常见递推数列的通项教学设计

常见递推数列的通项教学设计
授课教师：成都十二中数学组 刘子丽 授课班级：高2012级9班（理科） 授课时间：2011年10月10日 【教材分析】
数列是中学数学的重要内容，作为特殊的函数，数列既可以用函数的方法来研究，又因其特殊的定义域有其特殊的性质。

数列的递推公式是数列特有的表示方法，也是表示数列的一种重要方法。

生活中的一些实际问题，比如，裴波拉契免子繁殖问题，汉诺塔问题，九连环问题等，运用数学建模的方法，可以很容易地得到相关数列的递推公式，高考试题中也常常用数列的递推公式来表达数列的特征。

数列的递推公式虽然可以揭示数列的特性，但它不像数列的通项公式那样能简单、清楚地表达数列的本质特征，因此，根据数列的递推公式求数列的通项公式是数列研究的最重要的基本问题，是解决实际生活问题的关键，也是高考考查的重点问题。

在众多常见递推数列中，一阶线性递推数列：1n n a qa d +=+是最基本的递推数列之一，从方法上看，“1n n n ka a qa d
+=
+”型、“1q
n n a ra +=”型等递推数列都可以转化
为一阶线性递推数列，而一阶线性递推数列又可以转化为等比数列再求通项，所以一阶线性递推数列起着一个“中转站”的作用。

从数学思想上看，求一阶线性递推数列的通项所蕴藏的转化思想、从特殊到一般，再由一般到特殊的思想也是求常见递推数列通项的重要思想，因此研究一阶线性递推数列，对研究其它类型的递推数列有着重要的意义。

【学情分析】
1．本节课是高三复习课，在前一阶段，已经复习了等差数列、等比数列这两类基本数列的相关知识，学生对递推数列也有一定的了解，但对几种常见递推数列的内在关联模糊不清。

因此，本节课设计了三个特殊的递推数列，并将三种递推数列的内在关联显性化，通过学生的自主探究来领会递推数列之间内在的关联。

2．学生能将简单的递推数列转化为特殊的等差或等比数列，但数学的变形能力较弱，对转化思想的理解还停留在表层，要将复杂的递推数列通过变形转化为简单数列比较困难。

因此，本节课先让学生从特殊入手，归纳提升为一般结论，然后再将结论与方法迁移到具体的特殊问题，让学生在自主探究、合作交流、反思总结中体会等价转化的思想及其重要性。

【教学目标】
1． 能积极主动地参与探求常见递推数列通项的活动，能从特殊出发，归纳出同类型递推数
列求通项的方法。

2． 能用一般递推数列求通项的方法求特殊递推数列的通项。

3． 通过探究与交流，能体会三类递推数列内在的关联，能体验等价转化思想及“特殊与一
般”的关联。

4． 能在递推数列变形的过程中，体验“整式、分式、指数、对数”与“等比数列”、“递推
公式”与“通项公式”、“数列”与“函数”的知识关联。

【重难点分析】
教学重点：几种常见递推数列求通项的方法；三类递推数列内在的关联及转化思想。

教学难点：如何将递推数列转化为简单数列。

【教学媒体】幻灯片，投影仪
【核心问题】解决下列问题，探求常见递推数列的通项
【设计思想】
本课以高中数学新课程基本理念中的“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”为指导思想，应用我校的校本教研成果“基于缄默知识的核心问题教学模式”，结合数学组习题探究的方法，将教学的各环节设计如下：
环节一：提出问题
数学源于生活，又为生活服务。

现实生活中蕴涵着大量的数学元素，现实生活中也无时无处不在应用着数学。

源于生活中的数学往往更能唤起学生的好奇心、亲切感、更有利于激活学生的参与意识。

因此通过例举生活中具有递推关系的数列，分析数列在高考中的地位来引入课题，可激发学生学习数学的兴趣并提高教学的有效性。

在此基础上，提出本节课的核心问题：解决下列问题，探求常见递推数列的通项。

环节二：解决问题
数学家波利亚曾经说过：“学习任何知识的最佳途径即是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。

”因此本环节的探索活动全部交由学生，充分的发挥学生的主体性。

1.先让学生独立探索，寻求各自的解题方案，再通过小组讨论完善自己的探究成果。

2.小组推荐代表展示探究成果，由学生的“说”和生生、师生间的“评”展开活动。

通过自主探索与合作交流，学生会不断地比较自己的理解与他人理解的差异，不断的纠正自己的认识，从而建构知识和方法的正确认识，促进知识和方法的内化。

环节三：归纳提升
通过对探究活动的反思，学生自主归纳不同类型的递推数列求通项的方法，在教师的点评与补充下，让学生充分的体验递推数列之间的内在关联，及其中蕴藏的“特殊与一般”的辩证关系和转化的数学思想，促使学生形成较为系统的认识和较为完善的方法结构，从而完成本节课的教学目标。

环节四：运用反馈
学生的数学学习只有凭借已有的知识经验并通过自身的操作活动和主动参与的“做”才可能变得更为有效。

因此设计一个用本节课总结的方法及转化思想来解决的变式问题，检测教学目标的达成度。

总之，本节课不仅仅是单纯的知识教学，而更重视对数学思想方法的渗透。

本课从生活实例入手，从特殊的递推数列出发，学生在自主探索、合作交流中经历递推数列通项的探求，这样既激发了学生的学习兴趣，又分化突破了难点。

教学过程中，通过不断设问，不断变式，给每个学生提供思考、创造、表现的机会，逐步渗透从特殊到一般、转化的数学思想,从而培养学生的数学探究实践能力。

【教学过程】
通过课后专家、同事的评议，这节课呈现出了以下的优点与不足： 成功之处：
1． 核心问题确立恰当，体验性目标明确
本节课开门见山的提出核心问题“解决下列问题，探求常见递推数列的通项”，并在核心问题的激发下，学生从三个特殊递推数列出发，归纳总结三类递推数列的求法，在自主探究、合作交流、反思总结中体验三类递推数列内在的关联，体验等价转化思想及“特殊与一般”的关联。

2． 学生活动充分，教师点评及时到位。

学生先独立探索特殊递推数列的通项，然后通过小组讨论完善自己的探究成果，再通过说题、讲题对三类题目进行了深入的体验，充分发挥了学生的主体性；教师在学生展示过程中给予了及时的评价，并通过追问的方式加深学生对题型的理解，从而发现三类递推数列内在的关联，充分发挥了教师的主导性。

3．例题环环相扣，层层深入。

本课的例题设计注重“一题多变，多题化一”， “1n n a qa d +=+”型递推数列贯穿于整堂课始终。

本课涉及的题目共有5道，第一道是最基本，最重要的递推数列，同时它也为求后面不同类型递推数列问题作了铺垫的；前三个特殊递推数列问题又为归纳三类递推数列的求法埋下了伏笔；运用反馈中的例1不仅是三类递推数列通项求法的应用，也为例2的变形作了铺垫，而例2最终变形结果仍然是第一类型的递推数列，因此本课的例题环环相扣，层层深入。

这样的设计既让学生体验了不同类型递推数列之间的关联，同时也培养了学生注重基础题型的学习习惯。

改进之处：
1． 结果性目标不明确，本节课只是对探索过程中学生能达到的知识性目标和体验性目标进 行阐述，忽视了对结果性目标的陈述，因此通过本节课学生能达到哪种程度还需要进一步的说明。

2．本课的核心问题是“解决下列问题，探求常见递推数列的通项”，在探究的过程中，只注重了对问题的解决，而忽略了对常见递推数列通项的探求，在归纳提升的过程中，虽然有学生的归纳，但更多的是老师的讲解，从而限制了学生的思维。

3．对数学思想方法的渗透不深。

在归纳提升的过程中，学生归纳了本节课用到的数学思想和方法，但在运用反馈中，并没有用这些数学思想和方法来进行指导，导致学生对数学思想方法的认识不足，不能很好的应用这些思想与方法来解题。

4．在课堂上，更多的关注了解题技能的训练，而忽略了题目解法的多样性，如：第一小问，既可以用待定系数法，也可以用迭代法，但在展示的过程中，只选择了最常用的待定系数法。

本节课是一堂高三习题课，在接到这个课题时，我希望能上一堂新颖的高三复习课，在查阅了大量的书籍后，发现汉诺塔问题很适合“常见递推数列的通项”这个课题，我试图从汉诺塔问题出发，来求常见递推数列的通项，但在具体实施的过程中，汉诺塔问题的解决非常困难，同时需要在课堂上花大量时间进行数学建模，教学重点也有所偏离。

在我最困惑的时候，陈老师和数学组的老师共同指导我及时的修改了方案，重新确定了本节课的核心问题。

在这里，我非常的感谢陈老师对我的关心和指导，感谢数学组的老师们给我提出的宝贵意见。

这次的公开课让我对高三习题课又有了新的认识，在今后的教学过程中，我会带着这次尝试积累的经验与教训，不断学习，争取更进一步。

课堂反馈及作业反馈统计表
注：例1完成情况有以下二类：
①能将n a 的递推关系式变形，顺利求出n b . ②能将n a 的递推关系式变形，但计算出错.
例2完成情况有以下三类：
①能将题目条件转化为第三类型的递推数列，并通过取对数，将之转化为第一类型递推数列，顺利求出n a
②能将题目条件转化为第三类型的递推数列,但取对数时没有考虑真数大于零，而导致计算出错
③不能将题目条件转化为第三类型的递推数列,没有找到解题思路。

作业1完成情况有以下二类：
① 能用第一类型递推数列求通项的方法完成此题 ② 能做，但计算出错。

作业2完成情况有以下三类：
①能将题目条件转化为第二类型的递推数列，并通过取倒数，将之转化为第一类型递推数列，顺利求出n b
②能将n a 的递推关系式变形，但不能转化为第二类型的递推数列 ③不能将n a 的递推关系式变形，没有找到解题思路。