[精品]2019届高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值课后作业理1(1)

课堂达标(五) 函数的单调性与最值[A 基础巩固练]1．(2018·北京东城期中)已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) [解析] 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减， ∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. [答案] A2．(2018·牡丹江月考)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 [解析] 由题设知，当x ＜1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又13＜12＜23＜1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23. [答案] B3．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析] 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，即a ≥1.[答案] C4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2，解得4≤a ＜8.[答案] B5．(2018·安徽省合肥八中第一次段考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0x ＋m ，x ≥0，以下说法正确的是( )A ．∀m ∈R ，函数f (x )在定义域上单调递增B ．∀m ∈R ，函数f (x )存在零点C ．∃m ∈R ，函数f (x )有最大值D ．∃m ∈R ，函数f (x )没有最小值[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0x ＋m ，x ≥0，当x ＜0时，函数y ＝e x 递增，当x ≥0时，y ＝x ＋m 递增， 但当e 0＞m ，即m ＜1，函数f (x )在R 上不单调，故A 错； 当m ＝1时，f (x )＝0无解，故B 错；当x ＜0时，函数f (x )∈(0,1)，当x ≥0时，f (x )≥m ，则f (x )取不到最大值，故C 错； 当m ＝1时，当x ＜0时，函数f (x )∈(0,1)，当x ≥0时，f (x )≥1，f (x )的值域为(0，＋∞)，取不到最小值，故D 对．[答案] D6．(2018·河南洛阳二模)设函数f (x )＝x |x －a |，若∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．(－∞，3]D ．(0,3][解析] 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0＜a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]． [答案] C7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________ .[解析] 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，函数的图象如图所示，其递减区间为[0,1)．[答案] [0,1) 8．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是 ________ .[解析] f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，其对称中心为(－2a ，a )．∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，a ≥1，⇒a ≥1.[答案] [1，＋∞)9．(2018·荆州质检)函数f (x )＝|x 3－3x 2－t |，x ∈[0,4]的最大值记为g (t )，当t 在实数范围内变化时，g (t )的最小值为 ________ .[解析] 令g (x )＝x 3－3x 2－t ，则g ′(x )＝3x 2－6x ，令g ′(x )≥0，则x ≤0或x ≥2，在[0,2]上g (x )为减函数，在[2,4]上g (x )为增函数，故f (x )的最大值g (t )＝max{|g (0)|，|g (2)|，|g (4)|}，又|g (0)|＝|t |，|g (2)|＝|4＋t |，|g (4)|＝|16－t |，在同一坐标系中分别作出它们的图象，由图象可知，当y ＝16－t (t ≤16)与y ＝4＋t (t ≥－4)的交点处，g (t )取得最小值，由16－t ＝4＋t ，得2t ＝12，t ＝16，∴g (t )min ＝10.[答案] 1010．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2， 则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.[B 能力提升练]1．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( ) A.12 B.34C ．1 D.23[解析] 由③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②， 令x ＝1，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12f (1)＝12.令x ＝13，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝14.由③结合f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝12，令x ＝23，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝14，因为19＜18＜29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝34.[答案] B2．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤k ，k ，fx ＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)[解析] 由f (x )＞12，得－1＜x ＜1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．[答案] C3．若函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝ ________ .[解析] 函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.[答案] 144．(2017·山东)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有性质M .下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为_____．①f (x )＝2－x②f (x )＝3－x③f (x )＝x 3④f (x )＝x 2＋2[解析] ①e x f (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x 在R 上单调递增，故f (x )＝2－x具有M 性质；②e x f (x )＝e x ·3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x 在R 上单调递减，故f (x )＝3－x不具有M 性质； ③e x f (x )＝e x ·x 3，令g (x )＝e x ·x 3， 则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x(x ＋2)， 当x ＞－2时，g ′(x )＞0， 当x ＜－2时，g ′(x )＜0，∴e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－2)上单调递减， 在(－2，＋∞)上单调递增， 故f (x )＝x 3不具有M 性质；④e x f (x )＝e x (x 2＋2)，令g (x )＝e x (x 2＋2)，则g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]＞0， ∴e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增， 故f (x )＝x 2＋2具有M 性质． [答案] ①④5．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b＞0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1＜x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，∴－32≤x ＜－1.－1≤1x －1≤1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2ma ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[C 尖子生专练]如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3][解析] 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f x x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．[答案] D。

课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.答案：C7．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A8．(2018·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A10．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a )B ．f (c )<f (a )<f (b )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C11．(2018·长沙统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫作函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.答案：D13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 15．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－616．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]B 组 能力提升练1．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53 C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞ 解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∵f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 答案：A2．(2018·陕西西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e ，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e 的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x ＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0， 若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件． 答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．(2018·重庆模拟)若函数f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g (x )＝x －1＋14；②p (x )＝1x ；③q (x )＝ln x ；④h (x )＝x 2.其中“和谐函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，需满足f (a )＝a 2，f (b )＝b2，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，需满足f (b )＝a 2，f (a )＝b2.①g (x )＝x －1＋14在[1，＋∞)上为增函数，则g (a )＝a 2，g (b )＝b 2，即a ，b 是函数g (x )＝x2的两个根，即x －1＋14＝x2，则x －1＝－14＋x2，作出函数y ＝x －1和y ＝－14＋x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．②p (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p (b )＝a 2，p (a )＝b2，即⎩⎨⎧1a ＝b 21b ＝a2，即ab ＝2，当a ＝12，b ＝4时，满足条件．③q (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，则q (a )＝a 2，q (b )＝b 2，即a ，b 是函数q (x )＝x2的两个根，即ln x ＝x 2，作出y ＝ln x 和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．④当x ≥0时，h (x )＝x 2为增函数，则h (a )＝a 2，h (b )＝b 2，即a ，b 是函数h (x )＝x2的两个根，作出y ＝x 2和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C.答案：C12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________． 解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2， 由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)， 所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1， 所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________． 解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－1226－6 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2＜2|a －1|＜2，则|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，3215．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝x x 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论： ①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是________．解析：对于①，∵函数f (x )＝x x 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确； 对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12，故②正确； 对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1， ∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.答案：3。

A．a＝－2 B．a＝2 C．a≤－2 D．a≥2 解析 二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1，由题意知 －a－3 1≥1，即 a≤－2.
4．[2018·信阳模拟]已知函数 f(x)是 R 上的增函数，对 实数 a，b，若 a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
)
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴ a>0.
∴g(x)＝fxx＝x＋ax－2a 在(0， a)上单调递减，在( a， ＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝3.
∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．
4．[2018·四川模拟]已知函数 f(x)＝a－|1x|. (1)求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范 围．
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选 A.
5．若函数 y＝f(x)在 R 上单调递增，且 f(m2＋1)>f(－m
＋1)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得 m2＋1>－m＋1，故 m2＋m>0，故 m<
为( )
A．(1，＋∞) C.12，＋∞

2019高考数学总练习课后强化功课-第二章第二节 函数的单调性与最值1.(文)(2017·大连模拟)以下函数在(0,1)上是减函数的是()A 、y ＝log 0.5(1－x )B 、y ＝x 0.5C 、y ＝0.51－xD 、y ＝12(1－x 2) [答案]D[解析]∵u ＝1－x 在(0,1)上为减函数，且u >0，∴y ＝log 0.5(1－x )为增函数，y ＝0.51－x 为增函数；又0.5>0，∴幂函数y ＝x 0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y ＝12(1－x 2)开口向下，对称轴x ＝0，故在(0,1)上为减函数、(理)(2017·广州模拟)以下函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是()A 、f (x )＝－x ＋1B 、f (x )＝x 2－1C 、f (x )＝2xD 、f (x )＝ln(－x ) [答案]C[解析]f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x 为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C.2、(2017·湖北理，2)U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，那么∁U P ＝()A 、[12，＋∞)B 、(0，12)C 、(0，＋∞)D 、(－∞，0]∪[12，＋∞) [答案]A[解析]∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)、3、(文)(2017·上海文，15)以下函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A 、y ＝x －2B 、y ＝x －1C 、y ＝x 2D 、y ＝x 13[答案]A[解析]y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13是奇函数、(理)(2017·课标全国文，3)以下函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A 、y ＝x 3B 、y ＝|x |＋1C 、y ＝－x 2＋1D 、y ＝2－|x |[答案]B[解析]A 项中y ＝x 3是奇函数而不是偶函数，C 项中y ＝－x 2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，D 项中y ＝2－|x |是偶函数但在(0，＋∞)上单调递减、4、(2017·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，那么() A 、a ＜b ＜c B 、a ＜c ＜bC 、b ＜c ＜aD 、b ＜a ＜c [答案]B[解析]∵log 132<log 131＝0，∴a <0；∵log 12 13>log 1212＝1，∴b >1；∵⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<1，∴0<c <1，应选B.5、(文)(2017·北京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1 x ≥01x x <0，假设f (a )>a ，那么实数a 的取值范围是()A 、(－∞，－3)B 、(－∞，－1)C 、(1，＋∞)D 、(0,1) [答案]B[解析]f (a )>a 化为⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥023a －1>a或⎩⎪⎨⎪⎧a <01a >a，∴a <－1.(理)(2017·衡水模拟)偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，那么满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是()A 、(13，23)B 、[13，23)C 、(12，23)D 、[12，23) [答案]A[解析]当2x －1≥0，即x ≥12时，由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，那么由f (2x －1)<f (13)得2x －1<13，即x <23，故12≤x <23；当2x －1<0，即x <12时， 由于函数f (x )是偶函数，故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0，由f (2x －1)<f (13)得1－2x <13，即x >13，故13<x <12.综上可知x 的取值范围是(13，23)、[点评](1)由于f (x )为偶函数，∴f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)、(2)可借助图形分析 作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔－13<2x －1<13，即13<x <23.应选A.6、(2017·青岛模拟)函数f (x )＝a x＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，那么a 的值为()A.12B.14 C 、2 D 、4 [答案]C[解析]f (x )在[1,2]上是单调函数，由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∵a >0，∴a ＝2.7、(文)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，那么实数a 的取值范围是________、[答案][－14，0][解析](1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.(理)假设函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，那么a 的取值范围是________、[答案](0,1][解析]由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]、8、(文)f (x )＝x ln x 的单调递减区间是________、[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e[解析]f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )<0得x <1e ，∴0<x <1e ，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减、(理)假设函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，那么实数a 的取值范围是________、[答案]a ≤－4[解析]∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立，∵g (x )的对称轴x ＝－12，x ∈(0,1)， ∴g (1)≤0，即a ≤－4.9、(2017·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________、[答案](－12，＋∞)[解析]∵2x ＋1>0，∴x >－12.所求单调增区间为(－12，＋∞)、10、(文)f (x )＝xx －a (x ≠a )、(1)假设a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)假设a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围、 [解析](1)证明：设x 1<x 2<－2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增、 (2)解：设1<x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a . ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.[点评]第(2)问中，由f (x )单调递减知x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)>0恒成立，从而(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，由于a >0，x 1>1，x 2>1，故只有当0<a ≤1时才满足、(理)函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)假设f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. [解析](1)证明：任取x 1、x 2∈R 且x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0. ∴f (x 2－x 1)>1.∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数、(2)解：f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴f (3m 2－m －2)<3化为f (3m 2－m －2)<f (2)、 又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43.11.(文)(2017·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，那么() A 、f (3)<f (－2)<f (1) B 、f (1)<f (－2)<f (3) C 、f (－2)<f (1)<f (3) D 、f (3)<f (1)<f (－2) [答案]A[解析]由题意f (x )在[0，＋∞)上为减函数， ∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )为偶函数，∴f (－2)＝f (2)，应选A.(理)(2017·山东聊城一中期末)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，那么有()A 、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B 、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C 、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D 、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 [答案]B[解析]∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∵13<12<23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，应选B.12、(2017·西安模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，那么函数g (x )的递减区间是()A 、(0,1)B 、(1，＋∞)C 、(－∞，0)D 、(0，＋∞) [答案]A[解析]依题意得，g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >10，x ＝1－x 2，x <1，所以g (x )的递减区间为(0,1)、13、(文)(2017·抚顺模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >14－a2x ＋2 x ≤1是R 上的单调递增函数，那么实数a的取值范围为()A 、(1，＋∞)B 、[4,8)C 、(4,8)D 、(1,8) [答案]B[解析]由y ＝a x(x >1)单调增知a >1；由y ＝(4－a2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a2>0，∴a <8； 又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a2)＋2，∴a ≥4，综上知，4≤a <8.[点评]可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4xx >12x ＋2x ≤1，在R 上单调递增，排除C ，应选B.(理)(2017·北京学普教育中心)假设函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，那么实数k 的取值范围是()A 、[1，＋∞)B 、[1，32)C 、[1,2)D 、[32，2) [答案]B[解析]因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.据题意，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k <32，选B.14、(2017·天津四校联考)函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，那么实数a 的值为________、[答案]－2[解析]当－a2≤0，即a ≥0时，函数f (x )在[0,3]上为增函数， 此时，f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去；当－a2≥3，即a ≤－6时，函数f (x )在[0,3]上为减函数， 此时，f (x )min ＝f (3)＝－2，可得a ＝－103，这与a ≤－6矛盾；当0<－a 2<3，即－6<a <0时，f (x )min ＝f (－a2)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意、15、(文)(2017·北京市东城区)函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围、[解析](1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}、(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数、(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}、(理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x x >0－f x x <0.(1)假设f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0.[解析](1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b . 又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0，即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .②又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3.从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋12x >03x ＋12 x <0.(2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1， 得k ≤－12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0.因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号、 假设m >0，那么n <0.那么F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 假设m <0，那么n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.*16.f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，a ∈R. (1)假设a ＝1，求f (x )的极小值；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3.[解析](1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增、 ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈[0，e ]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，①当a ≤0时，f (x )在(0，e ]上单调递增，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3；②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3.综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时，f (x )有最小值为3.1、(2017·上海理，16)以下函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A 、y ＝ln 1|x | B 、y ＝x 3C 、y ＝2|x |D 、y ＝cos x[答案]A[解析]排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，应选A.2、函数f (x )＝x －3x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，那么a 的取值范围是()A 、(－∞，1)B 、(1，＋∞)C 、(－∞，3)D 、(3，＋∞)[答案]D[解析]f (x )在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2<－1，且－a －1<0，∴a >3.3、假设f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，那么a 的取值范围是()A 、(－∞，0]B 、[－2,2]C 、{2}D 、[2，＋∞)[答案]C[解析]f ′(x )＝3x 2－6a ，假设a ≤0，那么f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；假设a >0，那么由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分、4、(2017·海南华侨中学期末)函数f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，那么实数m的取值范围是()A、(－∞，1)B、(－∞，1]C、(－∞，12] D、(－∞，12)[答案]C[解析]∵f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间(0,1)上恒为增函数，∴f(x)＝ln(x＋1)－mx在区间[0,1]上恒为增函数，∴f′(x)＝1x＋1－m≥0在[0,1]上恒成立，∴m≤(1x＋1)min＝12.5、定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，假设f(1 3)＝0，那么适合不等式f(log127x)>0的x的取值范围是()A、(3，＋∞)B、(0，1 3)C、(0，＋∞)D、(0，13)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]∵定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(13)＝0，那么由f(log127x)>0，得|log127x|>13，即log127x>13或log127x<－13.选D.6、(2017·南充市)函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，那么a、b、c的大小关系是()A、a>b>cB、a>c>bC、b>c>aD、c>b>a[答案]D[解析]∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减、由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .7、(2017·四川一模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，那么函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于()A 、－1B 、1C 、6D 、12[答案]C[解析]由⊕的定义知1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1， －2≤x ≤1x 2 1<x ≤2，2⊕x ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2 －2≤x ≤1x 3－2 1<x ≤2，显然f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6.。