古月家教学校提高班数学练习三
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古月家教学校提高班数学练习三
一、填空题（每题8分，共64分）
1、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AB、CD交于G点,∠AGD=60°，E、F
分别为CG、AB的中点，则EF的长为________________
2、△ABC的中线AD、BE交于G点，若△AEG的面积为5，则△ABC的面积为
__________________
3、已知抛物线2yxxa与x轴两个交点都在点（1，0）的左侧，则a的取值
范围是________
4、方程()()2xaxb（a＜b）的解为121212,(),xxxxabxx则、、、的大小关系
为__________（用＜号连接）
5、如图，DE∥BC，MN∥AB，FG∥AC，三个小三角形a，b，c的面积分别为4、9、
25，则△ABC的面积为__________________
6、若1110,0,0,aabababb且则___________________
7、a、b、c、d均为实数，且abcd︱a︳︱b︳︱c︳︱d︳______________________
8、抛物线2(2)21yxmxm都经过一个定点，则这个点的坐标是_________
二、选择题（24分）
9、已知224310,1xxxx则( ) A、15 B、17 C、19 D、110
10、设a＞0＞b＞c，且a+b+c=1，,,bcacabMNPabc，则M、N、P
的大小关系为（ ）
A、M＞N＞P，B、N＞P＞M，C、P＞M＞N，D、M＞P＞N
11、
如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角
线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速
平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度
为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大
致图象是（ ）
题1图
G
E
F
D
C
B
A
题2图
G
E
D
C
B
A
题5图
N
F
P
M
G
D
E
B
C
A
c
b
a
D
C
B
A
y
tyt
y
t
t
yFEA
D
C
B
三、解答题
12、某企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另
一种是通过企业的自身设备进行处理。某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂
处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行。
1至6月，该企业向污水厂输送的污水量1y（吨）与月份x(61x，且x取整数）之间
满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量2y（吨）与月份x(127x，且x取整数）之间满
足二次函数关系式为)0(22acaxy。其图象如图所示。1至6月，污水厂处理每吨污
水的费用：1z（元）与月份x之间满足函数关系式：xz211，该企业自身处理每吨污水
的费用：2z（元）与月份x之间满足函数关系式：2212143xxz；7至12月，污水厂
处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．(l）请观察题
中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出
21
，y
y
与x之间的函数关系式；
(2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
(3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部
自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨
污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30)%，为鼓励节能降耗，减轻企业负
担，财政对企业处理污水的费用进行50％的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000
元，请计算出a的整数值．(参考数据：4.288095.204192.15231，，)
13、探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，
求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将ABCRt沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且
∠EAF=21∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
E
F
D
C
B
A
（第13题）②
(1)
2
3
1
G
F
E
D
C
B
A
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足DABEAF21,试
猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
14、阅读下面内容：
一般地，如果对于自变量的某个范围内上的任意两个变量12,xx，当12xx 时，
有12()()fxfx，那么就说函数()fx在这个范围内是增函数。例如，函数
2
()fxx
，自变量x的范围是一切实数，在0＜x范围内，任取两个变量12,xx，
得到221122()=,()fxxfxx，当12xx时，有12()()fxfx。这时我们就说函数
2
()fxx
在0＜x范围内是增函数。请完成下面的问题：
（1） 已知函数
2
()68,(1),fxxxxa
并且()fx的最小值()fa,则实数a的取
值范围是___________________
（2） 已知函数()fx在0＜x范围内是增函数，对于一切x，y(x＞0，y＞0)，都
有()()()xffxfyy
(a) 求(1)f的值；
（b）若
1
(6)=1(3)()23ffxf，解不等式
E
F
D
C
B
A
（第13题）③
