回溯法课件

//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。

第 5 章 回溯
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。

O(h(n)!)内存空间。
子集树
排列树
递归回溯
回溯法
南京邮电大学 通信与信息工程学院
迭代回溯
课件制作：王金元
递归回溯
回溯法对解空间作深度优先搜oid backtrack (int t) {
递归深度>n，算法搜索 到叶结点，输出可行解x
h(i)表示当前扩 展结点处x(t)的
Jn … J2 J1
南京邮电大学 通信与信息工程学院
机器1
机器2
课件制作：王金元
例子
tji 作业1 作业2 作业3
机器1 2 3 2
机器2 1 1 3
以1,2,3为例: 作业1在机器1上完成的时间为2,
在机器2上完成的时间为3 作业2在机器1上完成的时间为5,
在机器2上完成的时间为6 作业3在机器1上完成的时间为7,
} 南京邮电大学 通信与信息工程学院
课件制作：王金元
5.6. 批处理作业调度
给定n个作业的集合{J1,J2,…,Jn}。每个作业必须先由机器 1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为 tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完 成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为 该作业调度的完成时间和。问题要求对于给定的n个作业， 制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。
解空间：排列树
void Flowshop::Backtrack(int i)
{ if (i > n) {
搜索到叶节点，更新最优值
for (int j = 1; j <= n; j++)
bestx[j] = x[j];
bestf = f; } else

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5.5 n皇后问题
对于n皇后问题,搜索树有1+n+n2+…+nn个结点。 1+n+n2+…+nn= (nn+1 -1)/(n-1) <= (nn+1)/(n/2) = 2nn(n>=2) 在每个结点处，要判断该位置的皇后是否与已经放置的皇后相 互攻击，最多要看3n个位置(沿列的方向、主与副对角线方向)是 否已有皇后，故n皇后问题的该算法最坏时间复杂度为 O(3n*2nn)=O(nn+1),这是个粗略的估计。
1个皇后所在的列，即仅有n-i+1个位置可供选择。令 S={1,2,…,n}，则xi∈S-{x1,x2,…,xi-1}。显然，满足显式约束的n 元组共有n!种，它构成n皇后问题的解空间。 排列树
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5.5 n皇后问题
n皇后问题的分析： • 解空间树 – 排列树。这里n=4。
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5.5 n皇后问题
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5.5 n皇后问题
n皇后问题的分析（二）：
✓ 问题解的形式：表示为n元组(x1, x2,…, xn)的形式，其中xi(i=1, 2,…, n)表示第i个皇后放置在第i行第xi列；
✓ 显式约束：n个皇后不同行且不同列； ✓ 隐式约束：n个皇后不在正反对角线上； ✓ 解空间：根据显式约束，第i(i=1,2,…,n)个皇后不能放置在前i-
if t > n then
OUTPUT(x);
else
for i 1 to n do
x[t] i;
//第t个皇后放到第i列，不去判断列是否冲突
if PLACE(t) then
BACKTRACK-NQUEEN1-REC(t+1);