一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2
+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2
+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2
-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根； Δ＜0 <=> 无实根； Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系： 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式： .a
c
x x a
b
x x )2(a 2ac 4b b x )
1(212122
,1=
-=+-±-=，
； ※ 5．当ax 2
+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：
(以下等价关系要求会用公式 a
c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2
-4ac 分析，不要求背记)
（1）两根互为相反数 ⇔ a b
-= 0且Δ≥0 ⇔ b = 0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数 ⇔ a c
=1且Δ≥0 ⇔ a = c 且Δ≥0；
（3）只有一个零根 ⇔ a
c = 0且a b
-≠0 ⇔ c = 0且b ≠0；
（4）有两个零根 ⇔ a c = 0且a b
-= 0 ⇔ c = 0且b=0；
（5）至少有一个零根 ⇔ a
c
=0 ⇔ c=0；
（6）两根异号 ⇔ a
c
＜0 ⇔ a 、c 异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值⇔ a
c ＜0且a b
-＞0⇔ a 、c 异号且a 、b 异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值⇔ a
c ＜0且a b
-＜0⇔ a 、c 异号且a 、b 同号；
（9）有两个正根 ⇔ a
c ＞0，a b
-＞0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；
（10）有两个负根 ⇔ a c ＞0，a b
-＜0且Δ≥0 ⇔ a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数围不能分解.
ax 2
+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
----⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22. 7．求一元二次方程的公式：
x 2
-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数. 8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2
.
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 9．分式方程的解法： .
0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母
两边同乘最简
去分母法.0.
2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，
换元法
）（
10. 二元二次方程组的解法：
.0)3(0
)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0
)2)(1()3(;
02;1⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩
⎨
⎧===------分组为应注意：的方程）（）
（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（
※11．几个常见转化：
；
；
或；；；⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+
-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1
x (x
1
x 2)x 1x (x
1
x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212
12
21221212
122122121222
2
2
2
21221221212212221
⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-=-⇒=-4x x .22
x x 2x x .12x x )
2(2
2121212
1）两边平方为（和分类为 ； ⎪⎩
⎪⎨⎧
-==⇒==.
,)2(34x x 34x x )1()916x x (3
4
x x )
3(21212221
21因为增加次数两边平方一般不用和分类为
或 ；
.
0x ,0x :.
1x x B sin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,
A sin x )4(21222
12221>>=+==+︒=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如
