一次函数动态问题

一次函数（动态问题）

举一反三：（09湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两

点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；

（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；

（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；

②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为

OAB △面积的

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？ 思路导航：直角坐标系、一元二次方程解法及应

用、一次函数的实际应用

【答案】解 （1）当0x =时，4y =；当0y =时，4x =．(40)04A B ∴，，（，）；

（2）

1OM OA MN AB ON OB ∴

==∥，，2111

22

OM ON t S OM ON t ∴==∴==，·； （3）①当24t <≤时，易知点P 在OAB △的外面，则点P 的坐标为()t t ，,

F 点的坐标满足4x t y t =⎧⎨

=-+⎩，

，

即(4)F t t -，

，同理(4)E t t -，，则24PF PE t t t ==-=-(4-)， 所以2M P N P E F

O M N P

E F S S S S S

=-=-△△

△

△

2221111324248822222

t PE PF t t t t t =-=---=-+-·()()； ②当02t <≤时，22211515

44221622S t t ==⨯⨯⨯=，，

解得1202t t ==>，，两个都不合题意，舍去；

当24t <≤时，22358822S t t =-+-=，解得347

33

t t ==，，

综上得，当73t =或3t =时，2S 为OAB △的面积的5

16

．

模仿操练：1．（2009年衡阳市）如图，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A.B 点，点M 是线段AB 上任

意一点（A.B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．

（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<

，

图十二

正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．

2.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 O A B C 旋转的度数； （3）设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论. 3．（2009桂林百色）如图，已知直线3

:34

l y x =

+，它与x 轴、y 轴的交点

分别为A.B 两点．

（1）求点A.点B 的坐标；

（2）设F 是x 轴上一动点，用尺规作图作出⊙P ，使⊙P 经

过点B 且与x 轴相切于点F （不写作法和证明，保留作图痕迹）； （3）设（2）中所作的⊙P 的圆心坐标为P （x y ，）， 求y 与x 的函数关系式；

（4）是否存在这样的⊙P ，既与x 轴相切又与直线l 相切于点B ， 若存在，求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由．

方法小结：

一次函数（动态问题）的答案

1.【答案】解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；

则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ； ∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8

∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4

∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0

（3）如图10（2），当20≤

1

21422+-=-

=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，2

2)4(2

1)4(21-=-=a a S ；

∴S 与a 的函数的图象如下图所示：

图（1）

图（2）

图（3）

x

第3题图

2.【答案】（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，

∴OA 旋转了0

45.∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602

ππ

⨯=.

（2）解：∵MN ∥AC ，

∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =. 又∵BA BC =，∴AM CN =. 又∵OA OC =,OAM OCN ∠=∠,

∴OAM OCN ∆≅∆.∴AOM CON ∠=∠.∴1

(90452

AOM ∠=

︒-︒)=22.5︒. ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒. （3）答：p 值无变化.

证明：延长BA 交y 轴于E 点，则0

45AOE AOM ∠=-∠，0

904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AOE CON ∠=∠.

又∵OA OC =，0

1809090OAE OCN ∠=-==∠. ∴OAE OCN ∆≅∆. ∴,OE ON AE CN ==.

又∵0

45MOE MON ∠=∠=,OM OM =,

∴OME OMN ∆≅∆.∴MN ME AM AE ==+ .∴MN AM CN =+，

∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=. ∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化.

3.【答案】解（1）A （4-，0），B （0，3）

（2）满分3分．其中过F 作出垂线1分，作出BF 中垂线1分，找出圆心并画出⊙P 给1分．

)

)4<≤a

x