用向量方法解立体几何的的题目
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用向量方法求空间角和距离
前言：
在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、
证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点•向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.
1. 求空间角问题
空间的角主要有：异面直线所成的角；
直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角.
(1)求异面直线所成的角
亦 设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,
则两异面直线所成的角:-=arccos| |
|a||b|
(3)求二面角
(2)求线面角
设丨是斜线丨的方向向量，n是平面〉的法向量,
则斜线丨与平面〉所成的角〉=arcsin| 1丨11 nJ 方法一：在:•内 a —丨，在［内b- l，其方向如图，则二
平面角〉=arcco
〉-丨- 1的两个半平面的法向量，其方向
一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角 方法二：设厲川2,是二面面角--1 - ■
|a||b|
:=arcco
□ 11比
2. 求空间距离问题
构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求.
(1)求点面距离
方法一：设n是平面〉的法向量，在:-内取一点B,则A到
方法二：设A0 _ :•于O,利用AO _〉和点0在〉内 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0|.
方法一：找平面0使bu B且aL 0，则异面直线a、b的距离就 方法二：在a上取一点A,在b上
取一点B,设a、b分别为异面直
nib)，则异面直线a、b的距离
例1.如图，在棱长为2的正方体 ABCD-ABQiU中，E、F分别是
棱ASAB的中点.
(I)求异面直线DE与FC,所成的角；
(II，求BG和面EFBD所成的角; 的距离 d =| AB ||
|n| a
||cos)|
= d 1 (此方法
|n| 移植于点面距离的求法) 'L
转化为直线a到平面：的距离，又转化为点A到平面：的距离.
DELFG (III，求R到面EFBD勺距离
|DE|L|FCI | I
' L 记异面直线DE与 FCi所成的角为
丄
则:•等于向量DE与FC的夹角或其补角， COS：珂 I
阿1
解：(I)-
](DDi + D1E)LCFB1 + BiCi)
I DE [j FC| 精彩文档 - 2 2 2
=arccos—
记BG和面EFBD所成的角为二
则 sin ： =|cosBCl,n |=| BCI J | -
|BG|| n| 2
-BG和面EFBD所成的角为—•
4
(III )点B到面EFBD的距离d等于
向量BB,在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，
d二卸」
丨n| 3
点评：
1. 作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体一正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.
2. 解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方 法恐怕很难(不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求)•
3. 完成这3道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证 明平行、垂直(是前者的特殊情况)，都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程 序化，不需技巧.
例2.如图，三棱柱中，已知 A BCD是边长为1的正方形，四边形
AA B B是矩形，平面AA B B —平面ABCD。
(I)若AA丄1，求直线AB到面DAC的距离. (II )如图建立空间坐标系D — xyz ,
忒(1,0,2), DB 二(2,2,0)
设面EFBD的法向量为J =(x, y,1)
o O - -
得 ^(-2,2,1) 又BG =(-2,0,2) DB (II )试问：当AA的长度为多少时，二面角
D - AC - A的大小为60 ?
解：(I)如图建立空间坐标系 A —xyz ,
得 口 = (a,0,1)
直线AB到面DAC的距离d就等于点A到面 DAC的距离,
也等于向量AD在面DAC的法向量上的投影的绝对值,
(II )易得面AAC的法向量屯=(-1,1,0)
■向量口也的夹角为60”
• T T T _
由 cos ni, n2 "^n2 -_ - = ~ 得 a = 1
| ni ||n2 | Ja +1 2
当AA =1时，二面角D-AC-A的大小为60 .
点评：1 •通过(I),复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投 影的绝对值的解题思路与方法.
2 •通过(II ),复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么 这两个角相等或互补，就没有其他情况.
例3.正三棱柱ABC-ABG的所有棱长均为2,P是侧棱
AA上任意一点.
(I)求证： 直线BP不可能与平面ACGA垂直； DA =(-1,0,a) DC =(0,1,0)
设面DAC的法向量为m =(x, y,1) ' 茁 DA 0=0 则 1 j
DC n = 0
-a (II )当BG — B1P时，求二面角C-RP-G的大小.
7C >y 证明：（I）如图建立空间坐标系 O 一 xyz，设AP二a
则 ACRP 的坐标分别为(0, -1,0),(0,1,0),( .3,0,2)(0, -1,a) .AC =(0,2,0), B1"P=( —、.3,—1,a—2)
AC[BP-_2=0 , . B,P不垂直 AC
.•”直线BP不可能与平面ACGA垂直.
(II ) BCl=(- 3l,2)，由 BCi_Bf，得 BC^LBIP
即 2 2(a -2) =0 . a =1
又 BG _ B1C BG _ 面CB1P
二 BG =（-73,1,2）是面CBP的法向量
"T 4 B1P n =0 设面GBP的法向量为n =（1,y,z），由 一 j B1C1 n = 0
得n= （1,船,-2妁,设二面角C - Bf - G的大小为口
-二面角C -BF -G的大小为arccos —
4
点评：1 •前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题x、z轴需要自己添加（也可不 这样建立）.
2 •第（1）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直 线与这个面的法向量不平行.
例4 （安徽卷） 如图，在四棱锥 O-ABCD中，底面 ABCD四边长为 1的菱形，• ABC ,
4
OA —底面ABCD, OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点
（I）证明：直线 MN ||平面OCD ;
（n）求异面直线 AB与MD所成角的大小;
（川）求点B到平面OCD的距离。 则 cos： -BC^rh—j
|BG IIn| 解：作AP _CD于点P如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x, y,z轴建立坐标系
A(0,0,0), B(1,0,0),P(0, j,0), D(— j, j,0),0(0,0,2), M(0,0,1),N(1— j 24°,
(i)MN=(1—22—1),O?=(0,2—2),OD 十辽，辽
4 4 2 2 2
设平面OCD的法向量为n = (x, y,z),则 )=0
、、2
y_2z =0
即2 - _
-^x ^y _2z = 0
2 2 取 z 二、2,解得 n =(0,4, J2)
••• =(1 2,辽，-1)_(0,4, 2) =0
4 4
.MN || 平面 OCD
(2)设AB与MD所成的角为.,「益(1,0,0),MD十迈辽-1)
2 2
ABL
AB {MD|
1 ..
=丄• , AB与MD所成角的大小为
2 3 3
⑶设点B到平面OCD 的距离为d ,则d为OB在向量n二(0,4八2)上的投影的绝对值，
T
OB n
n
二2 •所以点B到平面OCD的距离为-
3 3
例5 (福建？理？ 18题)如图，正三棱柱 ABC — A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1中点。
(I)求证：AB1丄面A1BD ；
(n)求二面角 A — AQ — B的大小；
(川)求点C到平面A1BD的距离；
解：(I)取BC中点O，连结AO . ；△ ABC为正三角形，.AO丄BC .
［在正三棱柱 ABC-ABQ!中，平面ABC丄平面BCGB , - AD丄平面BCGB!.
取BG中点01，以O为原点，OB , OQ , OA的方向为x,
则 B(1,0,0) , D(-1,1,0) , A(0,2, 3), A(0,0八 3), R(1,2,0), O
M
D
N C P y A
COST =
由 OB =(1,0, —2),得 d =
（n）设平面AAD的法向量为n= （x, y, z）.
令z =1得n = （-、一3,0,1）为平面RAD的一个法向量.
由（I）知 ABi丄平面ABD，二AB!为平面A|BD的法向量.
cos ：： n,忌=nLd
总结：通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式: 解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的
（例2）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技 巧性和随机性.向量法可操作性强 ------- 运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何
教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具.充分体现出新教材新思想、新方法 的优越性.这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容， 数形结合,
在这里得到淋漓尽致地体现. AB1 =(!,, .3), BD =(-21,, 灵=(-1,2,
3)
-2 2 0 =0, 7B莎一1 4 一3 = 0
,
BD , AB1 丄 BA*. AR丄平面A|BD .
AD -、.3), AA| = (0,2,0).
n 丄 AD , n 丄 AA
,
-二面角A-AjD-B的大小为
（川）由（n）,
•点C到平面A1BD的距离d = arccos——.
4
ABj为平面 ABD 法向量，：BC =(-2,0,0,為=(1,2,-3)
BC砧 |一2亠
2.2 2 . AB,丄
=0, -x y -、；3z 二
0,
02y = 0,
AB1
=|a||b|cos )
