高中数学 规律题精简 动态型问题一 新人教A版选修2

2020高中数学 2.1合情推理与演绎推理练习新人教A版选修2-2一、选择题1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A．B．△C．▭D．○[答案] A[解析] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．2．在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an＝( )A．2n－2－12B．2n－2C．2n－1＋1 D．2n＋1－4 [答案] B[解析] ∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a 3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a 4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.故应选B.3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27[答案] B[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故应选B.4．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2[答案] C[解析] 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.5．图(1)、图(2)、图(3)、图(4)分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含________个互不重叠的单位正方形．( )A．n2－2n＋1 B．2n2－2n＋1C．2n2＋2 D．2n2－n＋1[答案] B[解析] 观察题中给出的四个图形，图(1)共有12个正方形，图(2)共有12＋22个正方形；图(3)共有22＋32个正方形；图(4)共有32＋42个正方形；则第n 个图中共有(n－1)2＋n2，即2n2－2n＋1个正方形．6．n个连续自然数按规律排列下表：01234567891011…根据规律，从2020到2020箭头的方向依次为( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓[答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2020到2020为↑→，故应选C.二、填空题7．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*,12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝________.[答案] (－1)n＋1n2＋n 2[解析] 注意到第n个等式的左边有n项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n＝n n＋12＝n2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n为奇数时，符号为正；当n为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n＋1n2＋n 2.8．(2020·陕西文，13)观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为__________________________________．[答案] (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)[解析] 观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．9．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n≥2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)．三、解答题10．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…观察上述等式可以发现，第n个等式右端有n个根号，n个2，左端“角”的分母为22,23,24，…，故第n个等式的左端应为2cosπ2n＋1，由此可归纳出一般性的结论为：2cosπ2n＋1＝2＋2＋2＋…n个根号一、选择题11．已知数列{an }的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a 4，猜想an等于( )A．2n＋12B．2n n＋1C．22n－1D．22n－1[答案] B[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2⇒a2＝13＝23×2，S3＝9a3＝a1＋a2＋a3⇒a3＝a1＋a28＝16＝24×3，S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4⇒a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.所以猜想an＝2n n＋1，故应选B.12．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．13．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n n＋12个，∴第七个三角形数为7×7＋12＝28.二、填空题14．下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第n个图有________个原子，有________个化学键．[答案] 4n＋2,5n＋1[解析] 第1、2、3个图形中分别有原子个数为6,6＋4,6＋4×2，故第n 个图形有原子6＋4×(n－1)＝4n＋2个．第1、2、3个图形中，化学键个数依次为6、6＋5、6＋5×2、…∴第n个图形化学键个数为6＋5×(n－1)＝5n＋1.15．(2020·三峡名校联盟联考)观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个．．．不等式为____________________________．[答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，所以第五个不等式为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.16．(2020·新疆兵团二师华山中学高二期中)在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立，在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立，在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在n边形A1A2…An中，有不等式__________________________成立．[答案] 1A1＋1A2＋…＋1An≥n2n－2π(n≥3)[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2n－2π(n≥3)．∴在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1An≥n2n－2π(n≥3)．三、解答题17．(2020·西宁质检)已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝3 4，sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析] 等式为sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α) ＝sin 2α＋1＋cos60°＋2a 2＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝12＋sin 2α＋cos60°＋2α2＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋12(12cos2α－32sin2α)＋34sin2α－12sin 2α＝12＋sin 2α＋14cos2α－34sin2α＋34sin2α－12sin 2α＝12＋12sin 2α＋14(1－2sin 2α)＝34. 选修2-2 第二章 2.1 2.1.1 第2课时一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n∈N *，且n≥3)A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理． 2．(2020·华池一中期中)平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A．43a B．63aC．54a D．64a[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．4．(2020·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝( )A．VS1＋S2＋S3＋S4B．2VS1＋S2＋S3＋S4C．3VS1＋S2＋S3＋S4D．4VS1＋S2＋S3＋S4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b>0⇒a>b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b>0⇒a>b”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d”；③若“a，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 在实数集中，a>b ⇔a －b>0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，有a －b ＝1>0，但a>b 不成立；∵a 、b 、c 、d ∈Q ，∴a －c ，b －d ∈Q ，∵a ＋b 2＝c ＋d 2，∴(a －c)＋(b －d)2＝0，∴⎩⎨⎧a －c ＝0b －d ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝cb ＝d，故②正确；由复数相等的定义知，若a ＝x 1＋y 1i(x 1、y 1∈R)，b ＝x 2＋y 2i(x 2、y 2∈R)，则由a －b ＝(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i ＝0⇒⎩⎨⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝0，∴⎩⎨⎧x 1＝x 2y 1＝y 2，∴a ＝b ，故③正确．6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t ＝mt ＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p ⇒a ＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a·cb·c＝ab”．其中类比结论正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.二、填空题7．设f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而当x1＋x2＝1时，有f(x1)＋f(x2)＝12x1＋2＋12x2＋2＝22＋2x1＋2x222x1＋2x2＋2x1＋x2＋2＝22＋2x1＋2x222x1＋2x2＋22＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2.8．在等差数列{an }中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而当n<19－n时，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝19－2n an＋1＋a19－n2＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n时的情形．由此可知：等差数列{an}之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，类似地，在等比数列{bn}中，也有性质：bn＋1·b17－n ＝b29＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n＜19，n∈N*)成立，故在等比数列{bn}中，由b9＝1，可知应有“积”的性质b 1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n，即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b29＝1.∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；当8＜n＜17时，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n，即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b29＝1，∴b18－nb19－n·…·bn＝b2n－179＝1，∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{bn}满足b9＝1时，有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，前n项积为Tn，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m，n，k，w∈N*).S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列[n 1n m m n k w m ＋n ＝2w ，则a m ·a n ＝a 2w T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n构成等比数列 三、解答题10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a 、b 为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab ＋1>a ＋b.(2)已知a 、b 、c 均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c.[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，据(1)得(ab)·c＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab ＋c)＋1＝(ab ＋1)＋c>a ＋b ＋c. [点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab)·c＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n ＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .一、选择题11．下列类比推理恰当的是( )A ．把a(b ＋c)与log a (x ＋y)类比，则有log a (x ＋y)＝log a x ＋log a yB ．把a(b ＋c)与sin(x ＋y)类比，则有sin(x ＋y)＝sinx ＋sinyC ．把(ab)n 与(a ＋b)n 类比，则有(a ＋b)n ＝a n ＋b nD ．把a(b ＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c [答案] D[解析] 选项A ，B ，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误． 12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1[答案] A[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)， ∴FB →＝(c ，b)，AB →＝(－a ，b)， 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.13．(2020·辽师大附中期中)类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题14．(2020·阜阳一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝________.[答案] b 2n －1n[解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n－1＝(2n －1)a n .所以类比可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n－1＝b 2n －1n. 15．(2020·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .16．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P(x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝________.类比过圆上一点P(x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上一点P(x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．[答案] πabx 1a 2·x＋y 1b 2·y＝1 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r·r，猜想椭圆面积S 椭＝π·a·b，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x＋y 0·y＝r 2变形得x 0r 2·x＋y 0r 2·y＝1，则过椭圆上一点P(x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x＋y 1b 2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．三、解答题17．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x＋22y ＝1，又点Q(2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a ，b)与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P(a ，b)在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1， 左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n)＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n)＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n)＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n)＝[S 3(n)－n 3]＋3[S 2(n)－n 2]＋3[S 1(n)－n]＋n. 由此知S 2(n)＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1n3＝2n 3＋3n 2＋n6＝n n ＋12n ＋16.选修2-2 第二章 2.1 2.1.2一、选择题1．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B2．(2020·华池一中高二期中)“三角函数是周期函数，y ＝tanx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tanx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A ．推理完全正确B ．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确[答案] D[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A．完全正确B．推理形式不正确C．不正确，两个“自然数”概念不一致D．不正确，两个“整数”概念不一致[答案] A[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论[答案] C[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．5．(2020·洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( ) 大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误[答案] B[解析] 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误[答案] C[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__________________________________．[答案] 一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形．8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_______________________________________________________________．小前提______________________________________________________________．结论_____________________________________________________________．[答案] 所有一次函数的图象都是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线9．以下推理中，错误的序号为________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.[答案] ①[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．三、解答题10．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)菱形的对角线互相平分．(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．[答案] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提菱形是平行四边形小前提菱形的对角线互相平分结论(2)一切奇数都不能被2整除大前提75是奇数小前提75不能被2整除结论一、选择题11．“在四边形ABCD中，∵AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形”．上述推理过程( )A．省略了大前提B．省略了小前提C．是完整的三段论D．推理形式错误[答案] A[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．12．(2020·淄博市临淄区学分认定考试)下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；小前提：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；结论：所以直线b∥直线a.在这个推理中( )A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误[答案] D[解析] 如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a⊂平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.13．(2020·淄博市临淄区学分认定考试)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，……，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76 B．80C．86 D．92[答案] B[解析] 记|x|＋|y|＝n(n∈N*)的不同整数解(x，y)的个数为f(n)，则依题意有f(1)＝4＝4×1，f(2)＝8＝4×2，f(3)＝12＝4×3，……，由此可得f(n)＝4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为f(20)＝4×20＝80，选B.14．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an }中，a1＝1，an＝12⎝⎛⎭⎪⎫an－1＋1an－1(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式[答案] A[解析] 选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C、D都是归纳推理．二、填空题15．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．[答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面三、解答题16．判断下列推理是否正确？为什么？①“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”②∵奇数3,5,7,11是质数，9是奇数，∴9是质数．[解析] ①错误．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有共线的三点才能确定一个平面．②错误．推理形式错误，演绎推理是由一般到特殊的推理，3,5,7,11只是奇数的一部分，是特殊事例．17．下面给出判断函数f(x)＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1的奇偶性的解题过程：解：由于x∈R，且f x f－x＝1＋x2＋x－11＋x2＋x＋1·1＋x2－x＋11＋x2－x－1＝1＋x2－x－121＋x2－x＋12＝2x－2x＝－1.∴f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．试用三段论加以分析．[解析] 判断奇偶性的大前提“若x∈R，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；若x∈R，且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)．。

第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( )A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法的种数为( ) A ．80 B ．240 C ．480 D ．40解析：先排甲、乙外的四个人，有A 44种，再将甲、乙插入四个人形成的五个空当中，有A 25种排法，则甲、乙两人不相邻的不同排法共有A 44A 25＝480(种)．答案：C3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1.方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。

高中数学人教新课标A版选修2-1 1.2充分条件与必要条件A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）已知是实数，则“且”是“且”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要【考点】2. （2分）设，其中，则是偶函数的充要条件是（）【考点】3. （2分）设 a > 0 , b > 0 ，则“”是“”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件．【考点】4. （2分）以下有四种说法，其中正确说法的个数为（）（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；（2）“a＞b”是“a2＞b2”的充要条件；（3）“x=3”是“x2﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个【考点】5. （2分） (2017高二上·太原月考) 王昌龄《从军行》两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】6. （2分）椭圆的离心率大于的充分必要条件是（）【考点】7. （2分）已知，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】8. （2分）已知向量、（其中是不共线的向量，m、），则的充分不必要条件是（）【考点】9. （2分）函数f(x)=在上是单调函数的必要不充分条件是（）【考点】10. （2分）设x∈R，则2x＞2的一个必要不充分条件是（）A . x＞﹣1B . x＜﹣1C . x＞3D . x＜3【考点】11. （2分） (2017高二下·福州期中) 设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【考点】二、多选题 (共1题；共3分)12. （3分） (2020高一上·麻城期中) 下列判断正确的是（）A .B . 是定义域上的减函数C . 是不等式成立的充分不必要条件D . 函数过定点【考点】三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·江苏月考) 若条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是________.【考点】14. （1分）“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，则a的范围为________【考点】15. （1分）已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”________条件．【考点】16. （1分）直线y=x+b，b∈R与圆x2+y2+2x=0相切的充要条件是b∈________．【考点】四、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高二上·武邑月考) 已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m ，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】18. （5分） (2019高一上·烟台期中) 经过函数性质的学习，我们知道：“函数的图象关于轴成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”.（1）若为偶函数，且当时，，求的解析式，并求不等式的解集；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数的图象关于直线成轴对称图形”的充要条件是“ 为偶函数”.若函数的图象关于直线对称，且当时， .（i）求的解析式；（ii）求不等式的解集.【考点】19. （10分）已知p：x＜﹣2或x＞10；q：1﹣m≤x≤1+m2；¬p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】20. （10分） (2017高二上·太原月考) 已知：，：，若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围．【考点】21. （5分） (2018高二下·鸡泽期末) 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足 .（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【考点】22. （5分） (2019高一上·海口月考) △ 中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．【考点】参考答案一、单选题 (共11题；共22分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：二、多选题 (共1题；共3分)答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、略考点：解析：四、解答题 (共6题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

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充分条件与必要条件(时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．若向量a＝(x，3）（x∈R），则“x＝4"是“|a｜＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A2．设p:1＜x＜2,q：2x＞1，则p是q成立的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件［答案］A［解析] 由q：2x〉20,解得x〉0,易知,p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A。

3．“x〉1"是“log 12（x＋2)<0”的（)A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析］由log错误!(x＋2)＜0,得x＋2＞1,解得x＞－1，所以“x＞1"是“log错误!（x＋2）＜0”的充分不必要条件，故选B.4．“a≠1或b≠2"是“a＋b≠3"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B5．设点P（x,y)，则“x＝2且y＝－1"是“点P在直线l：x＋y－1＝0上"的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立,此时P(2,－1）在直线上,而点P(x，y）在直线l上，并不确定有“x＝2且y＝－1”．6．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的( ）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件［答案] B［解析］在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，则A＋C＝180°－60°＝120°，∴A ＋C＝2B,∴△ABC三个内角A,B，C成等差数列．若△ABC三个内角A，B，C成等差数列，则A ＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°.故选B.二、填空题7．已知a、b是实数,则“a>0，且b>0"是“a＋b〉0，且ab〉0”的__________________条件．[答案] 充要［解析] ∵a〉0，b>0，∴a＋b>0,ab>0,∴充分性成立;∵ab>0，∴a与b同号，又a＋b〉0，∴a>0且b〉0,∴必要性成立．故“a>0且b>0"是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．8．“x〉3”是“x〉0”的________________________条件．[答案] 充分不必要［解析] 由x〉3⇒x>0，充分条件成立．又由x〉0成立，当x＝1时,1>3不成立，必要条件不成立．9．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋（y－1)2＝2相切的充要条件是__________________．［答案］m＝－4或0[解析] 直线x＋y＋m＝0与圆（x－1)2＋(y－1）2＝2相切⇔圆心（1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离等于错误!⇔错误!＝错误!⇔｜m＋2|＝2⇔m＝－4或0。