数学奥林匹克高中训练题14及答案

数学奥林匹克高中训练题（一）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题22)集合111{|log2,}23nnnN的真子集的个数是(A)．

(A) 7 (B)8 (C)31 (D)32

2．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．

(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个

3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．

(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}

4．(训练题22) 函数(),()yfxygx的定义域及值域都是R，且都存在反函数，则11((()))yfgfx的反函数是(B)．

(A)1((()))yfgfx (B) 1((()))yfgfx (C) 11((()))yfgfx (D) 11((()))yfgfx

5．(训练题22) 若cos40sin40oo,则1239239等于(D)．

(A)1cos2018o (B) 1sin409o (C) 1cos409o (D) 2sin209o

6．(训练题22) 当01x时，222sinsinsin,(),xxxxxx的大小关系是(B)．

(A) 222sinsinsin()xxxxxx (B) 222sinsinsin()xxxxxx

(C) 222sinsinsin()xxxxxx (D) 222sinsinsin()xxxxxx

试卷第1页，共2页2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数

学联合竞赛一试及加试试题（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题

1．设复数910iz

（i为虚数单位），若正整数n

满足2023n

z

，则n

的最大值为 .

2．若正实数a

，b

满足lg

2b

a，lglg

5ab

ab，则lg()ab

ab的值为 .

3．将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为x

，y

，z

，则事件

“

7

77CCCxyz



”发生的概率为 .

4．若平面上非零向量

，

，

满足



，2



，3



，则

的最小值

为 .

5．方程sincos2xx

的最小的20个正实数解之和为 .

6．设a

，b

，c

为正数，ab

.若a

，b

为一元二次方程2

0axbxc的两个根，且a

，

b

，c

是一个三角形的三边长，则abc

的取值范围是 .

7．平面直角坐标系xOy

中，已知圆与x

轴、y

轴均相切，圆心在椭圆

22

22:10xy

ab

ab内，且与

有唯一的公共点

8,9

.则

的焦距为 .

8．八张标有

A，

B，C

，D，E，F，G

，

H的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些

卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按

D，

A，

B，E，C

，F，G

，

H的次序取走卡片，但不可按D，

B，

A，E，C

，

F，G

，

H的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 .

二、解答题

9．平面直角坐标系xOy

中，抛物线2

:4yx，F为

的焦点，

A，

B为

上的两个不

重合的动点，使得线段AB的一个三等分点

P位于线段

OF上（含端点），记Q

为线段AB

的另一个三等分点.求点Q

的轨迹方程.

10．已知三棱柱

111:ABCABC

的9条棱长均相等.记底面ABC

所在平面为

.若的另试卷第2页，共2页

1 数学奥林匹克高中训练题

填空题

已知、为实数，集合

.则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

集合中的不等式可化为，①

因为，所以，

或.

填空题

在的正方形表格的25个小正方形的中心处任意放入三枚棋子，每个小正方形的中心处至多放一枚棋子，则这三枚棋子的中心点为三角形三个顶点的概率是______.

【答案】

【解析】

用、、表示三枚棋子的中心点，将、、放入25个小正方形中心处的不同的放法有种.小正方形中心点成线的点数有如下几种情形.

（1）五点成直线的有五行五列及两对角线共12组，此时，、、成 2 一直线的不同放法有种；

（2）四点成直线的只有与对角线平行的4组，此时，、、成线的不同放法有种；

（3）三点成直线的有与对角线平行的4组和其他的12组，此时，共16组，从而，、、同在一直线上的不同放法有种.

故三枚棋子的中心点为三角形三个顶点的概率为.

填空题

已知、、，且，则代数式的最小值为______.

【答案】64

【解析】

易知，，

而可化为，视为一个整体，

因为函数在上是增函数，所以，对任意、，

恒有，即，

将上式中的用代换得. ①

同理，， ②

. ③

①②③并整理得，

即，当且仅当， 3 时取等号，故的最小值为64.

填空题

已知正三棱锥底面中心为，过的动平面与此三棱锥的侧棱或其延长线分别交于点、、，若，，，则______.

【答案】

【解析】

因为、、、四点共面，所以，，且，

故

由正三棱锥底面中心为得，

因为、、不共面，所以，，

故 .

填空题

已知向量，，则满足的所有整数对的个数是______.

【答案】0

【解析】

由题设得

，

显然，，否则，，

此方程无整数解.若，方程可化为 4 ，

因为、，所以，模10的值为1，

得以下两个方程组：

计算知均无整数解，若，

则为正整数，于是，，得以下两个方程组： 计算知均无整数解，

综上，所求整数对的个数是0.

填空题

数学奥林匹克高中训练题（15）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

2．(训练题20)把直线L沿Y轴平移sincos0个单位，再沿x轴平移2sin2sincos0个单位，所得到的直线与原直线重合，则原直线的斜率为(B)．

(A) 不存在 (B) sincos (C) cossin (D) sincos

3．(训练题20)三棱锥ABCD中，AB平面BCD．则CAD与CBD的关系为(D)．

(A) CADCBD (B) CADCBD (C) CADCBD (D) 不确定

4．(训练题20)设递增正数列12,,,naaa是分母为60的既约真分数．则1cosniia (A)．

(A) 0 (B)8 (C) 16 (D) 30

5．(训练题20)从正方体的８个顶点中取出３个顶点使至少有两个顶点在同一棱上，其取法数为(B)．

(A)44 (B)48 (C)50 (D) 52

6．(训练题20)存在12,,,nxxx满足210kx，且使1122310nnnxxxxxxxx成立的充要条件是(B)．

(A) 2|n (B) 4|n (C) 6|n (D) 8|n

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题20)已知()tan(arctan)4fxx则33132()132f 332 ．

2．(训练题20)递推数列，12211()nnnxxxaxbxnN， 若1996T是使121TTxx的最小自然数，则19961iix= 0 ．