⑤等边三角形是锐角三角形．19．如图，已知△ABC，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E，则∠E+∠D=_____．20．如图，在ΔABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2=235°，则∠A=____度．三、解答题∠=∠，ABC的角平分线BE交AD 21．如图，ABC中，D为BC上一点，C BAD于点F．∠=∠；（1）求证：AEF AFE（2）G 为BC 上一点，当FE 平分AFG ∠且30C ∠=︒时，求CGF ∠的度数． 22．已知，//AB CD ，点P 在AB 、CD 之间，连结AP 、CP ．（1）如图1，求A C P ∠+∠+∠的度数（提供两种作辅助线的方法：方法一：过点P 作AB 的平行线；方法二：连结AC ）；（2）已知100APC ∠=︒，PAB ∠和PCD ∠的角平分线AO 、CO 交于点0，请你画出草图，并直接写出AOC ∠的度数．23．已知：△ABC 和平面内一点D ．（1）如图1，点D 在BC 边上，过D 点作DE//BA 交AC 于点E ，作DF//CA 交AB 于点F ，判断∠EDF 与∠A 的数量关系，并说明理由．（2）如图2，点D 在BC 的延长线上，DF//CA ，∠EDF ＝∠A ，请你判断DE 与BA 的位置关系．并说明理由．（3）如图3，点D 在△ABC 的外部，若作DE//BA ，DF//CA ，请直接写出∠EDF 与∠A 数量关系．24．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．25．如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，若1E ∠=∠，试说明：23∠∠=．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．∵AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G （已知），∴90ADC EGC ∠=∠=︒∴//AD EG （ ）∴12∠=∠（ ）∵1E ∠=∠（已知），∴E ∠=_______（等量代换）又∵//AD EG （已证），∴______3=∠（ ）∴23∠∠=（等量代换）．26．如图，CD AB ⊥于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB ⊥于E ，且12∠=∠，380∠=︒．（1）证明：//BC DG ；（2）若AD AG =，求ABC ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】按照命题的条件，结论，进行推理计算，或与定理，定义，法则对照，进行判断即可.【详解】∵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，∴（1）是假命题；∵对顶角相等，∴（2）是真命题；设锐角为x，则其余角为90°-x，补角为180°-x，∴（90-x）-（180-x）=90°-x-180°+x=-90＜0，∴（3）是真命题；∵1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，∴1∠+3∠=90，2∠+（90-3∠）=180，∴2∠+1∠=180，∴（4）是真命题；故选A.【点睛】本题考查了对命题的真伪的甄别，解答时，熟练掌握数学的基本概念，基本定理，基本法则，基本性质是解题的关键.2．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．3．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断．解析：D【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB CF ， ∴31∠=∠， ∵AD CE ， ∴24∠∠=，∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴60BAD FCE ∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．5．D解析：D【分析】利用三角形内角和对A 进行判断；根据内错角的定义对B 进行判断；根据平行线的判定方法对C 进行判断；根据绝对值的意义对D 进行判断．【详解】解：A 、如果三角形三个内角的度数比是1：2：3，则三个角的度数分别为30°，60°，90°，所以这个三角形是直角三角形，所以A 选项为真命题；B 、内错角不一定相等，所以B 选项为真命题；C 、平行于同一直线的两条直线平行，所以C 选项为真命题；D 、若数a 使得|a|＞-a ，则a 为不等于0的实数，所以D 选项为假命题．故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D错误.故选C.7．D解析：D【分析】根据平方根的概念、平行线的性质、对顶角相等判断即可．【详解】A、负数没有平方根，本选项说法是真命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是真命题；C、对顶角相等，本选项说法是真命题；D、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．C解析：C【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义逐一分析即可．【详解】解：A．对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，该项为假命题；B．两直线平行，内错角相等，该项为假命题；C．任何非负数的算术平方根是非负数，该项为真命题；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项为假命题；故选：C．【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握对顶角的性质、平行线的性质、算术平方根的定义、点到直线距离的定义是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．10．A解析：A【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【详解】解：选项A ：当点P 在直线m 上时则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A 错误，选项B 、C 、D 显然正确，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 11．C解析：C【分析】根据有理数的乘方法则、对顶角相等、多边形的内角和、平行线的判定定理判断即可．【详解】（1）如果22a b ，那么|a|＞|b|，本命题是假命题；（2）对顶角相等，本命题是真命题；（3）四边形的内角和为360°，本命题是真命题；（4）平行于同一条直线的两条直线平行，本命题是真命题；故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．12．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理得到180A B C ∠+∠+∠=︒，则180B C A ∠+∠=︒-∠，变形得180A A ︒-∠=∠，解得90A ∠=︒，即可判断△ABC 的形状．【详解】解：∵180A B C ∠+∠+∠=︒，∴180B C A ∠+∠=︒-∠，又∵+A B C ∠=∠∠，∴180A A ︒-∠=∠，解得：90A ∠=︒，∴△ABC 为直角三角形．故选：C ．【点睛】本题考察了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．二、填空题13．1【分析】根据逆命题对顶角平行线全等三角形的性质对各个选项逐个分析即可得到答案【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角故①错误；两直线平行同位角相等的逆命题为：同位角相等两直线平行故②正确；全 解析：1【分析】根据逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，故①错误；两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，故②正确；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形为全等三角形，故③错误； 逆命题是真命题的命题共有：1个故答案为：1．【点睛】本题考查了逆命题、对顶角、平行线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角、平行线、全等三角形的性质，从而完成求解．14．假；【分析】将原命题的条件与结论对换位置即可得到逆命题然后判断真假【详解】如果两个三角形全等那么这两个三角形的周长相等的逆命题是如果两个三角形的周长相等那么这两个三角形全等根据周长相等无法判定三角形 解析：假；【分析】将原命题的条件与结论对换位置，即可得到逆命题，然后判断真假．【详解】“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的周长相等”的逆命题是“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等”，根据周长相等，无法判定三角形全等，故该逆命题是假命题，故答案为：假．【点睛】本题考查逆命题与命题的判断，掌握原命题与逆命题的关系是解题的关键．15．130°【分析】利用轴对称的性质可知：∠EAB ＝∠BAD ∠FAC ＝∠CAD 再求出∠BAC 的度数即可求解【详解】连接AD ∵D 点分别以ABAC 为对称轴的对称点为EF ∴∠EAB ＝∠BAD ∠FAC ＝∠CAD解析：130°【分析】利用轴对称的性质可知：∠EAB ＝∠BAD ，∠FAC ＝∠CAD ，再求出∠BAC 的度数，即可求解．【详解】连接AD ，∵D 点分别以AB 、AC 为对称轴的对称点为E 、F ，∴∠EAB ＝∠BAD ，∠FAC ＝∠CAD ，∵60B ∠=︒，55C ∠=︒，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝180°−60°−55°＝65°，∴∠EAF ＝2∠BAC ＝130°，故答案是：130°．【点睛】此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．16．在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【分析】在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【详解】解：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行 解析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.【详解】解：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行.故答案为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键17．125【分析】先求得∠AED的度数然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可【详解】解：∵∠BEF=110°∠BEF+∠AEF=180°∴∠AEF=70°∵∠FED=45°∠FED+∠AEG=∠解析：125【分析】先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，∴∠AEF=70°，∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，∴∠AEG=70°-45°=25°，∵∠A=30°，∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，故答案为：125．【点睛】本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．①④【分析】分别写出原命题的逆命题然后判断正误即可【详解】①同旁内角互补两直线平行的逆命题是两直线平行同旁内角互补成立符合题意；②如果两个角是直角那么它们相等的逆命题为相等的两个角都是直角不成立不符解析：①④【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为相等的两个角都是直角，不成立，不符合题意；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题为角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，符合题意；⑤等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；成立的有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE分别是∠B的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD，BE分别是∠B的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=1×180°=90°，2∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．55【分析】根据三角形内角和定理可知要求∠A只要求出∠AEF＋∠AFE的度数即可【详解】∵∠1＋∠AEF＝180°∠2＋∠AFE＝180°∴∠1＋∠AEF＋∠2＋∠AFE＝360°∵∠1＋∠2＝23解析：55【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF＋∠AFE的度数即可．【详解】∵∠1＋∠AEF＝180°，∠2＋∠AFE＝180°，∴∠1＋∠AEF＋∠2＋∠AFE＝360°，∵∠1＋∠2＝235°，∴∠AEF＋∠AFE＝360°−235°＝125°，∵在△AEF中：∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°（三角形内角和定理）∴∠A＝180°−125°＝55°，故答案为：55°【点睛】本题是有关三角形角的计算问题．主要考察三角形内角和定理的应用和计算，找到∠A所在的三角形是关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）150°．【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE=∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF=∠AFE；（2）由角平分线定义得∠AFE=∠GFE ，进而得∠AEF=∠GFE ，由平行线的判定得FG ∥AC ，再根据平行线的性质求得结果．【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠∠=∠C BAD∴∠+∠=∠+∠ABF BAD CBE CAFE ABF BAD ∠=∠+∠，AEF CBE C ∠=∠+∠AEF AFE ∴∠=∠（2）FE 平分AFG ∠，∴∠=∠AFE GFE∵AEF AFE ∠=∠∴∠=∠AEF GFE//∴AC GF180∴∠+∠=︒C FGC30C ∠=︒180150∴∠=︒-∠=︒CGF C ．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题．22．（1）360︒；（2）130AOC ∠=︒或50︒【分析】(1)连结AC ，根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PAC+∠PCA=180°，再根据AB//CD 得到∠BAC+∠DCA=180°即可求得．(2)分两种情况，点P 在AC 的左侧，点P 在AC 的右侧，由（1）中的得到的结论，∠P+∠PAB+∠PCD=360°，再由平行线的性质和角平分线的定理，可以得到∠AOC 的度数．【详解】（1）连结AC∴180P PAC PCA ∠+∠+∠=︒，∵//AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒，∴360PAB PCD P ∠+∠+∠=︒，（2）如图a ，点P 在AC 的左侧，130AOC ∠=︒，∵∠P+∠PAB+∠PCD=360° ，又∠APC=100° ，∴∠PAB+∠PAC=260° ，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠PAO+∠PCO=12×260° =130° ， ∴∠AOC=360° -100° -130° =130° ， 如图b ，点P 在AC 的右侧，50AOC ∠=︒，过点P 作MN ∥AB ，∵MN ∥AB ，CD ∥AB ，∴MN ∥CD ，∵MN ∥AB ，∴∠APM=∠BAP ，∵MN ∥CD ，∴∠CPM=∠PCD ， ∴∠BAP+∠PCD=∠APM+∠CPM=∠APC=100°，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠BAO+∠DCO=12×100° =50°， ∴∠AOC=∠BAO+∠DCO=50° ，∴∠AOC=130° 或50°．【点睛】 此题考查了平行线的性质和判定，以及角平分线定理，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用平行线的性质和角的平分线的定理求角的度数．23．（1）相等，理由见解析；（2）平行，理由见解析；（3）相等或互补【分析】（1）根据平行线的性质，即可得到∠A=∠EDF ；（2）延长BA 交DF 于G ．根据平行线的性质以及判定进行推导即可；（3）分两种情况讨论，即可得到∠EDF与∠A的数量关系：∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．【详解】解：（1）∠EDF=∠A．理由：∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A=∠DEC，∠DEC=∠EDF，∴∠A=∠EDF；（2）DE∥BA．证明：如图，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2=∠3．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF=∠A，∠EDF+∠A=180°．理由：①如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠E=180°，∠E+∠EAF=180°，∴∠EDF=∠EAF=∠BAC；②如图，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠D+∠F=180°，∠F=∠CAB，∴∠EDF+∠BAC=180°．综上，∠EDF 与∠A 相等或互补【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 24．（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．25．见解析【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90°，根据平行线的判定得到AD ∥EG ，由平行线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠E=∠2，由平行线的性质得到∠E=∠3，等量代换即可得到结论．【详解】∵AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G （已知），∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），∴AD ∥EG （同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠E=∠1（已知）∴∠E=∠2（等量代换）∵AD ∥EG ，∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2=∠3（等量代换）．【点睛】考查了平行线的性质、垂直的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质．26．（1）证明见解析；（2）80︒【分析】（1）先根据CD ⊥AB 于D ，FE ⊥AB 得出CD ∥EF ，故可得出∠2=∠DCB ；由∠2=∠DCB ，∠1=∠2得出DG ∥BC ，由此可得出结论；（2）由（1）得B ADG ∠=∠，再证明380ADG ∠=∠=︒，最后由平行线的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵CD AB ⊥，FE AB ⊥∴//CD EF∴2BCD ∠=∠．∵12∠=∠，∴1BCD ∠=∠，∴//BC DG（2） 由（1）得B ADG ∠=∠∵AD AG =∴380ADG ∠=∠=︒∵//DG BC∴80ABC ADG ∠=∠=︒【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．。

典型例题
例 1：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB 相交于点 P，与 CD 相交于点 Q，且 PM⊥EF，若∠1＝68°， 求∠2 的度数．
解：∵AB∥CD，∠1＝68°，∴∠1＝∠QPA＝68°．∵PM⊥EF，∴∠2+∠QPA＝90°． ∴∠2+68°＝90°，∴∠2＝22°．
练习：如图，已知 AB∥CD∥EF，∠A＝105°，∠ACE＝51°，求∠E 的度数．
例 4：如图，已知直线 AB∥DF，∠D+∠B＝180° （1）求证：DE∥BC； （2）如果∠AMD＝75°，求∠AGC 的度数．
解：（1）证明：∵AB∥DF，∴∠D+∠BHD＝180°， ∵∠D+∠B＝180°，∴∠B＝∠DHB，∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，∠AMD＝75°，∴∠AGB＝∠AMD＝75°， ∴∠AGC＝180°﹣∠AGB＝180°﹣75°＝105°．
例 2：已知：如图所示，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C，DE⊥AE，垂足为 E，∠A+∠1＝70°， 求：∠D 的度数．
解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，∵∠A+∠1＝70°，∴∠1＝∠A＝35°， ∴∠ECD＝∠1＝35°，∵DE⊥AE，∴∠DEC＝90°， ∴∠D＝180°﹣∠DEC﹣∠ECD＝55°．
证明：∵DF∥AC，∴∠C＝∠CEF，又∵∠C＝∠D，∴∠CEF＝∠D， ∴BD∥CE，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，∴∠2＝∠1．
练习：如图所示，已知直线 DE∥BC，GF⊥AB 于点 F，∠1＝∠2，判断 CD 与 AB 的位置 关系．并说明理由．
解：CD⊥AB，理由为：∵DE∥BC，∴∠2＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCB， ∴FG∥CD，∵GF⊥AB，∴CD⊥AB．

实用文档第七章 平行线的证明一、思维导图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的内角。

于任何一个和它不相邻：三角形的一个外角大推论角的和。

于和它不相邻的两个内：三角形的一个外角等推论。

等于定理：三角形的内角和三角形内角和定理条直线平行。

平行于同一条直线的两互补。

两直线平行，同旁内角等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同位角相平行线的性质平行。

同旁内角互补，两直线行。

内错角相等，两直线平行。

同位角相等，两直线平平行线的判定的例子。

，而不具有命题的结论反例：具备命题的条件分类：真命题、假命题部分组成。

结构：由条件和结论两句子。

定义：判断一件事情的命题平行线的证明21180二、考点聚焦考点1 定义与命题例1 下列四个命题中，真命题有 （ ）①任意三角形的内角和为180°。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④在同一平面内，若直线a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c 不相交。

A.1个B.2个C.3个D.4个变式1-1：对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A.∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β>∠αB.∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠αC.∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β<∠αD.两个角互为邻补角。

考点2 平行线的性质和判定例2 如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由。

变式2-1：如图，直线l∥2l，∠A=125°，∠B=85°，1则∠1+∠2= （）A.30°B.35°C.36°D.40°变式2-2：如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数。