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双重积分

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§6 二重积分的概念与计算

提出问题

定积分是计算与一元函数有关的总量的数学模型，但在实践中，常会遇到需计算与多元函数有关的总量的问题，这就需要将一元函数的定积分概念推广到多元函数的重积分.

学习过程

6.1 二重积分的概念与性质

1. 二重积分的概念

（1）求曲顶柱体的体积

设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域 D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶面是曲面),(yxfz.这里0),(yxf且在D上连续，这种立体叫做曲顶柱体（图10.10）.

我们采用类似于求曲边梯形面积的思想方法来求曲顶柱体的体积V.

①分割.用任意有限条相交曲线把区域D分成n个小区域，即

,,,,21n

同时也用),,2,1(nii表示第i个小区域的面积.相应地，过每个小区域的边界作垂直于xOy平面的柱面，则可把曲顶柱体分为n个小曲顶柱体；

②近似求和.在每个小区域i上任取一点iiyx,，用高为),(iiyxf、底为i的平顶柱体的体积iiiyxf),(来作为第i个小曲顶柱体体积的近似值.这n个小平顶柱体体积之和

niiyixf1),(

就是曲顶体体积的近似值； ③取极限.当n个小区域中的最大直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离中的最大者）趋于零时，上述和式的极限就是曲顶柱的体积V，即

.),(lim1)0(niiiinyxfV

这种思想正是定积分的基本思想.

（2）二重积分的定义

定义 设函数),(yxf在有界闭区域D上有定义.将区域D任意分成n个小区域),,,1(nxii，i也表示第i个小区域的面积，在每个小区域i上任取一点),,2,1)(,(niyxii，作和式

niiiiyxf1),(

当,n同时0时（表示所有i的最大直径），若上述和式的极限

niiiinyxf1)0(),(lim

存在，并且此极限与区域的分法及点),(iiyx的取法无关，则称此极限为函数),(yxfz在区域D上的二重积分，记作

Dniiiinyxfdyxf1)0(),(lim),(.

其中D叫做积分区域，),(yxf叫做被积函数，d叫面积元素.此时也称函数),(yxf在D上可积.

(3) 二重积分的几何意义

如果0),(yxf，则二重积分Ddyxf),(的几何意义就是以曲面),(yxfz为顶面，以D为底面的曲顶柱体的体积。特别地，当1),(yxf时，平顶柱体的体积DDddV1，在数值上等于区域D的面积，于是得计算平面区域D的面积公式

Dd 做一做 求dxdyzyxRRyx2222222

2.二重积分的性质

因为定积分与二重积分的定义具有相似的结构，因而可以由定积分的性质类推出二重积分的性质.例如，常数因子可提到积分符号外，有限个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和，二重积分对积分区域具有可加性等，不再赘述.

6.2二重积分的计算

提出问题

按照二重积分的定义和几何意义来计算二重积分，对于一些特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的，甚至很不可能的.因此需要我们探录求二重积分的简便可行的方法. 在数学中，常常采用所谓的化归法，即化难为易、化未知为已知的方法. 对二重积分的计算问题，我们是否可以将其化为两次定积分的计算问题？

学习过程

1．二重积分计算公式的推导

下面我们将利用二重积分的几何意义，来讨论二重积分Ddyxf),(在直角坐标系中的计算问题.

在讨论中假定0),(yxf.

在直角坐标中，二重积分的面积元素d可表示为dxdy，即

DDdxdyyxfdyxf),(),(

设积分区域D可以用不等式

)()(,21xyxbxa

来表示（图10.11），其中函数)(),(21xx在区间],[ba上连续。根据二重积分的几何意义.Ddxdyyxf),(的值等于以区域D为底、以曲面),(yxfz为顶的曲顶柱的体积.下面我们用“微元法”来计算曲顶柱体的体积V.

过],[ba上一点0x，作与yOz面平行的平面0xx，此平面与曲顶柱体相交所得的截面是一个以区间)](),([0201xx为底、以),(0yxfz为曲边的曲边梯形（图10.12中的阴影部分）.这个截面的面积为

dyyxfxxxA),()()()(0120

一般地，过],[ba上任意一点x且平行于yOz面的平面，与曲顶柱体相交所截得截面的面积为

dyyxfxxxA),()()()(12

注意上式中x保持不变，而y是积分变量.于是,对于区间],[ba上任意一个小区间],[dxxx,由微元法可知曲顶柱体的体积微元为

dxxAdV)(

将dV从a到b求定积分,就得到曲顶柱体的体积

babaxxdxdyyxfdxxAV)()(21),()(

于是得二重积分的计算公式 dxdyyxfdxdyyxfbaxxD)()(21),(),(

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分.就是说,先把x看作常数,把),(yxf只看作y的函数,并对y计算从)(1x到)(2x的定积分;然后把算得的结果再对x计算在],[ba上的定积分.上式也常记作

baxxDdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(

上述讨论中,我们假定0),(yxf,但实际上计算色式成立并不受此条件限制.

2．二重积分的计算

例1 计算二重积分Ddxdyyx)24(,其中D为矩形区域

11,22:yxD.

解 由yx,在D上的变化范围可得

2211)24()24(dyyxdxdxdyyxD

dxyxyy11222212142232)8(dxx

例2 已知xOy平面第一象限内的区域D是由直线2,0yx和抛物线22xy所围成,

(1)求区域D的面积;

(2)求以曲面xyyxfz),(为顶,以D为底的曲顶柱体的体积V.

解 (1)列方程组可求得各曲线的交点(0,0)、（0，2）和（2，2），画出区域D的草图（图10.13），并且不等式表示：

22,20:2yxxD.

于是根据面积公式可得 .3802)62()2(2/2320222020222xxxxdxxydydxdxdyDx

（2）根据二重积分的几何意义可得

20204222022/.38)44(212/2)(212dxxxdxxxydxxydxdyVDx

想一想 无论yxf,为何值，dxdyyxfD,是否都表示yxfz,与D围成的体积？

做一做 由xyxy与2围成的区域D是什么？

偏导数的计算完全用的是导数计算的公式，只需将其中一个变量看作变量，其余变量当作常数，然后运用导数公式就行了，因此偏导数没有自己的公式。

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mathmaticas求双重定积分

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双重积分是高等数学中的一种重要的积分形式，求双重定积分需要用到计算机软件，而Mathematica就是一种强大的数学计算软件，可以帮助我们求解双重定积分。

步骤一：打开Mathematica

首先，我们需要打开Mathematica软件，这个软件可以在官网上免费下载，安装完成后就可以打开了。在软件主界面上，我们可以看到一个输入框，这个输入框就是Mathematica的核心功能所在，我们可以在里面输入数学表达式，进行计算。

步骤二：输入双重积分表达式

接下来，我们要输入双重积分表达式，这个表达式包含了被积函数以及积分区域。我们可以使用Mathematica中的Integrate函数进行积分计算，语法如下：

Integrate[f[x,y], {x, a, b}, {y, c, d}]

其中，f[x,y]表示被积函数；{x, a, b}表示x的积分区间，a和b分别是积分下限和积分上限；{y, c, d}表示y的积分区间，c和d分别是积分下限和积分上限。通过这个函数，我们可以计算双重积分。

例如，如果要计算如下的双重积分：

∬R(2x + 3y)dxdy

其中，积分区域R为x的范围是[-1,1]，y的范围是[0,2]。

我们可以输入如下代码：

Integrate[2x + 3y, {x, -1, 1}, {y, 0, 2}]

运行后，Mathematica会输出计算结果，即10。

步骤三：绘制积分区域

除了计算双重积分的值以外，Mathematica还可以绘制积分区域。我们可以使用RegionPlot函数将积分区域绘制出来，方便我们理解积分区域的形状和大小。

例如，对于上面的双重积分，我们可以输入如下代码： RegionPlot[-1 <= x <= 1 && 0 <= y <= 2, {x, -2, 2}, {y,

-2, 3}]

多重积分的方法总结

多重积分的方法总结

多重积分的方法总结

多重积分是微积分的重要内容之一，在物理、工程、经济等学科中有广泛的应用。它是定积分的推广，主要用于计算二重积分、三重积分以及更高维度的积分。

一、二重积分的求解方法

1.直角坐标求解法：根据被积函数的形式，选择适当的积分次序，将二重积分转化为两次一重积分求解。

2.换元法：将二重积分转化为在转化后的坐标系中的积分。常见的换元法有极坐标法、参数方程法等。

3.极坐标法：对于具有圆形对称性的被积区域和被积函数，可以使用极坐标进行求解。极坐标的变换公式为：

x = r*cosθ

y = r*sinθ

面积元素dA = r*dr*dθ

4.矩形法：对于长方形区域上的二重积分，可以使用矩形法进行计算。将整个被积区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形上的被积函数进行近似计算，最后将所有小矩形的结果相加得到最终的结果。

二、三重积分的求解方法

1.直角坐标求解法：根据被积函数的形式，选择适当的积分次序，将三重积分转化为三次一重积分求解。 2.柱坐标法：对于具有柱面对称性的被积区域和被积函数，可以使用柱坐标进行求解。柱坐标的变换公式为：

x = r*cosθ

y = r*sinθ

z=z

体积元素dV = r*dr*dθ*dz

3.球坐标法：对于具有球面对称性的被积区域和被积函数，可以使用球坐标进行求解。球坐标的变换公式为：

x = r*sinφ*cosθ

y = r*sinφ*sinθ

z = r*cosφ

体积元素dV = r^2*sinφ*dφ*dθ*dr

应用题解析：

多重积分在物理、工程和经济学等学科中有广泛应用，常用于计算质量、体积、中心、质心、转动惯量、质量矩等物理量。在应用题中，需要根据具体问题确定积分的次序、被积函数和被积区域，并利用常见的求解方法进行求解。

例如，计算一个半径为R的球体的体积。由于球体具有球面对称性，我们可以使用球坐标进行求解。将球体划分为若干个体积元素，并对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的体积相加得到球体的总体积。根据球坐标的变换公式，可以得到体积元素dV = r^2*sinφ*dφ*dθ*dr。将被积函数设置为1，即可得到球体的体积为V = ∭(0到R)∭(0到π)∭(0到2π)r^2*sinφ*dφ*dθ*dr。

二重积分和三重积分的第二中值定理

二重积分和三重积分的第二中值定理

二重积分和三重积分的第二中值定理

二重积分和三重积分的第二中值定理：

1、 第二中值定理：对n次积分(n>=2)变量，存在存在着一个唯一的实值，使得该变量满足特定不等式；

2、 二重积分的第二中值定理：在二重积分Y、X中，存在一个枢轴的位置，令Y>X，则随着枢轴的变动，Y、X的偏移幅度相同；

3、 三重积分的第二中值定理：如果假设三重积分Y、X、Z中有两个枢轴，令Y、X、Z上有Y>X>Z，则每当枢轴变动时，Y、X、Z的偏移幅度均自动保持；

4、 第二中值定理的应用：第二中值定理在统计学不仅仅被用于分析和研究双重、多重积分，还可以应用到回归分析和双因素实验等等；

5、 多重积分的多项式拟合：对于多重积分中的数据，可以应用多项式拟合来拟合其分布规律，从而更深入地了解该积分的特性；

6、 中心极限定理：中心极限定理是多重积分的一个特性，它表明当把多个双重随机变量求和时，可以通过极限定理得到一个正态分布；

7、 生成函数求积分：多重积分可以使用相应的生成函数求解。对于高维积分，生成函数是一个有效的手段，可以解决许多复杂的多重积分问题。

二重积分极坐标变换

二重积分极坐标变换

二重积分极坐标变换

二重积分极坐标变换是将一般的坐标系转换为极坐标表示的一种变换方法。它由两个步骤组成：第一步是单重积分极坐标变换，其中x、y坐标轴被转换为极坐标r和φ。第二步是双重积分极坐标变换，其中极坐标r和φ被转换为更复杂的极坐标ρ和θ。 在单重积分极坐标变换中，x和y被转换为极坐标r和φ： x = r*cos(φ) y = r*sin(φ) 其中r是极径，表示从原点到点（x，y）的距离，而φ则是极角，表示从x轴正方向旋转到点（x，y）的角度。 在双重积分极坐标变换中，极坐标r和φ被转换为更加复杂的极坐标ρ和θ： ρ = r +

a*sin(n*φ) θ = φ + b*sin(n*φ) 其中a和b是常数，n是一个整数。极径ρ表示从原点到点（x，y）的“偏移”距离，而极角θ则表示从x轴正方向旋转到点（x，y）的“偏移”角度。