空间几何体的直观图7

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2020新课标高考艺术生数学复习：空间几何体的结构特征、直观图含解析

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教学资料范本

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第1节 空间几何体的结构特征、直观图

最新考纲 核心素养 考情聚焦

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图 1.空间几何体的结构特征，达成直观想象和数学运算的素养．

2.空间几何体的直观图，提升直观想象和数学运算的素养 本部分是高考中的重点考查内容，题型以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象力，难度不会太大，属中低档题型，考查考生转化与化归、数形结合等数学思想的运用

1．多面体的结构特征

2．旋转体的结构特征

图形 结构特征 图形 结构特征

棱柱

两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行

棱锥

底面是多边形，侧棱交于一点

棱台

上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点

3 / 13 圆柱

两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形

圆锥

底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形

圆台

上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形

球

过球心的截面是大小相等的圆

3.直观图

空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为

45°(或135°) ，z′轴与x′轴、y′轴所在平面 垂直 .

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 平行于

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.2.1 中心投影与平行投影

1.2.2 空间几何体的三视图

三维目标

1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法.

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识.

重点难点

教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点：识别三视图所表示的几何体.

教学过程

导入新课

思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.

教师指出课题：投影和三视图.

思路2.

“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？教师点出课题：投影和三视图.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?

图1

②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?

③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2

④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？

⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小有什么区别？

1．2.3 空间几何体的直观图

理解教材新知

入门答辩

美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．

问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？

问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？

问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？

新知自解

1．用斜二测画法画平面图形的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使________________，它们确定的平面表示水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中________________，平行于y轴的线段，________________________________________________________________________.

2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．

(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出________(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．

(3)擦去辅助线，________用虚线表示．

归纳升华领悟

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角化45°(或135°)．

把握热点考向

考点一 水平放置的平面图形的直观图

[例1] 画出水平放置的正五边形的直观图．

[思路点拨] 首先应在原图形中，根据图形的对称性建立平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出直观图．

必修2 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

（2月22日）

(一) 空间几何体的三视图和直观图

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体 结构特征

棱柱 有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等

棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

(2)旋转体的形成

几何体 旋转图形 旋转轴

圆柱 矩形 矩形任一边所在的直线

圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线

圆台 直角梯形或等腰梯形 直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线

球 半圆或圆 直径所在的直线

2.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

空间几何体的结构特征

[例1] (1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )

A．圆柱 B．圆锥

C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体

(2)下列说法正确的是( )

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点