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关于针对浅谈高考中的数学建模问题

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HR Planning System Integration and Upgrading Research of
A Suzhou Institution

浅谈高考中的数学建模问题
宁波鄞州正始中学数学组—王伍成
函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，
题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一
种题型。应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问
题的能力，还能提高学生的思维素质。
一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在
于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步
进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用
数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。而解
答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问
题。
下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。
1、 优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”
或“线性规划”问题解决
例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比
现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，
那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。
（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时
间x的人口量为y=N(1+p)x.）
分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理
解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。本
题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为
p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现
在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公
顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。设耕地平均
每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。
解：依题意得不等式
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
本题也可属于预测问题，通过建立数列模型和不等式模型来解决问题。
2、最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函
数模型”，转化为求函数的最值。
例2、（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3
元，并且每件产品需向总公司交a元（35a≤≤）的管理费，预计当每件产品

的售价为x元（911x≤≤）时，一年的销售量为2(12)x万件．
（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最

大值()Qa
分析：总利润=每一件的利润×销售量=（每一件的售价-成本-管理费）×销售量
解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：

2
(3)(12)[911]Lxaxx，，
．

（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)Lxxxax
(12)(1823)xax
．
令0L得263xa或12x（不合题意，舍去）．
35a≤≤
，2288633a≤≤．
在263xa两侧L的值由正变负．
所以（1）当28693a≤即932a≤时，
2
max
(9)(93)(129)9(6)LLaa
．
（2）当2289633a≤≤即952a≤≤时，
2
3

max
2221(6)63126433333LLaaaaa









，

所以399(6)32()1943532aaQaaa， ≤，， ≤≤
答：若932a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值
()9(6)Qaa
（万元）；若952a≤≤，则当每件售价为263a元时，分公司

一年的利润L最大，最大值31()433Qaa（万元）
本题利用导数来求三次函数的最值。
3、 预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
例3、（2002年全国理科）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每
年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环
境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多
少辆？

解：设2001年末汽车保有量为1b万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b万辆，
3
b

万辆，„，每年新增汽车x万辆，则
301b，xbb94.0
12

对于1n，有


)94.01(94.0 94.0211xbxbbnnn



所以
)94.094.094.01(94.0211nnnxbb


xbnn06.094.0194.01
n
xx
94.0)06.030(06.0

当006.030x，即8.1x时
3011bbb
nn

。
当006.030x，即8.1x时
数列}{nb逐项增加，可以任意靠近06.0x

06.0]94.0)06.030(06.0
[limlim1xxxbnnnn


因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即

60nb
（,3,2,1n）

则6006.0x，即6.3x万辆
综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆。
4、 等量关系问题 建立“方程模型”解决，通过题目中的等量关系建立方程，
再通过方程整理出函数关系式或解方程来解决问题。
例4、(1995年全国高考题)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当
范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元／kg，政
府补贴为t元／kg，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P
kg

与市场日需求量Qkg近似地满足关系

P=1000(x+t-8)，(x≥8，t≥0)


当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?
分析：从数学的角度理解政府补贴t的含义，可与税收联系起来，当t>0时，则
是补贴，意在扶植促进某个行业的发展，如果t<0时，则是课税，为政府积累资
金。
解：(1)依题设，有
解
得t≥1或t≤-5，由于t≥0,知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。
5、测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决。建立坐标，将问题转
化为几何问题，利用几何知识或者解析几何知识来解决问题。
例5、（2003年全国理科）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风

中心位于城市O（如图）的东偏南)102(cos方向300km的海面P处，并以
20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径
为60km，并以10km/h的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：t（h）台风中心),(yxP的坐标为




.22201027300,2220102300ty
tx

此时台风侵袭的区域是222)]([)()(tryyxx，
其中10)(trt+60，
若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有
,)6010()0()0(222tyx

即,)6010()22201027300()2220102300(222ttt
即0288362tt， 解得2412t.
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭。
本题通过建立解析几何模型来解决，此模型可用于研究台风，沙暴中心的运动规
律，以预防自然灾害。

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高考志愿填报问题数学建模

高考志愿填报问题数学建模

数学建模实验报告高考志愿选择问题摘要本论文针对中学毕业生高考志愿选择问题设计一个依据大学的各项条件排出四个志愿的名次的模型。

对于志愿选择问题，我们采用层次分析法给出个各志愿的优先级顺序。

对问题先进行合理的假设，确定影响选择的因素及其权系数，并对矩阵进行一致性检验，算出权向量，最后得到权重，做出层次结构模型再进行层次分析，解决了高考志愿选择的问题。

关键词：高考志愿、层次结构、权重、层次分析一、提出问题高考结束后学生面临志愿选择问题，并且志愿的选择对学生今后的生活具有重大的影响，必须重视这一重大决策。

二、问题的重述某学生高考结束后填报志愿时要考虑学校的声誉、教学、科研、文体及环境条件，又要结合个人兴趣、考试成绩、毕业后的出路等因素，每一因素内又包含若干子因素，此学生可填报A/B/C/D 四所大学。

假设考生通过网上信息初步考虑因素重要性的主观权数如下，再设各大学的每项因素的分值设为满分为1对选择的贡献度 A B C D 自豪感 1 0.9 0.8 0.8 0.7 声誉社会认同 2 0.8 0.8 0.7 0.5教师水平 3 0.9 0.75 0.85 0.7 教学教学条件 2 0.75 0.8 0.85 0.9 学习氛围 1 1 0.7 0.8 0.6科研资金 2 0.75 0.8 0.9 0.8 科研深造条件 2 0.8 1 0.65 0.8生活环境 1 0.7 0.85 0.9 0.95(2)成对比较要比较n 个因素a1,a2…an ，对目标A 的影响，要确定它们在A 中所占的比重，即这n 个因素对目标A 的相对重要性。

设有因素a1,a2…an 每次取两个因素a i a j ，用正数a ij 表示a i 与a j 的重要性之比。

由全部比较结果得到矩阵A=（a ij ），称作成对比较阵A 。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nm n n n n a a a a a a a a a ,,,,,,,212,2221112,11ΛM M M M ΛΛ易得nj i a a a ij ijij ≤≤>=,1,0,1 对于所给的假设可得比对表如下由此可以得到一个12*12的对比矩阵（4）用matlab求得到的最大特征值和特征向量，并用书上189页介绍的方法求权向量，再进行一致性检验A=[1 0.5 0.33 0.5 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.33;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;3 1.5 1 1.5 3 1.5 1.5 3 1.5 1.5 1.5 1;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;1 0.5 0.33 0.5 1 0.5 0.5 1 0.50.5 0.5 0.33;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;2 1 0.66 1 2 11 2 1 1 1 0.66;1 0.5 0.33 0.5 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.33;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;2 1 0.66 1 2 1 1 2 1 1 1 0.66;3 1.5 1 1.5 3 1.5 1.5 3 1.5 1.5 1.5 1;]maxeignvalue=max(max(b)) ;index=find(b==max(max(b)));eigenvector=a(:,index)求权重向量A=[-0.1428;-0.2855;-0.4290;-0.2855;-0.1428;-0.2855;-0.2855;-0.1428;-0.2855;-0.2855;-0.2855;-0.4290];a= A./repmat((sum(A)),size(A,1),1)所以权重为[0.0435,0.0869,0.1306,0.0869,0.0435,0.0869,0.0869,0.043 5,0.0869,0.0869,0.0869,0.1306]CI=(11.98-12)/11;CR=ci/ri <0.1 可以接受将a-d四所大学的各项分数与权重相乘相加A=0.671B=0.715C=0.640D=0.623所以选择B大学是最好的六、模型的评价与推广模型比较准确的判定了再给定大学各因素分数时的好坏成度，可以由此推广到考虑更多因素时的选择。

人教版高三数学教学中的数学建模与解题思路

人教版高三数学教学中的数学建模与解题思路

人教版高三数学教学中的数学建模与解题思路人教版高三数学教材的编写旨在培养学生的数学建模能力和解题思维能力，既注重对数学知识的学习和理解，又强调实际问题的分析和解决方法。

本文将探讨人教版高三数学教学中的数学建模与解题思路，并提供一些实用的方法和技巧。

一、数学建模的概念和意义数学建模是指通过数学的方法解决实际问题的过程。

它不仅要求学生掌握数学知识和技巧，还要培养学生的数学思维能力和实际问题的分析能力。

数学建模的意义在于将抽象的数学理论应用于实际问题中，能够增强学生对数学的兴趣和学习动力，并培养他们解决实际问题的能力。

二、数学建模的三个基本步骤数学建模一般包括问题的建模、模型的建立和模型的求解三个基本步骤。

1. 问题的建模问题的建模是指将实际问题转化为数学问题的过程。

学生需要对问题进行分析和理解，找出问题的关键要素和变量，确定问题的目标和约束条件，并选择合适的数学方法和模型来描述问题。

2. 模型的建立模型的建立是指根据问题的要求和条件构建数学模型的过程。

学生需要运用相关的数学知识和概念，建立数学模型并进行合理的假设和简化。

3. 模型的求解模型的求解是指利用数学方法和技巧求解模型的过程。

学生需要灵活运用数学工具和计算技术，进行模型的求解并分析结果的合理性和可行性。

三、解题思路的培养和掌握方法在数学教学中，教师可以采用以下几种方法来培养学生的解题思路和解题能力。

1. 综合运用多种解题方法教师应鼓励学生综合运用多种解题方法，例如：代数方法、几何方法、图像方法等，以解决实际问题。

通过比较不同解题方法的优劣和适用范围，学生能够更好地理解和掌握数学知识。

2. 激发学生的主动性和思考能力教师应引导学生主动思考和探索解题思路，提高他们的问题分析和解决能力。

可以通过讨论、小组合作等方式，激发学生的兴趣和主动性，培养他们独立思考和解决问题的能力。

3. 引导学生进行实际问题的建模教师可以引导学生选择一些实际问题进行建模和解决，以培养他们的数学建模能力和解题思维能力。

高考高等数学试题技巧善用数学建模思维解题

高考高等数学试题技巧善用数学建模思维解题

高考高等数学试题技巧善用数学建模思维解题高考，那可是千军万马过独木桥的战场！在这激烈的角逐中，高等数学试题就像一个个狡猾的小怪兽，时不时跳出来给咱考生使绊子。

但别怕，今儿咱就来聊聊怎么用数学建模思维这把利剑，把这些小怪兽打得落花流水。

我先跟您唠唠我之前遇到的一个事儿。

有一次，我去参加一个数学竞赛培训，碰到一道特别有意思的题。

题目说：一个工厂生产零件，甲机器每小时生产 10 个，乙机器每小时生产 15 个，现在要生产 100 个零件，怎么安排这两台机器的工作时间才能最快完成任务？当时我就有点懵，这可咋整？后来老师点拨说，这就是一个典型的数学建模问题呀。

咱们设甲机器工作 x 小时，乙机器工作 y 小时，根据题目条件就能列出方程 10x ＋ 15y ＝ 100 。

然后再考虑实际情况，比如工作时间不能是负数，而且要找最小的工作时间，这不就有思路了嘛！从那以后，我算是明白了数学建模思维的厉害。

回到高考高等数学试题，这种思维方式更是大有用处。

比如说函数应用题，经常会给出一些实际场景，像销售利润啦、成本控制啦。

这时候，咱就得把题目中的文字信息转化成数学语言。

比如，销售价格和销售量之间有某种关系，那咱就设个函数来表示，然后通过求导、找最值这些手段来解决问题。

再比如几何问题，像求图形的面积、体积啥的。

咱可以先把图形的形状和条件搞清楚，建立一个合适的模型。

比如说一个圆锥体放在一个正方体里面，让求圆锥体体积的最大值，这就得考虑圆锥体和正方体的位置关系，找出约束条件，建立数学模型来求解。

还有概率统计的题目，也经常需要数学建模。

比如说调查一批产品的合格率，给出抽样的数据，让咱估计总体的合格率。

这时候就得想到用样本去估计总体的方法，建立相应的概率模型。

那怎么才能培养这种数学建模思维呢？首先，得多做练习题，见多识广嘛。

做完之后，别着急做下一道，好好总结一下，这道题是怎么从实际问题转化成数学模型的，用了哪些数学知识和方法。

其次，要学会观察生活中的数学现象。

高中数学的解析解析数学建模中的问题建立与求解步骤

高中数学的解析解析数学建模中的问题建立与求解步骤

高中数学的解析解析数学建模中的问题建立与求解步骤高中数学在解析数学建模中的问题建立与求解步骤解析数学建模是数学在实际问题中的应用，它通过数学建模、问题的分析和求解来解决实际问题。

在高中数学中，解析数学建模的学习也是十分重要的。

本文将介绍高中数学建模中的问题建立与求解步骤，帮助读者更好地理解和应用解析数学建模。

一、问题建立在解析数学建模中，问题的建立是首要的步骤。

通常，问题的建立有以下几个方面：1.问题的背景和目标：明确问题的来源背景和解决的目标，如建模的对象、系统或过程。

2.问题的假设与条件：列举问题的假设和所给条件，这些条件是建立模型的基础。

3.问题的变量与约束：确定问题中所涉及的变量和相互之间的约束关系。

4.问题的目标函数：明确问题的目标函数或优化准则，即问题需要达到的最优解或最佳状态。

通过以上步骤，可以将实际问题转化为数学建模问题，为求解提供一个明确的数学框架。

二、求解步骤在问题建立完成后，需要进行求解。

求解步骤可以分为以下几个环节：1.模型的数学描述：将建立的数学模型转化为数学表达式，利用数学符号和公式对问题进行描述。

2.选择求解方法：根据问题的特点和模型的形式，选择合适的数学求解方法，如方程求解、最优化、图形分析等。

3.求解与优化：根据模型和问题的要求进行求解和优化计算，得出解析解或数值解。

4.结果验证与分析：验证求解结果的合理性，进行结果分析和讨论，对结果进行解释和归纳。

通过以上步骤，可以得到问题的解析解或数值解，并进行相应的适用性分析和应用。

三、数学工具应用在高中数学中，解析数学建模的过程需要运用到多种数学工具和方法。

常用的数学工具包括：1.函数与方程：通过函数的解析式和方程的求解，描述问题的数学模型。

2.微积分：利用微积分的概念和方法，对问题进行分析、优化和求解。

3.概率与统计：运用概率论和统计学的知识，对问题进行随机性分析和数据处理。

4.线性代数：通过矩阵和线性方程组的运算，解决问题中的线性关系和线性优化。