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2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题

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(C) C, E (D) E, F 2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题

（2006 年 3 月 12 日 上午 9: 00— 11: 00）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分•以下每小题均给出了代号为 A, B, C, D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不

填、多填或错填均得零分）

(6 , 3 ) cm (D) ( 3 .. 3 ) cm (第 2 题)

将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段, 使它们构成一个三角形的三边，则不同的

截法有（

所对应的函数表达式是（

成一套教材的概率是（

10次移动的过程中，棋子不可能停到的顶点是（ 1. 要使方程组;;；y 2,的解是一对异号的数，则a的取值范围是（

4

(A) v av 3 3 4 (B) av 4 3 4

(C) a>3 (D) av ，或 a>3

3

一块含30°角的直角三角板（如图） ，它的斜边 AB=8cm,里面空心

△ DEF勺各边与△ ABC的对应边平行, 且各对应边的距离都是

那么△ DEF的周长是（

） 1 cm, ) A

(A) 5 cm (B) 6 cm (C)

(A) 5 种 (B) 6 (C) 7 种 (D) 8

作抛物线A关于x轴对称的抛物线B,再将抛物线 B向左平移 2个单位，向上

平移1个单位，得到的抛物线 C的函数解析式是 y 2(x 1)2 1，则抛物线A

5. (A) y 2(x 3)2 2

(C) y 2(x 1)2 2 (D) (B) y 2(x 3)2 2

2(x 1)2 2

书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册, 在这四册教材中随机抽取两册，恰好组

6. 2 (A) 2 (B) 3 (C) (D)

如图，一枚棋子放在七边形 ABCDEF的 顶点 A处，现顺时针

方向移动这枚棋子 10次, 移动规则是：第 k次依次移动k

个顶点.如第一次移动 1个顶点，棋子停在顶点 B处，第二

次移动2个顶点，棋子停在顶点 D处.依这样的规则，在这

(A) C E, F (B) C, E, G B 7•一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）中，若a, b都是偶数，c是奇数，则 这个方程（ ）

（A）有整数根（B） 没有整数根 （C） 没有有理数根（D）没有实数根

&如图所示的阴影部分由方格纸上 3个小方格组成，我们称这样的

图案为L形，那么在由4X5个小方格组成的方格纸上可以画出不 同位置的L形图案个数是（ ）

（A） 16 （B） 32 （C） 48 （D） 64

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9 .已知直角三角形的两直角边长分别为 3 cm和4 cm，那么以两直角边为直径的两圆公共

弦的长为 ___________________ cm.

10•将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个 数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的 中位数•现有一组数据共有 100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这

组数据的中位数和平均数都不在这 100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占

这100个数据的百分比是 _______________________ .

11. △ ABC中, a, b, c 分别是/ A Z B、/ C的对边.已知 a= - 10 , b= 3 2 , c= •• 3 . 2 ,

贝H bsin Bresin C 的值等于 ____________________ .

12.设直线y kx k 1和直线y （k 1）x k（k是正整数）及x轴围成的三角形面积为 Sk,

贝V S1 S2 S3 L S2006 的值是 ________________________

13.如图，正方形 ABCD口正方形CGEF勺边长分别是2和

3,且点B, C, G在同一直线上，M是线段AE的中点，

连结MF,贝H MF勺长为 ______________ .

14•边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为

1 : 2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最

小的三角形的面积是 ______________________ .

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）

15.已知a, b, c都是整数，且a 2b 4 ,

2

ab c 1 0，求 a b c 的值.

16•做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出 A, B两

种款式的服装合计 30件，并且每售出一件 A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别

为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为 27元和36元.某日王老板进货 A款式服装35 件，B款式服装25件.怎样分配给每个店铺各 30件服装，使得在保证乙店铺获毛利润 不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少?

17 .如图所示，O O沿着凸n边形A A2 A3…A-iA的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动一周 回到原来的位置.

(1) 当OO和凸n边形的周长相等时，证明O O自身转动了两圈.

(2) 当OO的周长是a,凸n边形的周长是b时，请写出此时O O自身转动的圈数.

18 .已知二次函数 y x2 2(m 1)x m 1 .

(1) 随着m的变化，该二次函数图象的顶点 P是否都在某条抛物线上？如果是，请求

出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由.

(2) 如果直线y x 1经过二次函数y x2 2(m 1)x m 1图象的顶点P,求此时m 的值.

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余杭区2006年“假日杯”初中数学竞赛试卷(含答案)-

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余杭区2006年“假日杯”初中数学竞赛试卷

（2006年11月25日 上午9∶00—10∶30）

题次 一 二 三 总分 1～8 9～14 15 16 17 18

得分

一、选择题 （共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1. 以下三个结论：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数，其中正确的结论是（ ）

(A) ①和② (B) ①和③ (C) ②和③

(D) 只有③

2． 如图所示，直线//ab，则∠A等于（ ）

(A) 20º (B) 21º

(C) 22º (D) 23º

3. 从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）

(A) 41 (B) 31 (C) 21 (D) 1

4． 一个几何体的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的俯视图不可能．．．是（

）

5． 如图，已知每个小方格的边长为1，A，B，C三点都在小方格的顶点上，则点C到AB所在直线的距离等于（ ）

(A) 810 (B) 108 (C) 10 (D)8 B A C

(第5题) 得 分

评卷人

b a A

B

C 44º 21º

(第2题)

(A) (B) (C) (D) (第4题) 主视图 左视图

(1) (2) (3)

(第6题) 6． 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“?”处应放“■”的个数为（ ）

(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2

7． 如图是一个立方体的表面展开图，已知立方体相对两个面上的数值相同，则“★”面上的数为（ ）

2006浙江高中数学竞赛试题

2006浙江高中数学竞赛试题

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

一、选择题

1、下列三数16273,log82,log1242的大小关系正确的是 （ ）

A、16273log82log1242 B、27163log124log822

C、27163log124log822 D、27163log124log822

2、已知两点A（1,2），B（3,1）到直线L距离分别是2，52，则满足条件的直线L共有（ ）

A、1条 B、2条 C、 3条 D、 4条

3、设()fn为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

22212312314f。记1()()fnfn，1()(())kkfnffn，1,2,3...k，则2006(2006)f（ ）

A、20 B、4 C、42 D、145

4、设在xOy平面上，20yx，01x所围成图形的面积为13，则集合

2(,)|||||1,(,)|||1MxyyxNxyyx的交集MN所表示的图形面积为（ ）

A、13 B、23 C、1 D、43

5、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。

A、2006 B、21003 C、210031003 D、210031002

6、函数sincostancotsincostancot()sintancostancoscotsincotxxxxxxxxfxxxxxxxxx在(,)2xo时的最小值为（ ）。

A、2 B、4 C、6 D、8

操作性问题的常用解法

操作性问题的常用解法

操作性问题的常用解法

陆洪良;缪利平

【摘 要】操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力．创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大．所谓操作性问题.

【期刊名称】《中学教研：数学版》

【年(卷),期】2008(000)006

【总页数】2页(P8-9)

【关键词】操作性问题;解法;数学竞赛;民族进步;实践能力;创新精神;创新能力;素质教育

【作 者】陆洪良;缪利平

【作者单位】嘉兴第一中学实验学校,浙江嘉兴314001;秀洲现代实验学校,浙江嘉兴314000

【正文语种】中 文

【中图分类】G633.6

操作性问题已经成为初中数学竞赛的一大特色，用来培养学生的创新精神与实践能力.创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，培养学生的创新能力、创造思维成了素质教育的一大任务，因而在近几年的各项竞赛以及升学考试中越来越体现出操作性问题的重要性，所占的比重也日趋增大.所谓操作性问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行.例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以2.这就是一次操作，是可以具体执行的.操作性问题往往是求连续进行某种操作后可能得到的结果.笔者认真研究了最近、最新的操作性问题的命题趋向，常用的解法有：试验法、讨论法以及利用不变性、周期性等.

1 试验法

试验法是解决操作性问题最常用的一种方法，通常根据操作规则，从简单情形出发，进行多次尝试，由局部变化的特征来考察研究的对象，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，解决问题.

图1

例1 如图1是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1.按下列规则进行“操作”：每次可以同时改变某一行或某一列的数字：1变成0，0变成1.问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1？

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用

阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍.

具体地说，就是:设AD是△ABC的中线，则)(22222BDADACAB。

证明 如图1,作BC边上的高AH。

由勾股定理，得222DHAHAD,222BHAHAB，222CHAHAC.

所以222222CHBHAHACAB.

由CDBD，可得)(2)()(222222DHBDDHBDDHBDCHBH。

所以)(2)(22222222BDADBDDHAHACAB。

该定理应用广泛，不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用。

1。直接使用

当题设条件中出现三角形的中线时，可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题。

例1 AD、BE、CF是△ABC的三条中线.若aBC，bCA,cAB,则222CFBEAD______。

（2005年山东省初中数学竞赛）

分析 AD、BE、CF是△ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算。

解 如图2， AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得

2222412BCADACAB。

代入已知数据,变形得2222412121abcAD。

同理2222412121bacBE，2222412121cbaCF.

故22222243cbaCFBEAD。

例2 如图3，△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并DCBEA图2FHABCD图1

且点G在点B和点H之间。已知HMBG，2AB,2BC.那么,当BC、CA为何值时,线段GH的长达到最大值？并求GH的最大值.

解 如图3,设⊙O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F。