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2009常熟外国语学校数学竞赛试卷一

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2009常熟外国语学校数学竞赛试卷一

一、选择题

1．已知集合221,,20RAyyxxBxxx，则下列正确的是（ ）

A．1,AByy B.2AByy

C.21AByy D. 21AByyy或

2．当01x时，()lgxfxx，则下列大小关系正确的是（ ）

A．22()()()fxfxfx B. 22()()()fxfxfx

C. 22()()()fxfxfx D. 22()()()fxfxfx

3．设()fx在[0,1]上有定义，要使函数()()fxafxa有定义，则a的取值范围为（ ）

A．1(,)2； B. 11[,]22； C. 1(,)2； D. 11(,][,)22

4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PBPAPBPAPC，则△ABC一定为( )

A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形

5．已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）

A．2 B. 2 C. 22 D. 4

6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）

A. 7 B. 72 C. 3 D.32

二、填空题

7．22cos(15756)xxxx＝ 。

8．设,,,abcd为非负实数，满足abcdbcdacdabdabc，则

abbccddacdadabbc＝

。

9．设lglglg111()121418xxxfx，则1()()_________fxfx。

10. 设实系数一元二次方程2220xaxb有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41ba的取值范围是

。

11．已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy

的交点在直线yx上，则cossincinsso 。

12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上。AD的长度的最小值为 。

三、解答题

13．已知椭圆C：22221xyab（0ab），其离心率为45，两准线之间的距离为252。

（1）求,ab之值；（2）设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶

点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程。

14．设非负等差数列na的公差0d，记nS为数列na的前n项和，证明：

1）若*,,mnpN，且2mnp，则112mnpSSS；

2）若5031,1005a则2007112008nnS。

2009年常熟外国语学校数学竞赛试卷一

二、选择题 （本大题满分36分，每小题6分）

1．已知集合221,,20RAyyxxBxxx，则下列正确的是（ ）

A．1,AByy B.2AByy

C.21AByy D. 21AByyy或

解：因为1,1, 2AyyBxxx或，所以有1,AByy

正确答案为 A。

2．当01x时，()lgxfxx，则下列大小关系正确的是（ ）

A．22()()()fxfxfx B. 22()()()fxfxfx

C. 22()()()fxfxfx D. 22()()()fxfxfx

解：当01x时，()0lgxfxx，222()0lgxfxx，22()0lgxfxx。

又因为2222(2)0lglg2lg2lgxxxxxxxxxx。所以 22()()()fxfxfx。 选 C。

3．设()fx在[0,1]上有定义，要使函数()()fxafxa有定义，则a的取值范围为（ ）

A．1(,)2； B. 11[,]22； C. 1(,)2； D. 11(,][,)22

解：函数()()fxafxa的定义域为 [,1][,1]aaaa。当0a时，应有1aa，即12a；当0a时，应有1aa，即12a。 因此，选 B。

4．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足()(2)0PBPAPBPAPC，则△ABC一定为( )

A．直角三角形；B. 等边三角形；C. 等腰直角三角形；D. 等腰三角形

解：因为,2PBPAABPBPAPCCBCA，所以已知条件可改写为

()0ABCBCA。容易得到此三角形为等腰三角形。 因此 选 D。

5．已知2222212fxxabxaabb是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（ ）

A．2 B. 2 C. 22 D. 4

解：由已知条件可知，2210ab，函数图象与y轴交点的纵坐标为222aabb。令,scosinba，则

22222sincossincos2sin2cs22oaabb。因此 选 A。

6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）

A. 7 B. 72 C. 3 D.32

解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),(0,0,)3S, (0,0,)32M，P(x,y,0).于是有(0,1,),(,,).2323AMMPxy由于AM⊥MP，所以

(0,1,)33(,,)022xy，即34y，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()422。 因此 选 B。

二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）

7．22cos(15756)xxxx＝ 。

解：根据题意要求，2605xx，20571xx。于是有2715xx。因此

22cos(15756)cos01xxxx。因此答案为 1。

8．设,,,abcd为非负实数，满足abcdbcdacdabdabc，则

abbccddacdadabbc＝ 。

解：显然0abcd，由于abcdbcdacdabdabc，有

1111bcdacdabdabc。于是有abcd，故

4abbccddacdadabbc。

9．设lglglg111()121418xxxfx，则1()()_________fxfx。

解： lglglglglglg1111111()()3121418121418xxxxxxfxfx。

10. 设实系数一元二次方程2220xaxb有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则41ba的取值范围是 。

解： 根据题意，设两个相异的实根为12,xx，且12012xx，则

1213xxa，120222xxb。

于是有 31,12ab，也即有

111, 342214ba。

故有143212ba，即取值范围为13,22。

11．已知,R，直线1sinsinsincosxy与1cossincoscosxy

的交点在直线yx上，则cossincinsso 。

解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)xx，且,inssco为方程

001sincosxxtt，

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江苏省常熟中学高三数学“三模”试卷

江苏省常熟中学高三数学“三模”试卷

S ← 0

n ← 1

While S<1000

S ← S + n 2

n ← n + 1

End while

Print ①

第7题 江苏省常熟中学2009届高三“三模” 试卷

数学正卷 2009.5.27

一.填充题（每题5分共70分）

1.已知 loga2=m，loga3=n．则nm2a= 

.

2.一个圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则它的高为  .

3.设aR，且2()aii为正实数，则a  .

4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

则不等式ax2+bx+c>0的解集是____

______.

5.已知集合M{4,7,8},且M中最多有一个偶数, 则这样的集合M共有  个.

6.椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k  .

7.右面的伪代码的目的是： 求出使22221231000n

成立的最大正整数n， 则在图中输出语句①处

应填入______ ______.

8.

以双曲线191622yx右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 

.

9.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是BC的中点,G是三角形ABC重心,则AGGD2 ” .

若把该结论推广到空间，则有结论：“在正四面体ABCD中，若BCD 的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM= 

” .

10. 方程(a2+1)x2-2ax-3=0的两根为x1,x2, 满足）（2121xxx,且01x, 则实数a的取值范围是  .

11.已知总体中的各个体的值由小到大依次为2 ,3 ,3 ,7 ,a ,b ,12 ，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是  .

苏州市常熟市外国语学校八年级上学期开学水平测试数学试卷

苏州市常熟市外国语学校八年级上学期开学水平测试数学试卷

20XX-20XX学年第一学期开学考试试

I」要求的，诘将选择题的答案写在 相应的位置上

1.以下图形中,由AB//CD能得到Z1 = Z2的是（

2.以下从左到右的变形.是分解因式的是（

B. x'+x —5= (x—2) (x+3) + l

D. x2+l=x (x+-) x

Ui-ZW --------- L

0 1 2 0 1 2 A B

4.以下计算中，正确的选项是（

A. (a+3) (a—3) =a2—9

C. a2b+ab2=ab (a+b)

3.不等式组， 解集在数轴上表示为（

A. 3ab2 • (—2a) = —6aV （—2x"=-6x 侦

（—5xy）2 -r 5x: y = 5y2

5.如果多项式x、+m+16是一个二项式的完全平方式，那么m的值为（ C. a • a =a,3 B.

D・ 本大题共10小

题，每题3

分，共30 成绩 _________

一、选择题 6-方程组｛注;二的解满足方程x+y—a=。’那么 ' 的值是< >

A. 5 B. —5 C. 3 D・—3

7. 如果不等式（a-2）x>a-2的解集是泯1,那么a必须满足（ ）

A^ a<0 B、a>l C、a>2 D. a<2

8. 从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，蚓它的边数是（）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

9. 某班共有学生49人。一天，该班某一男生因事请假，当夭的男生人数恰为女 生人数的一半。假设设该班男生人数为x,女生人数为y,那么以下方程组中，能正 确计算出x、y的是（）

x-y = 49 B. < .》+），= 49 C. 丁49 x+y = 49

），=2（》 y = 2(x+l) y=2(T )，= 2(E1)

10.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,那么AB边的长度范围是( )

A. 1 cm

cm

二、填空题本大魁共8小规 每题324分，把答案相对应的位置上.

2009高联试题及答案

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2009年高中数学联赛试题及答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1. 下列哪个选项是最小的正整数，使得对于任意的正整数n，都有2^n - 1能被这个数整除？

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11

答案：D

2. 设a、b、c为实数，若a + b + c = 1，求证：(1 - a)(1 - b)(1

- c) ≥ 8abc。

答案：根据均值不等式，我们有：

1 - a = b + c ≥ 2√(bc)，

同理，1 - b ≥ 2√(ac)，1 - c ≥ 2√(ab)。

因此，(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ 8abc。

3. 解答以下方程组：

\[

\begin{cases}

x^2 - y^2 = 36 \\

x^2 + y^2 = 100

\end{cases}

\]

答案：将两个方程相加和相减，得到： \[

\begin{cases}

2x^2 = 136 \\

2y^2 = 64

\end{cases}

\]

解得 x = ±√34, y = ±√32。

4. 一个圆的周长是20π，求这个圆的半径。

答案：周长公式为 C = 2πr，所以 r = C / (2π) = 20π /

(2π) = 10。

5. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，求这个长方体的对角线长度。

答案：使用勾股定理，对角线长度 d = √(l² + w² + h²) =

√(8² + 6² + 5²) = √149。

6. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且每一项都是前三项的算术平均数，求这个数列的第四项。

答案：第四项 a_n = (a_(n-1) + a_(n-2) + a_(n-3)) / 3 = (2

【全国大学生数学竞赛真题试卷】2009年01-试卷-第一届全国初赛-数学类试卷

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12009年第一届全国大学生数学竞赛初赛

（数学类）试卷

第一题：(15分)求经过三平行直线

1:Lxyz

，

2:11Lxyz

，

3:11Lxyz

的圆柱面的方程.

第二题：(20分)设nn

C

是nn

复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C

上的线性空

间，

1

2

1000

100

010

001n

n

na

a

aF

a







































.

(1) 假设11121

21222

12n

n

nnnnaaa

aaa

A

aaa





























，若AFFA

，证明：

12

1112111nn

nnAaFaFaFaE



；

(2) 求nn

C

的子空间

()|nn

CFXCFXXF



的维数.

第三题：(15分)假设V

是复数域C

上n

维线性空间（0n

），,fg

是V

上的线性变换. 如

果fggff

，证明：f

的特征值都是0，且,fg

有公共特征向量.

第四题：(10分)设

()

nfx

是定义在,ab



上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,ab





上满足()

nfxM

.

（1）证明

()

nfx

在,ab



上一致收敛；

（2）设()lim()

n

nfxfx



，问()fx

是否一定在,ab



上处处可导, 为什么？

第五题：(10分)

设3

2

0sin

d

sinnnt

att

t

，证明

11

nna



发散.

第六题：(15分)(,)fxy

是

22

(,)|1xyxy

上二次连续可微函数，满足

22

22

22ff

xy

xy



， 计算积分

22

1

2222dd

xyxfyf

Ixy

xy

xyxy



















第七题：(15分)假设函数()fx

在[0,1]

上连续，在

0,1

内二阶可导，过点(0,(0))Af

，与点