第六章
数学模型的概念
建立模型必须具备两个条件：（1）模型和原型之间有相似关系；（2）模型在科学认识过程中是被研究客体的代表者，可以从对模型的研究中获得关于原型的信息。
模型的特征：（1）目的性.每一个模型，都是人们为了解决某一实际问题，自觉使用相应的工具建构而成的．因此，目的性是模型的一个基本特征． （2）清晰性.在建构模型时，有意识地舍弃了原型的一些不合目的性的非本质属性，从而使事物的本质属性在模型中比在原型中体现得更为清晰，也更便于研究和运用．（3）准确性.模型必须准确反映原型的本质属性 （4）经济性
数学模型及其类型：数学模型按其性能可以分为概念性数学模型、方法性数学模型和结构性数学模型．数学模型按其性能还可分为应用性数学模型、概括性数学模型和抽象性数学模型.
以函数为例，我们对这三类数学模型加以说明：
例：设一学生大学毕业后的四年中，用于买书的钱分别为：196，231，268，302元，根据这四年他用于买书的钱，试估计他第五年用于买书的钱．
这4年该生用于买书的钱每年分别增加35，37，34元，基本上每年增加35元．可以认为时间与书费基本上是成线性关系的．这就可求出时间和书费之间的一个函数关系为
用这一函数关系，可以估计出该生第五年用于买书的钱为337元．这一函数式是一个应用性数学模型．这一类的函数式又被概括为一般的线性函数 ykxb=+ ,它就是一个概括性数学模型。 而各种各样不同种类的函数，通过进一步的抽象，就得到了函数的概念．那么，函数概念就是一个抽象性数学模型．函数概念就是一个抽象性数学模型．
上述三类模型，实际上正是数学与其他学科及生产实际之间、纯数学和应用数学之间互相关系的缩影．
数学模型的特征：数学模型具有一般模型的性质，更为基本的性质是高度的抽象性和经济性．
数学模型建构步骤1．掌握和分析客观原型的各种关系、数量形式。2．确定所研究原形的本质属性，从而抓住问题的实质。3．在数学概念、语言表述、符号等基础上，建立数学模型。4．对数学模型运演和检验。
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第一部分 基本知识：
一、数学模型的定义
现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：
数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤
1. 模型准备
要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
数学建模的方法和步骤
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解的过程。数学建模方法和步骤如下：
一、问题理解与分析：
1.了解问题的背景和目标，明确问题的具体需求；
2.收集相关的数据和信息，理解问题的约束条件；
3.划定问题的范围和假设，确定问题的数学建模方向。
二、问题描述与假设：
1.定义问题的数学符号和变量，描述问题的数学模型；
2.提出问题的假设，假定问题中的未知参数或条件。
三、建立数学模型：
1.根据问题的特点选择合适的数学方法，包括代数、几何、概率统计等；
2.基于问题的约束条件和假设，通过推理和分析建立数学方程组或函数模型；
3.利用数学工具求解数学模型。
四、模型验证与分析：
1.对建立的数学模型进行验证，检验解的合理性和有效性；
2.分析模型的稳定性、灵敏度和可行性。 五、模型求解与结果解读：
1.利用数学软件、计算机程序或手工计算的方法求解数学模型；
2.对模型的解进行解释、分析和解读，给出问题的答案和解决方案。
六、模型评价与优化：
1.对建立的数学模型和求解结果进行评价，判断模型的优劣；
2.如果模型存在不足，可以进行优化和改进，重新调整模型的参数和假设。
七、实施方案和应用：
1.根据模型的求解结果，制定实施方案和行动计划；
2.将模型的解决方案应用到实际问题中，监测实施效果并进行调整。
八、报告撰写与展示：
1.将建立的数学模型、求解方法和结果进行报告撰写；
2.使用图表、表格等方式进行结果展示，并进行清晰的解释和讲解。
九、模型迭代和改进：
1.随着问题的发展和实际情况的变化，及时调整和改进建立的数学模型；
2.针对模型的不足，进行迭代和改进，提高模型的准确性和实用性。
总结：
数学建模方法和步骤的关键是理解问题、建立数学模型、求解和分析结果。在建模的过程中，需要根据实际问题进行合理的假设，并灵活运用数学知识和工具进行求解。同时，对模型的验证、评价和优化也是不可忽视的环节，能够提高模型的可靠性和可行性。最终，将建立的数学模型应用到实际问题中，为问题的解决提供科学、高效的方法和方案。
第 1 页 共 33 页 一、问题重述： 二、条件假设： 三、符号说明： 四、问题分析： 五、模型建立： 六、模型求解： 七、结果分析： 八、模型改进： 九、模型评价： 十、参考文献：
数学建模的一般步骤
数学模型是一种概念符号模型。对数学模型可以做两种理解：一种是数理逻辑和数学基础中的；另一种是应用数学中的。建立数学模型以解决现实问题一般要经过以下几个步骤：
首先，要充分搜集现实原型的资料，数据，分析它的状态，性质，变化规律，特征，结构，建立经验定律，提出理论假说。
其次，建立数学模型。这一过程包括什么是所需要解决的问题的主要方面，什么是次要方面，什么是本质，什么是无关紧要的，以及探寻用什么数学语言，符号，结构来表示所研究的问题或经验定律的结构，即要使数学模型结构（主要是概念，关系，公理等）尽可能与原型的概念，结构相吻合。
第三步，解决数学模型所提出的数学问题。
第四步，以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出解释和评价。一般认为，评价一个数学模型的科学价值取决于该模型的预测与观察数据的一致程度。应该指出的是，正常情况下，建立模型是一个多次反复的过程，是在不断地根据原型修正模型的过程中使两者趋于一致。
另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，即可建立不同的数学模型，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。
可简写为：
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数学模型的建立和选择
【关 键 字】
【摘 要】
【正 文】
一、从信息原型到数学模型
二、数学模型的建立
§2.1 机理分析法
§2.1.1直接建模法
§2.1.2套用常用模型法
§2.1.3针对修改常用模型法
