高考数学数列创新题的基本类型分析

高三数学 二轮复习 数列创新题型在高考数学中，创新题是一类非常重要的题型，并且经常作为压轴题出现在选择、填空、甚至解答的最后一题，让很多同学望而生畏： 短时间内不仅要学会一个新知识或性质，还需要利用它来解决问题。

常常感觉到无从下手。

高考数学中的创新题具有情景新颖，内涵深刻，负有一定的创造性，这类题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“应用”为目的，旨在考查学生对数学问题的观察、理解、探究、概括、类比、归纳等诸多方面的综合能力。

可以形象地概括为“现学现卖”，如何处理好高考中的创新题？是数学学习和应用能力等综合素质的集中体现。

这一讲我们主要来看一下数列中的部分创新题。

实际上这一类题型呢也有它们自身的特点和规律，要做好这一类题型，首先要提高“眼力”：善于观察和总结新知识本身的特点和性质，要与已掌握相关知识点联系。

要敢于大胆尝试和猜测归纳。

先来看一个小问题热热身：杰克正看着安妮，而安妮正看着乔治。

杰克已婚，乔治未婚。

请问是否有一位已婚人士正在看着一位未婚人士？A 、是B 、不是C 、无法确定 你知道哪个选项正确吗？为什么？题干中没有给出我们明确的答案，但题目中又又蕴含着正确答案，需要我们主动去探究，去发现。

这就是创新题的特点。

一、创新定义型解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。

例：已知数列)}({*N n a n ∈满足：)()2(log *1N n n a n n∈+=+，定义使12...k a a a ⋅⋅⋅为整数的数*()k k N ∈叫做期盼数，则区间[1,2015]内的所有期盼数的和M = 。

对于一个有限数列()12n P P P P =L ，，，，P 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为()121n S S S n+++L ，其中()121k k S P P P k n =+++≤≤L ，若一个99项的数列()1299P P P L ，，，的蔡查罗和为1000，那么100项数列()12991P P P L ，，，，的蔡查罗和为（ ）A ．991对于各项均为整数的数列{}n a ，如果(1,2,3,)i a i i +=⋅⋅⋅为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”，如果数列{}n a 不具有“P 性质”，只要存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b ⋅⋅⋅是123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3， ，11,12； ③数列{}n a 的前n 项和为2(1)3n n S n =-. 其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有( ) A ．③ B ．①③ C ．①② D ．①②③如果有穷数列123,,,,m a a a a L （m 为正整数）满足1m a a =，21m a a -=，…，1m a a =．即1i m i a a -+=（1,2,,i m =L ），我们称其为“对称数列”．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．设{}n b 是项数为2m （1m >，*m N ∈）的“对称数列”，并使得2311,2,2,2,,2m -L 依次为该数列中连续的前m 项，则数列{}n b 的前2010项和2010S 可以是：（1）201021-；（2）100622-；（3）122010221m m +---． 其中正确命题的序号是__________________．若数列{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}()n a *是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *∈，2nan =，则5()a *= ，(())n a **= ．二、性质探求型例：把数列{}12+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43）…则第104个括号内各数之和为B.2048例：已知数列{a n }满足a n+1=a n –a n –1（n ≥2），a 1=a ，a 2=b ，记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ，则下列结论正确的是A ．a 2008= – a ，S 2008=2b – aB ．a 2008= – b ，S 2008=2b – aC ．a 2008= – b ，S 2008=b – aD ．a 2008= – a ，S 2008=b – a已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于1,2,3,n =L ，有1135,,2n n n n n n k a a a a a k a +++⎧⎪=⎨⎪⎩奇偶，，其中使奇的正整，为数为数为为数数当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当m n >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为________．在数列{}n a 中，*n ∈N ，若211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： ①k 不可能为0②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④定义：在数列{}n a 中，若22*1,(2,,)n n a a p n n N p --=≥∈为常数，则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断：①若{}n a 是“等方差数列”，则数列1na 是等差数列；②{(2)}n-是“等方差数列”；③若{}n a 是“等方差数列”，则数列*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是“等方差数列”； ④若{}n a 既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中正确的命题为 ．（写出所有正确命题的序号）4.在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 ．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，现给出以下命题： ①若34a =，则m 可以取3个不同的值②若m ={}n a 是周期为3的数列③T ∀∈*N 且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列④Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列.其中所有真命题的序号是 .我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）． 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）． 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+． 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ．3．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是（ ） ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列； ④当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③三、规律发现型将自然数不清，2，3，4……排成数陈（如右图），在2处转第一个弯，在3转第二个弯，在5转第三个弯，….，则第2005个转弯处的数为____________。

＝
同， 但文科 试题 与理 科 试题 相 比， 度 有 所 降低． 难 可见
２１ ０ ０年湖南 数学命题充分考虑文科 、 理科考生在数学思 维 方面的水平 的整体性差异 ， 对数 学学 习层 次的考查也
有 很 多 的不 同． ２ 类 比归 纳 型 创 新题
，
（ 口） ＝ （ ）
（ ） ０． ， 是 Ｅ的第— １ ｛ ．， ｝ ａ
（） ２ Ｅ的第 ２ １ １ 个子集 是…
解 （ ） 为 后Biblioteka ２。 ２ １因 ＝ 。＋ ．
５ 所 以 ｛ ． ｎ ｝ Ｅ的 ， Ⅱ ， 是
第 ５个子集 ；
（） ２ 因为 ２ １ ０ ２ ＋ ２ ＋ ＝ ＋ 。 ２ 一＋ ｌ ＝２ ＋ ２ ＋ ２ ２ ２ ＿＋ 。 ２ 一
其 中表 ｎ ｎ ， ，， 有 ｎ行 ， （ ＝１２ ３ …） 第一行的 ｉ个数是 ｒ ｔ ． １３ ５ …，ｎ １从第二行起 ， ， ，， ２ ～ ， 每行 中的每个数都等 于它
肩 上 的 两数 之 和．
猜想 （ ｎ ） ’ ｎ． （ ） ＝ 点评 此题属 于新定义 型试题 ， 通过定义 一个新数
（ ｌ ‘ ３ （ １ ： ，０２ ＝ ，口３ ＝ ， ａ ） ＝ ， ０ｉ ０ ） ３ （ｉ ） ３ （ ｌ ３ ） （ Ｉ ： ，Ⅱ５ ‘ ３ （ ｌ ＝ ； 口 ） ３ （ ｌ ＝ ，ｎ６ ） ） ３ 所 以 （ ｏ ） ’ ， （ ） ＝４ （ ５ ） ：９ （ ） ：１ （ ｎ ） ， （ ， ） ， （ ０ ） ＝１ ， （ ） ６
．
例 ３ （ ＯＯ年 湖南文 ２ ） 出下面 的数字序列 ２Ｌ ０给
表１
１
解
：
因为 ｎ ＜ ， ５ 而 ＝ 所 以 ｍ：１２ 所 以 （ ） ｎ， ，．

高考数学题型分析之数列题型解题方法题型归纳高考数学题型分析之数列题型解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。

3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。

数列综合题的常见类型 与方法解析湖南省 黄爱民 高明生数列与其它数学知识的综合性问题一直是高考的热点，数列综合题一般是以数列与函数、数列与不等式，数列与解析几何为主，全面考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想以及分析和解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性。

下举例谈谈数列综合题的常见类型及方法解析。

一、 等差、等比数列的综合问题例1、已知数列{}n a 中，651=a ，且对任意正整数n 都有112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ．数列{}n b 对任意自然数n 都有n n n a a b 211-=+．（Ⅰ）求证数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，求n n S ∞→lim 的值．分析： 已知条件中，数列{}n a 的通项公式是通过相邻两项之间的关系给出的，而数列{}n b 的通项公式则是通过数列{}n a 给出．因此，解答本题自然有两种思路：一是从数列{}n b 入手，这就应该通过代数变形，致力于证明nn b b 1+为定值；二是从数列{}n a 的通项公式入手．如何求出数列{}n a 的通项公式呢？由于已知条件112131++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a 与等比数列很相似，结合上下文，则可以考虑设法构造出一个与n a 及n⎪⎭⎫⎝⎛21有关的新的等比数列．解法1：（1）∵ 112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，∴ 11112133213++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a a a ．∴ 一方面，n n n a a b 211-=+n n n a a 2121311-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，另一方面，n b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅--⎪⎭⎫⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++12111161213213361216121n n n n n n n a a a ，∴3161213612112121=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n n n n nn a a b b ． 又916561416121121=⋅-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b ，∴ 数列{}n b 是以911=b 为首项，以31为公比的等比数列．（2）由（1）可知：11313191+-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n b ，又n b n n a 61211-⎪⎭⎫⎝⎛=+，∴ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++11131216216n n n n n b a ，N n ∈．（3）231131211216lim 22=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→n n S ．解法2：设数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n r a 21为等比数列，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++nn n n r a s r a 212111，对照112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a ，不难解得：3=r ，31=s ．∴ 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-n n a 213是以322131-=⋅-a 为首项，以31为公比的等比数列．∴n n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--31231322131．∴ nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=312213．∴n n n a a b 211-=+=1113131221321312213+++⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n ．∴ n S ∑∑∑∑====⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n k k n k k nk k k n k k a 1111312213312213．∴ 23113221123lim =---=∞→n n S ． 评析：解法1是按照题目设问由易到难的顺序，思路自然顺畅；解法2虽不失为巧思妙解，但其思路的获得一方面源于对112131++⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a 的认识，另一方面，题目的设问也给了我们一定的提示．二、 数列与函数综合问题例2、函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x()()=22且f ()11=，在每个区间(,]12121i i -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分。