全等三角形专项练习及答案

全等三角形证明题专项练习60题(有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE,∠B＝3０°,∠Ｅ=20°，∠ＢＡE＝105°，求∠ＢAC的度数.∠BＡC=_________ ．2.已知:如图,四边形ABCD中,ＡB∥CD,AＤ∥BC.求证:△ABD≌△ＣDＢ．3．如图,点E在△AＢC外部，点D在边BＣ上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3,AＣ=AE，请说明△ABC≌△AＤE的道理．４.如图,△ABC的两条高AＤ,BE相交于H，且ＡＤ=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DＢH=∠DAC；（2)△ＢDH≌△ＡDC.5.如图，在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，且DＥ＝DF,则AB＝AC，并说明理由．７．如图所示，Ａ、Ｄ、F、Ｂ在同一直线上,AF=ＢＤ，ＡＥ=BC，且AE∥BC.求证:△AEF≌△ＢCD.8.如图，已知ＡB=AＣ,AD=AＥ,BE与ＣD相交于O，△AＢＥ与△ＡCD全等吗？说明你的理由.9．如图,在△AＢC中，ＡB=AC,D是BC的中点,点E在ＡD上，找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的．10.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC.11.已知ＡC=ＦE,BＣ＝DE，点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABＣ≌△FDＥ，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ＡBC≌△FＤＥ.１２.如图，已知ＡB=AC,ＢD＝CE,请说明△AＢＥ≌△AＣＤ.13．如图,△ABC中,∠AＣB＝90°,AC=ＢC，将△AＢC绕点Ｃ逆时针旋转角α（０°＜α<90°）得到△Ａ1Ｂ１Ｃ,连接BB1.设CB１交AＢ于D，A1B1分别交AB，AＣ于E，F,在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明.（△ＡBC与△A1B１C１全等除外)14．如图,ＡＢ∥DE,AC∥DF,ＢE=CF．求证:△ＡＢＣ≌△ＤEＦ.15．如图,ＡB=AＣ,AD＝AE,AB，DＣ相交于点M，AC,BＥ相交于点N，∠DAB=∠EAC.求证:△ＡDＭ≌△AＥN．16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），Ｂ、C、E三点在同一条直线上,连接DC．求证：△ABE≌△ACD.1７．如图,已知△ABC是等边三角形,Ｄ、Ｅ分别在边BC、ＡＣ上，且ＣD＝ＣE，连接ＤE并延长至点F,使EＦ=ＡE，连接ＡF、ＢＥ和CF.请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠２，∠3=∠4,EC＝AＤ.(1）求证:△ABＤ≌△EBC．(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．１9．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BＣ于点E,过点E作EＦ⊥ＡC于点Ｆ．(１)若AＤ=2,求ＡF的长；（2)求当AD取何值时，ＤE=EＦ.２０．巳知：如图，AB=AＣ，D、E分别是AB、AC上的点,AD=AＥ,BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.（Ⅱ）请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低）2１.已知：如图，AＢ=DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E,过E点作ＥF∥BC,交CＤ于Ｆ，(1）根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.（2）EF平分∠DEC吗？为什么?22.如图，己知∠1＝∠２,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？２３．如图,B，F,Ｅ，D在一条直线上,ＡB=CＤ，∠Ｂ=∠D，ＢF=ＤE．试证明：（１）△DＦC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.2４.如图,AＣ＝ＡE,∠BAF=∠BＧＤ=∠EAＣ，图中是否存在与△ＡＢE全等的三角形？并证明．25．如图,D是△ABC的边BC的中点,CＥ∥AB,Ｅ在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．２６．如图，已知AB=CD，∠B＝∠Ｃ，AＣ和BD相交于点O，E是AＤ的中点，连接OE．（1)求证:△AOＢ≌△DOC;(２）求∠ＡEＯ的度数．27.如图,已知AB∥DE,ＡＢ＝DE，AＦ=DＣ．（1）求证：△ＡBF≌△DＥＣ;（2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果，不要证明)２８．如图：在△AＢC中,ＢＥ、ＣF分别是ＡC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC，在CＦ的延长线上截取CG=AB，连接ＡD、ＡG.（1)求证:△ＡＢD≌△ＧCA;(2）请你确定△ADＧ的形状，并证明你的结论．29．如图，点Ｄ、Ｆ、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠２＝∠3,DＥ=ＤF,请你说明△ADE≌△ＣＦD的理由．30．如图，在△AＢC中,∠ABＣ＝90°，BE⊥ＡC于点E，点Ｆ在线段ＢE上,∠1=∠2,点D在线段EＣ上，给出两31．如图，在△ABC中,点D在AB上,点Ｅ在BC上，ＡB=BＣ,BD=BE,EA=ＤC,求证：△BEA≌△BDC．３2．阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB＝９0°，AC=BC,BE⊥ＣE于点E，AD⊥CE于点Ｄ.请说明△ADC≌△CＥＢ的理由．解:∵BE⊥CE于点E(已知)，∴∠E=90°＿________，同理∠AＤＣ=90°，∴∠E=∠ＡDC（等量代换).在△ADＣ中,∵∠1＋∠2+∠ADC=1８0°_＿____＿__，∴∠１+∠２=９0°____＿__＿＿.∵∠ＡCＢ=9０°(已知)，∴∠3＋∠2＝9０°，∴____＿＿＿＿_ ．在△ＡDC和△CEB中，.∴△AＤＣ≌△CEB (Ａ.A．S）3３．已知:如图所示，ＡＢ∥DE，AB=DE,AF=DC．（1)写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2)选择你在（１)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．３４．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DＥ交AC于点F,若∠1＝∠２=∠3，AC＝ＡE.试说明下列结论正确的理由:(１)∠C=∠E;(2)△ABＣ≌△ADE.35．如图,在Rt△ＡBC中，∠ＡＣB=9０°,ＡＣ=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BＦ⊥CD交CＤ的延长线于F．求证:△ＡCＥ≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BＣ的中点,DＥ∥CA交AB于E，点Ｐ是线段AC上的一动点,连接PＥ.探究：当动点Ｐ运动到ＡＣ边上什么位置时,△AＰE≌△EDＢ?请你画出图形并证明△APE≌△EDＢ．37.已知:如图，AD∥ＢC，AD=BC,Ｅ为ＢC上一点,且AE=AB.求证：（1)∠DＡＥ=∠B；（2)△ＡＢＣ≌△EAD．38．如图，D为ＡＢ边上一点，△ABＣ和△EＣD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ＤCE＝90°,ＣＡ＝ＣB,ＣＤ=CＥ,图中有全等三角形吗？指出来并说明理由.３９．如图，AB=AC,ＡD=ＡE,∠BＡC=∠DAE．求证:△AＢＤ≌△ACE.40．如图,已知D是△ABＣ的边BC的中点，过Ｄ作两条互相垂直的射线,分别交AB于Ｅ,交ＡC于F,求证:BE+CF>ＥＦ.4１.如图所示，在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM，猜想ＰＭ与ＨＮ有什么关系?试说明理由．４2.如图,在△AＢC中，Ｄ是BC的中点,过D点的直线GF交AＣ于Ｆ,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF，交ＡB于点Ｅ,连接ＥG.(１）求证：ＢG＝CF;（2)请你判断BE＋ＣＦ与EF的大小关系，并证明你的结论．43.如图，在△ＡBＣ中,∠ACB＝90°，ＡＣ＝BC,ＢE⊥CE于E,AD⊥ＣE于D,ＡＤ=2.５cｍ,DE=1.7cm,求BE的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB＝CD,ＢＣ=AD，请说明：∠A=∠C的道理,小明动手测量4５.如图，AＤ是△ＡBC的中线,CE⊥AD于E，BF⊥AＤ,交AD的延长线于F．求证:CE=ＢF．４6.如图,已知AB∥CD，ＡＤ∥BC,Ｆ在DC的延长线上，AM=CＦ，FM交DA的延长线上于E.交BC于N，试说明：AＥ=CN.47．已知:如图，△AＢC中,∠C＝9０°,ＣM⊥AＢ于M,AＴ平分∠BAC交CＭ于D,交ＢC于Ｔ，过D作ＤE∥ＡB 交BC于E,求证：CT=BE.４8．如图，已知AB＝AD,AC＝ＡＥ，∠ＢAＥ＝∠DAＣ.∠B与∠D相等吗?请你说明理由．49.Ｄ是AB上一点,DF交AC于点Ｅ，DE=EＦ,ＡE＝CＥ，求证:ＡＢ∥CF．5１.如图,在△ABC中,AＣ⊥BC,AC=BＣ,Ｄ为AＢ上一点,AF⊥ＣD交于CＤ的延长线于点F，BE⊥ＣD于点E，求证：EF=CF﹣AF．52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AＢ=ＡC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于Ｄ,ＥC⊥MN于E. （1)求证：BD=AE;（２）若将MＮ绕点A旋转，使MＮ与ＢC相交于点O,其他条件都不变，BD与ＡE边相等吗？为什么?(3）BD、CE与ＤＥ有何关系?５３.已知:如图,△ABＣ中,AＢ=AC，ＢD和CＥ为△ABC的高,ＢD和CＥ相交于点O.求证：OB=OC.54.在△ＡBC中，∠ACＢ=９０°，D是ＡB边的中点，点F在AＣ边上,DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．55．如图,在△ABC中,D是边ＢC上一点，ＡD平分∠ＢAＣ，在AB上截取AE＝ＡC,连接DE,已知DE＝2cｍ,BD=3ｃm,求线段ＢC的长．5６．如图:已知∠B=∠C,AＤ=AE,则AB=AＣ,请说明理由．57．如图△AＢC中,点D在AC上，E在AB上，且AＢ=AＣ,BC=ＣD，AD=DＥ=BＥ.（1)求证△ＢＣE≌△DＣE；(2)求∠EDC的度数．5８．已知:∠Ａ=9０°，AB=ＡＣ，BD平分∠ABC，CE⊥ＢD，垂足为E．求证:BD=２CＥ.59．如图,已知:AB=CＤ，AD=BC,过BD上一点O的直线分别交DA、BＣ的延长线于E、F．(1）求证:∠E=∠F;(2）OE与ＯF相等吗？若相等请证明,若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.60.如下图，AD是∠BAC的平分线，ＤE垂直AＢ于点Ｅ，ＤF垂直AＣ于点Ｆ,且BＤ=DC.求证：BＥ＝CF．ﻬ全等三角形证明题专项练习60题参考答案:1.∵△ABC≌△AＤE 且∠B≠∠Ｅ，∴∠C=∠Ｅ,∠Ｂ=∠D;∴∠BＡC=1８０°﹣∠Ｂ﹣∠C=１80°﹣３0°﹣20°＝13０°.2.∵AB∥ＣD,AD∥BＣ，∴∠ABD=∠CDＢ、∠ＡDB=∠CＢD.又ＢD=DB,∴△ABＤ≌△ＣＤB（ASＡ）．3.△ＡDF与△ＡEF中，∵∠2=∠３，∠AFE＝∠CＦD，∴∠E=∠Ｃ.∵∠1＝∠2,∴∠BAＣ=∠DAE．∵ＡC＝AE,∴△ABＣ≌△ADE.4.（１）∵∠ＢＨD=∠AHE,∠BDH=∠AＥH=9０°∴∠DBH+∠BHD＝∠HＡE+∠ＡHE=９0°∴∠DBH=∠HAE∵∠ＨAE=∠ＤAC∴∠ＤBH=∠DAC;(2)∵ＡＤ⊥BＣ∴∠ADB=∠ＡDC在△BDH与△AＤC中，∴△ＢDH≌△AＤC.5．∵DE⊥AB,DＦ⊥ＡC，∴△DBE与△DCＦ是直角三角形，∵BＤ=ＣD,DＥ=DF,∴Rt△DBＥ≌Rt△DCF（ＨＬ），∴∠B=∠C,∴AB=ＡC.6．∵ＡE是∠BＡC的平分线,∴180°﹣∠ＢAE=1８0°﹣∠CＡＥ,即∠DAB=∠DAC;又∵AB=AＣ，AD=AD，∴在△ＡBＤ和△ACＤ中，∴△ABＤ≌△ACD(SＡＳ)7．∵AE∥BC,∴∠Ｂ=∠C.∵AＦ=ＢD，AE=ＢC，∴△AEＦ≌△BCD(SAS）．8．△ABE与△ACＤ全等．理由:∵AB=AC，∠Ａ=∠A(公共角）,ＡＥ=AD,∴△ABＥ≌△ACＤ.9．图中的全等三角形有:△ＡBD≌△ACD,△AＢＥ≌△ＡＣE,△ＢDE≌△CDE.理由：∵Ｄ是ＢC的中点,∴BD=ＤＣ,ＡB=AC,AＤ=AD∴△ＡＢＤ≌△ACD（ＳＳS);∵AＥ=AE,∠BAE=∠ＣＡE,ＡＢ＝ＡC,∴△ABE≌△ACＥ(SAＳ);∵BE=CE,BD=DC,DＥ=DE，∴△BDＥ≌△CDE（SSS).10.：∵∠1=∠2,∴∠ＡCB=∠ＤCE，在△ABC和△ＤＥC中,，∴△AＢC≌△DＥC(SＡＳ）11．增加AB=DF.在△ABC和△ＦDE 中，∴△ＡBC≌△FDE(SSＳ)．1２.∵AB=AＣ，BD＝CE,∴AD=AE．又∵∠Ａ=∠A,∴△ABＥ≌△ＡCD（SAS). １3．△CBＤ≌△ＣA1F证明如下:∵AC＝BC，∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°<α＜9０°）得到△A1B1Ｃ1, ∴∠A1=∠Ａ，A１C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A１=∠AＢC（1分),A1C=BC.∴△ＣBＤ≌△ＣA1F(ＡSA）14．∵ＡB∥ＤE,ＡＣ∥ＤＦ,∴∠Ｂ=∠DEＦ，∠Ｆ=∠ACB．∵BE=ＣF，∴BE＋ＣE=CＦ+EC.∴BC＝ＥF.∴△ABC≌△DEＦ(AＳＡ).１5.∵AB=AＣ,AＤ=AE,∠DAB=∠EAＣ，∴∠DAC＝∠ＡEＢ，∴△ACＤ≌△ABＥ,∴∠D=∠E,又AD=ＡE,∠DＡB=∠ＥＡＣ,∴△ＡDM≌△ＡEN16.∵△AＢＣ和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AＤ＝AE,∠ＢAC=∠DAＥ＝９0，即∠ＢＡC＋∠CAＥ=∠DAE+∠CAE,∴∠BAE＝∠CAD，在△AＢE和△ACD中,,∴△ＡBE≌△ＡCＤ17.答:△ＢDE≌△FEC,△BCE≌△FＤＣ，△ABＥ≌△ACF；证明:（以△ＢDE≌△FEＣ为例)∵△ABC是等边三角形,∴BＣ＝AC，∠ACＢ＝６０°，∵CD=CE,∴△EDＣ是等边三角形,∴∠EＤC=∠DEC=60°,∴∠BDＥ=∠ＦＥC＝12０°，∵CD＝CE,∴BＣ﹣CD＝AC﹣CＥ,∴BD=ＡE，又∵EF＝AＥ,∴ＢＤ=ＦE，在△ＢDE与△FＥC中,∵，∴△BDＥ≌△FEC(ＳAS）.１8.(１)证明如下:∵∠ＡBＤ=∠１＋∠ＥBC,∠CBＥ=∠２+∠ＥBＣ,∠1＝∠2．∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ.在△ABD和△EBC中∴△AＢＤ≌△EBC(AAS)；(2)从中还可得到AB=BC,∠BAＤ=∠BEC19．（1）∵AB=8,AD＝2∴BＤ=ＡB﹣AD=6在Rｔ△ＢＤE中∠BDＥ=90°﹣∠Ｂ=30°∴BE=ＢＤ=3∴CE＝BＣ﹣BE=5在Rt△CFＥ中∠CEF=90°﹣∠C＝30°∴CF=CE＝∴ＡＦ＝AＣ﹣ＦC=;（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDＥ≌△CＦE（AAS)∴BE＝CF∴BE=ＣF=EC∴BE=BＣ=∴BD=2BＥ＝∴AD=AＢ﹣ＢＤ=∴AD＝时,ＤE=ＥＦ2０．（1）图中全等的三角形有四对，分别为:①△DBG≌△EGC,②△AＤＧ≌△AEＧ，③△AＢＧ≌△ACG，④△ABＥ≌△ACD；（4分)（Ⅱ）∵ＡB=AC,AＤ=AE,∠A是公共角,∴△ABE≌△ACD(SAS)④；∵AB=AC,AD=AE，∴AB﹣AD＝ＡC﹣AE，即BD=CE;由④得∠B＝∠C,又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BＤ=CE（已证）,∴△DBG≌△ＥGC（AAS)①;由①得BG＝CG，由④得∠B=∠C,又∵AB＝AC,∴△ＡBＧ≌△ACG(SAS)③；由①得ＢG=CG,且ＡＤ=AE，AＧ为公共边,∴△ADG≌△AEG（SSS)②;21．（1）△ABC≌△ＤCＢ．证明：∵AＢ=CＤ，AC=BD,BＣ=CB，∴△ABC≌△DCＢ.(ＳＳS）(2）EＦ平分∠DＥＣ．理由：∵EF∥BC,∴∠DEF=∠ＥBC，∠ＦＥC=∠ＥＣB；由(1）知：∠EBＣ＝∠EＣB;∴∠DEF＝∠FEC；∴FE平分∠DEC22．△ABC≌△DCB.理由如下：∵∠ＡＢC＝∠DCB,∠1=∠2，∴∠DＢC＝∠ACＢ．∵BＣ=ＣB，∴△AＢC≌△DCB23．（1)∵BF=DＥ，∴BＦ＋ＥＦ=ＤE+EＦ．即BＥ=DF.在△DFC和△BEA中,∵，∴△DFC≌△ＢEA（SAＳ).(２)∵△DＦC≌△ＢＥA，∴CF＝ＡE，∠ＣＦD=∠AEB.∵在△AFE与△CEF中,∵，∴△AFE≌△CEF（SAS)２4．△ABＦ与△DFＧ中,∠BAF=∠BGD,∠ＢＦA=∠ＤFG, ∴∠Ｂ=∠Ｄ,∵∠ＢAF=∠EＡC,∴∠BAE=∠ＤＡＣ,∵AC=ＡＥ,∠BAE=∠ＤＡC，∠B=∠D，∴△BAE≌△DＡC.答案：有.△ＢAE≌△ＤAＣ25．∵CE∥ＡB,∴∠ＡBD=∠ＥＣＤ.在△AＢＤ和△ＥＣＤ中，, ∴△ABD≌△EＣD(ASＡ）26.（１)证明:在△AＯB和△COD中∵∴△AOＢ≌△COD(AAS）（２)解:∵△AOB≌△ＣOD,∴AＯ=DＯ∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠ＡEO=90°27.1)证明：∵ＡＢ∥ＤE，∴∠A=∠D.∵AＢ=DE,ＡF=DC,∴△ＡBＦ≌△ＤEＣ．(2)解:全等三角形有:△ＡBC和△ＤEF；△ＣBＦ和△ＦＥC 28．证明：（１)∵ＢE、CF分别是AC、ＡＢ两边上的高,∴∠AFC=∠AEＢ＝９０°（垂直定义)，∴∠AＣG＝∠ＤBＡ（同角的余角相等),又∵BD＝CA，AB＝GC,∴△AＢD≌△GCA;(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形．证明如下：∵△ABD≌△GCA，∴ＡG=ＡD，∴△ADＧ是等腰三角形．2９.解：∵∠4＋∠6＝１８０°﹣∠3,∠５＋∠6＝１８0°﹣∠2,∠3=∠２, ∴∠4+∠6=∠5+∠6,∴∠4=∠5，∵在△ADE和△ＣFD中，，∴△AＤＥ≌△ＣFD(ＡAＳ）.30．①DＦ∥ＢＣ．证明：∵BE⊥ＡC，∴∠BＥＣ=９0°,∴∠C+∠CBE＝9０°，∵∠AＢC=90°，∴∠ABＦ+∠CBE＝9０°,∴∠C=∠AＢF，∵DＦ∥ＢC，∴∠C=∠ADF,∴∠ＡBF=∠ＡＤF,在△AFD和△AFＢ中∴△ＡＦＤ≌△AFＢ（AAS）.31.在△BEA和△ＢＤC中：，故△BEA≌△BＤC(SSS).３2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥ＣＥ于点E，AＤ⊥ＣＥ于点D．请说明△ADC≌△CＥB的理由．解:∵BE⊥CE于点E（已知）,∴∠E=９0°（垂直的意义),同理∠ＡDC=9０°,∴∠E=∠ADC(等量代换）.在△AＤC中，∵∠1+∠２+∠ADC＝１8０°（三角形的内角和等于180°) ，∴∠1+∠2=90°(等式的性质）．∵∠ACＢ＝90°(已知）,∴∠３+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等) .在△AＤC和△CＥB中,.∴△ＡＤＣ≌△CEＢ（A．A.Ｓ)33．(１)△ABF≌△ＤEC，△ＡBＣ≌△DEF，△BＣF≌△EFC；（2分）（2)△ABF≌△DEC,证明:∵AB∥ＤＥ，∴∠Ａ=∠D，(3分)在△ＡＢF和△DＥＣ中,(4分）∴△ABF≌△DEC．(5分)34．(1)△ADF与△AEF中,∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠C=∠Ｅ；(2)∵∠1＝∠2，∴∠ＢＡC＝∠ＤAE.∵AＣ＝AE，又∠C=∠E,∴△ＡBC≌△ADE．35.∵AE⊥ＣD,∴∠AEＣ＝90°,∴∠AＣE+∠CＡE=90°，（直角三角形两个锐角互余)∵∠ＡCE+∠ＢCF=９0°，∴∠ＣAＥ＝∠ＢＣF，(等角的余角相等)∵ＡE⊥CD,BＦ⊥CＤ，∴∠AＥC=∠ＢＦＣ＝90°,在△ＡCE与△CBF中,∠CAE=∠BCＦ,∠AＥC=∠BＦC，ＡC=BＣ, ∴△ACE≌△CBF(ＡAS）.36．当动点P运动到ＡC边上中点位置时，△ＡPE≌△EＤB，∵DE∥CA,∴△ＢED∽△ＢＡC，∴＝,∵Ｄ是BC的中点,∴＝,∴=，∴E是AB中点，∴ＤE=AＣ,BE=AE,∵ＤＥ∥AC,∴∠Ａ=∠ＢＥD，要使△ＡPE≌△ＥDB,还缺少一个条件DＥ＝AP,又有DE=AＣ，∴P必须是ＡC中点．37．（1）∵ＡE＝AＢ,∴∠B＝∠ＡEB,又∵ＡD∥BC，∴∠AEB＝∠DＡE，∴∠DＡE=∠B;（２)∵∠DAE＝∠B，AD＝BC,ＡE=AB,∴△ABＣ≌△EAD．38．△AＣE≌△BＣD.∵△ABＣ和△ＥCD都是等腰直角三角形,∴∠ECD=∠ACB=9０°,∴∠ＡCE=∠BCＤ(都是∠ACD的余角),在△AＣＥ和△BＣD中，∵，∴△AＣE≌△ＢCD．3９．∵∠BAC=∠DＡE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAＤ,即∠ＢAD=∠EAC，在△ABD和△AＣE中，∴△ABＤ≌△ＡCＥ.40.证明:延长FD到M使MD=DF，连接BＭ，EM. ∵D为BC中点,∴BD=ＤC.∵∠ＦDC=∠BＤM，∴△BDＭ≌△CＤF.∴BM=FC.∵ＥD⊥DF,∴ＥM=EF．∵BE+BＭ>EM，∴BE+FC>EＦ．4１.PM=ＨN．理由：∵在△ＭNP中，H是高MQ与ＮE的交点，∴∠ＭEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠ＮQH=９０°∵∠MＨE＝∠NＨＱ（对顶角相等）,∴∠ＥＭH＝∠QNH（等角的余角相等）在△MPQ和△NHQ中，，∴△MPQ≌△NHQ(ＡSA）,∴MP=NH．４2．(1)∵ＢG∥ＡＣ,∴∠ＤBＧ=∠DCＦ．∵Ｄ为ＢC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG=∠CDＦ,在△ＢGD与△ＣFＤ中,∵∴△BGＤ≌△CFD（ASA).∴ＢG＝CF.(2）ＢE+ＣF＞EF.∵△BGD≌△ＣFD，∴ＧＤ＝ＦＤ,BG＝CＦ．又∵DE⊥FＧ,∴EＧ=ＥF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EＢＧ中,BE+BＧ>EG,即BＥ+CＦ＞EF.4３．∵BE⊥ＣE于E,AD⊥CE于D∴∠E=∠AＤC=9０°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ＡCＥ=90°∴∠BCE＝∠ＤAC∵ＡC=BC∴△ACD≌△ＣBＥ∴CE=ＡD,ＢＥ=CＤ=2.5﹣1．7＝0.8(cm)４4.∵ＡB=ＣD,BC=AD,又∵BD=DB,在△ABＤ和△ＣDB中，∴△ABD≌△CDＢ，∴∠A＝∠C．45.∵AD是△ＡＢC中BC边上的中线，∴ＢD=ＣＤ．∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED．在△ＢFD和△CEＤ中,∴△ＢＦD≌△CED（AＡS)．∴CＥ=BF4６．∵ＡD∥ＢC，∴∠E=∠ENＢ，∵∠ＥNＢ＝∠CNＦ,∴∠E=∠CNＦ，∵AB∥CD，∴∠A=∠B,∵∠C=∠Ｂ,∴∠ＥAB=∠DCＢ,∵ＡM=CF,∴△AME≌△CFＮ，∴AE＝CＮ．4７．证明:过T作TF⊥AＢ于F,∵AＴ平分∠BAC,∠ACＢ＝９0°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=９０°,CＭ⊥AＢ，∴∠ＡDＭ＋∠ＤＡＭ＝9０°,∠ＡTC+∠CAＴ=90°, ∵ＡＴ平分∠BＡC，∴∠DAM=∠CA T，∴∠ADM=∠AＴC，∴∠CDT=∠CＴＤ,∴CD=CT，又∵CＴ＝TF（已证)，∴CD＝ＴＦ,∵ＣＭ⊥AB,DE∥ＡB，∴∠CDE=９0°，∠B＝∠ＤEC，在△CDＥ和△ＴFＢ中，, ∴△CDE≌△TFＢ（AAS），∴CE=TＢ，∴ＣE﹣ＴE=TB﹣ＴE，即CT=BE．４8.∵∠BAE=∠DAC∴∠ＢＡE＋∠CＡE=∠DAC＋∠CAE即∠ＢAＣ=∠DＡE又∵AB＝AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等)49.∵DE=EF，AＥ＝CE，∠AＥD＝∠FＥＣ，∴△AEＤ≌△ＦEC．∴∠ADE=∠CFE.∴AD∥ＦC.∵D是AB上一点,∴AB∥CF50．∵BE∥CF,∴∠CMF=∠ＢＭＥ，∠ＦＣM=∠EＢM．又∵BE＝ＣＦ，∴△CFM≌△ＢEＭ.∴CM=BM．即AＭ是△ＡＢC的中线5１．∵AC⊥BC，BＥ⊥CＤ，∴∠ACＦ＋∠ＦCB=∠FCB+∠ＣBE=９0°. ∴∠FCA=∠EＢＣ．∵∠BEC=∠CFA=９0°,ＡC=BC，∴△BEC≌△CFＡ.∴CE=AF.∴EF=CF﹣CE＝CF﹣AF52.解：（1）证明:由题意可知，BＤ⊥MN与D，ＥC⊥MN与E，∠BAC＝９0°, 则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ＥＣA,在△ＡＢD与△ＣEA中,∵，∴△ABD≌△ＣＥＡ,∴ＢD=AE;(2）若将ＭN绕点A旋转，与BＣ相交于点Ｏ,则BD,CE与ＭN垂直，∴△ABD与△CＥA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与ＡE边仍相等；（3)∵△ABＤ≌△CEA,∴BD＝AＥ，AD＝EC，∴DＥ＝BD+EC或ＤE=ＣＥ﹣ＢD或DＥ＝BD﹣CE．５3．∵ＡB=AＣ，∴∠AＢC＝∠ACB，∵ＢＤ、CE分别为△ＡＢC的高,∴∠ＢEＣ＝∠BDC＝9０°，∴在△BEC和△CDB中,∴△BEC≌△ＣDＢ,∴∠1=∠2,∴OＢ=ＯC54．解:连接CＤ，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠ＤＡC=∠DＣF∵DE与ＣF平行且相等∴∠ＥDA=∠DＡC∴∠EDA=∠DＣＦ在△ＡED和△CＦD中CD＝AD,∠ＥＤA=∠DCF，ＤE＝ＣＦ∴△AED≌△ＣFD∴AE=ＤF.55．∵ＡD平分∠BAC∴∠ＢAD＝∠ＣAD在△ＡDＥ和△ADC中∵∴△ADE≌△AＤC(SAS）∴ＤＥ=DＣ∴BＣ=BＤ＋DＣ=ＢD+DＥ=2＋３=5(cｍ）56．在△AEB与△AＤC中,. ∴△AＥＢ≌△ADＣ(AAS）.∴AＢ＝AC(全等三角形,对应边相等）57．（1）证明：在△BCE和△DCE中∴△BCＥ≌△DＣE（SSＳ）.(２）解:∵ＡD=ＤE，∴∠A＝∠AED;∴∠ＥDC=∠Ａ＋∠AED=２∠A,设∠A=x，根据题意得，５x＝18０°，解得ｘ=36°∴∠EDC=２∠A=72°58．证明:延长CE、BA交于点Ｆ.∵CE⊥BD于E，∠ＢAＣ＝9０°,∴∠AＢD=∠ＡCF．又AB=AＣ,∠BAD＝∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.∵BＤ平分∠ABＣ，∴∠CBＥ=∠ＦBE.有ＢE=BE，∴△ＢＣE≌△BFE,∴CE=EＦ，∴CE=BＤ,∴BＤ=2CE.5９.（１）证明：在△ABＤ和△CDB中∵AＢ=ＣD,ＡD=BＣ,ＢD=ＤＢ,∴△ABD≌△CDＢ（SSS），∴∠ADＢ＝∠DＢC，∴DE∥BF．∴∠E=∠F．(2)答：当O是ＢD中点时,ＯE＝OF．证明如下：∵O是BＤ中点,∴OＢ=OＤ．又∵∠AＤB＝∠DＢC,∠Ｅ=∠F，∴△ODＥ≌△OＢF（AAS)．∴OE＝OF．（当ＡE=CＦ时也可证得60.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E＝∠DFC＝90°.∵AD平分∠EＡＣ,∴DE＝DF.在Rt△DBE和Rt△DCＦ中，∴Rt△DＢE≌Ｒt△ＣDF(ＨＬ)．∴BE=CF.。

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1．如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．（1）若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；（2）如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；（3）如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ．当AB＝62，AD＝42，tan∠ABC＝2时，求CQ＋10BQ的最小值．102．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．⊥交AD于7．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FE BD点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FD FE=时，求证：2+=．AH AB AF8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O．点E是线段DO上一点，连接CE．点F是∠OCE的平分线上一点，且BF⊥CF与CO相交于点M，点G是线段CE上一点，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的长；（2）求证：BF=OG+CF．9．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）3923S BCE =△证明见解析（3）CQ 10BQ 的最小值为5【分析】（1）根据点E 是BD 的中点，可得BCE CDE S S =△△ ,在作边CE 的高DF ,根据等边三角形三线合一DF 也是AED 的高，根据勾股定理计算出DF 的长度，在直角三角形DFC 中利用勾股定理计算出CF ,得出CE 的值，利用三角形的面积公式计算出面积．（2）延长AF ,是2AF =AG ,证明ADF CF ≅△△G ,得出CM=AD ，再根据ACD BDC ∠+∠= 60°，得出ACG ∠ =ABE ∠ ,从而证明ABE AMC ≅△△ ,得出AB=AG ，得出结论．（3）根据APD ∠ =90°，知道点P 的运动轨迹是以AD 为直径的圆，圆心记为N ，点Q 是BP 的中点，得到点Q 的运动轨迹是以BN 的中点为圆心，半径为2 的圆。

一、八年级数学全等三角形解做题压轴题〔难〕1. 〔1〕如图〔1〕,：在△ ABC中,N BAC=90.,AB二AC,直线m经过点A, 8口,直线m, CE J_直线m,垂足分别为点D、E.证实:DE=BD+CE.〔2〕如图〔2〕,将〔1〕中的条件改为：在△ ABC中,AB=AC, D、A、E三点都在直线m 上,并且有N BDA=Z AEC=Z BAC=.,其中.为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证实;假设不成立,请说明理由.〔3〕拓展与应用：如图〔3〕 , D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点〔D、A、E 三点互不重合〕,点F为N BAC平分线上的一点,且△ ABF和^ ACF均为等边三角形,连接BD、CE,假设N BDA=Z AEC=Z BAC,试判断△ DEF 的形状.【答案】(1)见解析(2)成立(3) 4DEF为等边三角形【解析】解：(1)证实：BDL直线m, CEJ_直线m,,N BDA=N CEA=900.: Z BAC=90°, /. Z BAD+Z CAE=90°.•/ Z BAD+Z ABD=90°, /. Z CAE=Z ABD.又AB二“AC〞,「・△ ADB合△ CEA (AAS) . /. AE=BD, AD=CE./. DE=,,AE+AD=H BD+CE.(2)成立.证实如下：: Z BDA =Z BAC=a , /. Z DBA+Z BAD=Z BAD+Z CAE=180°-O r . /. Z DBA=Z CAE.Z BDA=Z AEC=., AB=AC,「・△ AD於△ CEA (AAS). /. AE=BD, AD=CE.DE二AE+AD=BD+CE.(3)△ DEF为等边三角形.理由如下：由(2)知,△ ADB合△ CEA, BD=AE, Z DBA =Z CAE,: △ ABF 和^ ACF 均为等边三角形,J Z ABF=Z CAF=60°.・•, Z DBA+Z ABF=Z CAE+Z CAF. /. Z DBF=Z FAE.; BF=AF,,•・丛DBF合△ EAF (AAS) . /. DF=EF, Z BFD=Z AFE.・•, Z DFE=Z DFA+z AFE=Z DFA+Z BFD=60°.・•.A DEF为等边三角形.(1)由于DE=DA+AE,故由AAS证△ ADB合4 CEA,得出DA=EC, AE=BD,从而证得DE=BD+CE.(2)成立,仍然通过证实△ ADB2 J CEA,得出BD=AE, AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.(3)由△ ADB2△ CEA得BD=AE, NDBA=N CAE,由△ ABF和△ ACF均等边三角形,得Z ABF=Z CAF=60°, FB=FA,所以N DBA+N ABF=N CAE+N CAF,即N DBF二N FAE,所以△ DBF^ △ EAF,所以FD=FE, Z BFD=Z AFE,再根据N DFE=Z DFA+Z AFE=Z DFA+Z BFD=60°得到△ DEF是等边三角形.2.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE, PE 交CD 于 F〔1〕证实：PC=PE；〔2〕求N CPE的度数：〔3〕如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当N ABC=12〔T时,连接【答案】(1)证实见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45%结合PB=PB得出aABP g^CBP,从而得出结论：⑵、根据全等得出NBAP=NBCP, ZDAP=ZDCP,根据PA=PE得出NDAP=NE,即ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证实4ABP和^CBP全等,然后得出PA=PC, NBAP=NBCP,然后得出NDCP二NE,从而得出NCPF=NEDF=60°,然后得出AEPC是等边三角形,从而得出AP=CE.【详解】⑴、在正方形ABCD 中,AB=BC, ZABP=ZCBP=45%在ZkABP 和4CBP 中,XV PB=PB AAABP^ACBP (SAS) , ,PA=PC, VPA=PE>:.PC=PE；⑵、由(1)知,A ABP^ACBP,.\ZBAP=ZBCP, JNDAP=NDCP,VPA=PE, .\ZDAP=ZE> /. ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等), A180° - ZPFC - ZPCF=1800 - ZDFE - NE, BPZCPF=ZEDF=90<>：⑶、AP = CE理由是：在菱形ABCD 中,AB=BC, NABP二NCBP,在2\ABP ^lACBP 中,XV PB=PB /.△ABP^ACBP (SAS),,PA二PC, NBAP=NDCP,VPA=PE,,PC=PE,,NDAP=NDCP, V PA=PC,/DAP=NE, A ZDCP=ZE V ZCFP=ZEFD (对顶角相等),A180°- ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - NE, RPZCPF=ZEDF=180° - ZADC=180° - 120°=60°, AAEPC 是等边三角形,,PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证实3.如图,在AA8C中,NAC8为锐角,点£＞为射线8C上一动点,连接AO.以AO为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.图①图②图③〔1〕假设A3 = AC, ABAC = 90°①当点.在线段BC上时〔与点3不重合〕,试探讨CF与8.的数量关系和位置关系：②当点O在线段C的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中而出相应的图形并说明理由；〔2〕如图3,假设ABwAC, ABAC90° , ZBC4 = 45°,点.在线段8C上运动,试探究CF与8.的位置关系.【答案】〔1〕①CF_LBD,证实见解析：②成立,理由见解析：〔2〕 CF1BD,证实见解析.【解析】【分析】〔1〕①根据同角的余角相等求出NCAF=NBAD,然后利用"边角边"证实4ACF和4ABD全等,②先求出NCAF=NBAD,然后与①的思路相同求解即可：〔2〕过点A作AE_LAC交BC于E,可得4ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE, NAED=45.,再根据同角的余角相等求出NCAF=NEAD,然后利用“边角边〞证实4ACF 和4AED全等,根据全等三角形对应角相等可得NACF=NAED,然后求出ZBCF=90°,从而得到CFJ_BD.【详解】解：〔1〕①•••NBAC=90°, 4ADF是等腰直角三角形,.\ZCAF+ZCAD=90% ZBAD+ZACD=90°,.\ZCAF=ZBAD,在4ACF和4ABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF,.,.△ACF^AABD〔SAS〕,.・.CF=BD, ZACF=ZABD=45",ZACB=45",AZFCB=90°,.-.CF±BD：②成立,理由如下：如图2：VZCAB=ZDAF=90%,ZCAB+ ZCAD= ZDAF+ ZCAD, 即NCAF=NBAD,在aACF和AABD中,VAB=AC, ZCAF=ZBAD, AD=AF, AAACF^AABD(SAS), ACF=BD, NACF=NB,VAB=AC, ZBAC=90%AZB=ZACB=45%/. Z BCF= ZACF+ ZACB=45o+45o=90°,ACF1BD：(2)如图3,过点A作AE_LAC交BC于E,•/ ZBCA=45",••.△ACE是等腰直角三角形,,AC=AE, NAED=45°, VZCAF+ZCAD=90°, ZEAD+ZCAD=90%,NCAF=NEAD,在4ACF和4AED中,VAC=AE, NCAF=NEAD, AD=AF,.•.△ACF^AAED(SAS), /. ZACF=ZAED=45\,ZBCF= ZACF+ ZBCA=45o+45°=90°, ACF1BD.【点睛】此题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图〔1〕,在△A3C中,ZA = 90°, A3 = AC,点.是斜边8C的中点,点E, 产分别在线段A3, 4c上,且NEDF = 90..〔1〕求证：△.所为等腰直角三角形：〔2〕假设△ABC的面积为7,求四边形AEDF•的面积：〔3〕如图〔2〕,如果点E运动到A8的延长线上时,点尸在射线C4上且保持ZEDF = 90°,△.石尸还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕 3.5：〔3〕是,理由见解析.【解析】【分析】〔1〕由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△ BD年△ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.瓦'为等腰直角三角形；〔2〕由题意分析可得S网边形AEDF=S MDF+S AADE=S ABDE+S ACDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；〔3〕根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△ BDE^ △ ADF〔ASA〕,进而分析证得△.所为等腰直角三角形.【详解】解：〔1〕证实：如图①,连接AD.「N BAC=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,/. AD±BC , AD=BD,・•, Z 1=Z B=45°,Z EDF=90% Z 2+Z 3=90%又,Z 3+Z 4=90°,/. Z 2=Z 4,在^ BDE 和^ ADF 中,Z 1=Z B, AD=BD,Z 2=Z 4,/. △ BDE合 , ADF(ASA),・•, DE二DF,又；Z EDF=90\・•・ ADEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF, NON 6=45., 又「N 2+N 3=90°, Z 2+Z 5=90%J Z 3=Z 5,A ADE级△ CDF,・' S N边H,AEDF=S AADF+S CADE二S ABDE+S^CDF,S MBC=2 S 网边毛AEDF,S wijn；AEDF=3.5.(3)是,如图②,连接AD.•/ Z BAC=90\ AB=AC, D 是斜边BC 的中点,/. AD±BC Z AD=BD ,「・Z 1=45°,Z DAF=180°-Z l=180°-45°=135% Z DBE=180°-Z ABC=180°-45°=135%/. Z DAF=Z DBE,「Z EDF=90\/. Z 3+Z 4=90%又；Z 2+Z 3=90°,「・Z 2=Z 4,在仆BDE 和a ADF 中,Z DAF=Z DBE, AD=BD,N 2=Z 4,△ BDE合△ ADF(ASA),・•.DE=DB又：Z EDF=90\.•.A DEF为等腰直角三角形.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.5.如图,在MBC中,ZC = 90°, AC = 3, BC = 7,点.是8c边上的动点,连接AD,以AO为斜边在A.的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的面积等于—；(2)连接CE,求证：CE是NAC3的平分线；(3)点.在6C边上,且CO = 1,当.从点.出发运动至点3停止时,求点E相应的运动路程.王O 1 _【答案】〔I〕—：〔2〕证实见解析：〔3〕 3点【解析】【分析】〔1〕根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得：〔2〕如下图作出辅助线,证实△AEM名ADEN 〔AAS〕,得至I] ME=NE,即可利用角平分线的判定证实：〔3〕由〔2〕可知点E在NACB的平分线上,当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=!〔AC + C.〕,根据CD的长度计算出CE的长度即可.【详解】解：〔1〕 ZC = 90°, AC = \ BC = 7= -ACxBC = -x3x7 = — ,故答案为：—2〔2〕连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N,AZEMA=Z END=90°,XVZACB=90SAZMEN=90%AZMED+Z DEN=90°,•••△ADE是等腰直角三角形AZAED=90\ AE=DEA ZAEM+Z MED=90%, ZAEM=Z DEN,在△AEM 与ZkDEN 中,ZEMA=Z END=90% ZAEM=Z DEN, AE=DEAAAEM^ADEN 〔AAS〕/. ME=NE,点E 在NACB 的平分线上, 即CE 是NAC3的平分线工(3)由(2)可知,点E 在NACB 的平分线上,・•・当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,VAAEM^ADEN,AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZiCME 与 RtZkCNE 中,CE=CE, ME=NE,ARtACME^RtACNE (HL)ACM=CN.,.CN=；(AC + CO),又YNMCE 二NNCE=45°, ZCME=90\・,. CE= y/2CN = —(AC + CD).2当 AC=3, CD=CO=1 时,CE=](3 + 1) = 2&当 AC=3, CD=CB=7 时,5CE=r (3 + 7) = 5 虚,点E 的运动路程为：50-20 = 30,£【点睛】此题考查了全等三角形的综合证实题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角 形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.6.如图1,在长方形ABCD 中,AB=CD=5 cm, BC=12 cm,点P 从点B 出发,以2cm/s 的 速度沿BC 向点C 运动,设点P 的运动时间为ts.(1) PC=—cm ：(用含t 的式子表示)■I) I)(2)当t 为何值时,△ABPg^DCP?.(3)如图2,当点P从点B开始运动,此时点Q从点C出发,以vcm/s的速度沿CD向点D运动,是否存在这样的v值,使得某时刻4ABP与以P, Q, C为顶点的直角三角形全等？假设存在,请求出v的值：假设不存在,请说明理由.【答案】(1) (12-2/)； (2)1 = 3;(3)存在,P = 2或忏1【解析】【分析】(1)根据P点的运动速度可得BP的长,再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长：(2)先根据三角形全等的条件得出当BP=CP,列方程求解即得；(3)先分两种情况：当BP=CQ, AB=PC 时,△ABPgZ\PCQ：或当BA=CQ, PB=PC 时,△ABPgaQCP,然后分别列方程计算出t的值,进而计算出v的值.【详解】解：(1)当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时3P = 2/57•・• BC = \2cin：.PC = BC-BP = (n-2i)cm故答案为：(12—27)(2) MBP = ^DCP・•. BP = CP・•・ 2/= 12-2/解得1 = 3.(3)存在,理由如下：①当BP=CQ, AB=PC 时,ZiABP名△PCQ,1. PC=AB=5.•.BP=BC-PC=12-5=7•・• BP = Item：.2t=7解得t=3.5.\CQ=BP=7,那么 3.5v=7解得y = 2.②当B4 = C.,PB = PC 时,MBP = \QCP,: BC = ncm,BP = CP = -BC = 6c7〃 2V BP = Item:.2t = 6解得/ = 3CQ = 3vcm,: AB = CQ = 5cm, 3v = 5解得U3综上所述,当u = 2或i,=,时,A48尸与以P, Q,C为顶点的直角三角形全等.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质,解题关键是将动态情况化为某一状态情况,并以这一状态为等量关系建立方程求解.7.：在MBC中,AB = AC,ZBAC = 90° ,尸Q为过点4的一条直线,分别过B、C两点作8M_LP0,CN_L尸.,垂足分别为M、N.(1)如图①所示,当P.与BC边有交点时,求证：MN = CN — BM ；(2)如图②所示,当与6C边不相交时,请写出线段8M、CN和MN之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)见解析：(2) MN = BM + CN (或BM = MN — CN或CN = MN-BM ),理由见解析【解析】【分析】(1)根据条件先证AAA/i运ACN4,得到AM = CN,BM = AN,即可证得MN = CN — BM： (2)由(1)知AAMBYACNA,得到4M =CN,8M = AN,即可确定MN = BM + CN.【详解】证实：・・・BM_LPQ,CN_LP0,・•. ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,AZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NMM)・•. ZBAM = ZACN,在AAMB和ACN4中,'ZAMB = 4CNA・.• ZBAM = AACN , AB = CA:.AAM“ACN4(A4S),.・.AM =CN,BM =AN,,: MN = AM-AN,:.MN = CN — BM.(2) MN = BM + CN (或BM=MN-CN或CN = MN-BM) .理由：•.・BM_LPQ,CN_LP.,・•・ ZAMB=ZCAN=90°,V ZBAC=90 ° ,.\ZCAN+ZACN=90°,ZCAN+ZBAM=90°(或NCW + NAC/V = NC4N+NBAM ),:.ZBAM = ZACN,在AAMB和ACNA中,'AAMB = ZCNAZ.B\M = ZACN , AB = CA：.AAM*ACNA( AAS),.・.AM =CN,BM =AN,:.MN = AN + AM = BM+CN.【点睛】此题考察三角形全等的应用,正确确定全等三角形是解题关键,由此得到对应相等的线段,确定它们之间的和差关系得到80、CN和MN之间的关系式.8.操作发现：如图,己知"配和"DE均为等腰三角形,AB=AC, AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点8, D, E在同一直线上,连接CE.(1)如图1, ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=55Q,求证：△BADgZkCAE；(2)在(1)的条件下,求N8EC的度数：拓广探索：(3)如图2,假设NC48=NEAD=120.,8D=4, CF为aBCE中8E边上的高,请直接写出讦的长度.【答案】(1)见解析：(2) 70°； (3) 2【解析】【分析】(1)根据SAS证实△BADg/kCAE即可.(2)利用全等三角形的性质解决问题即可.(3)同法可证4BAD丝ZkCAE,推出EC=BD=4,由NBEC=NBAC=12O0,推出NFCE=30°即可解决问题.(1)证实：如图1中,图1Z ABC=^ ACB = Z ADE=N AED, /. Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,AE=AD. AC=AB9：.△ BAD^ & CAE (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于O. •「N A8C=N4C8 = 55°,/. Z 84c=180° - 110° = 70°,BAD^△ CAE,Z ABO=Z ECO,Z EOC=ZAOB,・•, Z CEO = Z 840=70°,即 N BEC= 70°.(3)解：如图2中,A图2Z C48 = N EAD=120\•. Z BAD=A CAE,：AB=AC, AD=AE.△ BAD^ 4 CAE 〔SAS〕,•. Z BAD=A ACE. 8D=EC=4,同理可证N BEC- 8AC=120°,Z F£C=60%CFLEF,Z F=90",•. Z FCE=30\1•. EF=-EC=2. 2此题属于三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.9.在等边aABC中,点.是边8C上一点.作射线AO,点3关于射线AO的对称点为点E.连接CE并延长,交射线AO于点〔1〕如图,连接AE,①AE与AC的数量关系是；②设NBA尸=a,用.表示NBCF的大小；〔2〕如图,用等式表示线段A尸,CF.所之间的数量关系,并证实.【答案】⑴①AB二AE；②NBCF=.：(2)AF-EF=CF,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案；②由釉对称性,得：AE二AB, NBAF=NEAF=.,由△A3C是等边三角形,得AB=AC, ZBAC=ZACB=60° ,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解：(2)作NFCG=60°交AD于点G,连接BF,易证AFCG是等边三角形,得GF=FC,再证△ACG会ABCF(SAS),从而得AG=BF,进而可得至lj结论.【详解】(1)①•・•点4关于射线的对称点为点E , AAB和AE关于射线AD的对称,AAB=AE.故答案是:AB=AE;②•.•点3关于射线的对称点为点E , ,AE二AB, NBAF=NEAF=.,•二△A3c是等边三角形,AAB=AC, ZBAC=ZACB=60" ,：.ZEAC=60° -2a, AE=AC,ZACE=1[180 - (60 - 2a)] = 60 +6?,A ZBCF=ZACE-ZACB=60 +a-60°=a .(2) AF-EF=CF,理由如下：作NFCG=60.交AD于点G,连接BF,•••NBAF=NBCF=a , NADB=NCDF,A ZABC=ZAFC=60c ,••.△FCG是等边三角形,AGF=FC,•二△A3c是等边三角形,ABC=AC, ZACB=60° , AZACG=ZBCF=« .在AACG和ABCF中,CA = CBZACG = ABCF , CG = CF,AACG 仝ABCF(SAS),.,.AG=BF,•・•点4关于射线AO的对称点为点E , .\AG=BF=EF,VAF-AG=GF,.\AF-EF=CE【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.10.如图,AA8C是等边三角形,点.在边4c上〔“点D不与A,C重合〕,点石是射线5c上的一个动点〔点E不与点8,C重合〕,连接OE,以OE为边作作等边三角形hDEF,连接CF.〔1〕如图1,当.石的延长线与A3的延长线相交,且CF在直线OE的同侧时,过点D 作DG//AB, DG 交BC 于点、G ,求证：CF = EG ；〔2〕如图2,当.石反向延长线与A8的反向延长线相交,且.,尸在直线OE的同侧时,求证：CD = CE+CF；〔3〕如图3,当OE反向延长线与线段A8相交,且.,厂在直线O石的异侧时,猜测CD、CE、CP之间的等量关系,并说明理由.【答案】〔1〕证实见详解；〔2〕证实见详解：〔3〕 CF = CO-CE,理由见详解.【解析】【分析】(1)由AABC 是等边三角形,DG//AB,得NCDG=NA=60° , NACB=60.,ACDG 是等边三角形,易证AGDE仝ACDF(SAS),即可得到结论：(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝△ CDF(SAS),即可得到结论；(3)过点D作DG〃AB交BC于点G,易证A GDE仝A CDF(SAS),即可得到结论.【详解】(1)•・• AA3C是等边三角形,DG//AB, ：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ・•. ACQG是等边三角形,.\DG=DC.是等边三角形, .,.DE=DF, ZEDF=60° , A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和八CDF中,DE = DFNGDE = NCDF ,DG = DC.,.△GDE^A CDF(SAS),：.CF = EG ；(2)过点D作DG〃AB交BC于点G,如图2,•・• AABC是等边三角形,DG//AB、：.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,••・ACDG是等边三角形,:.DG=DC.•••ADE/是等边三角形,,DE=DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE> 即：ZGDE=ZCDF, 在4 GDE和^ CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF ,DG = DC.,.△GDE^ACDF(SAS),:・CF = GE,••. CD = CG = CE+GE = CE+CF(3)CF = CD + CE,理由如下：过点D作DG〃AB交BC于点G,如图3,•・・AA8C是等边三角形,DGUAB, .,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60" ,,ACDG是等边三角形, ADG=DC=GC.•・• ADEF是等边三角形, ,DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：NGDE=NCDF, 在A GDE和4 CDF中,DE = DFNGDE = ZCDF , DG = DCAAGDE^ACDF(SAS),,CF = G£=GC+CE=CD+CE.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。

全等三角形的判定一、选择题1.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（ ）A ．①B ．②C ．③D ．①和②【答案】C ．【解析】解带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．故选C ．2.如图，已知：∠A=∠D ，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC ≌△DEF 的是（）A ．∠E=∠B B ．ED=BC C ．AB=EFD ．AF=CD【答案】D ．【解析】添加AF=CD ，∵AF=CD ，∴AF+FC=CD+FC ，∴AC=FD ，在△ABC 和△DEF 中12A DAC DF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故选D ．3.下列关于两个三角形全等的说法：①三个角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等．正确的说法个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】①不正确，因为判定三角形全等必须有边的参与；②正确，符合判定方法SSS ；③正确，符合判定方法AAS ；④不正确，此角应该为两边的夹角才能符合SAS ．所以正确的说法有两个．故选B ．4.在△ABC 和△A ˊB ′C ′中，已知∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，在下面判断中错误的是（ ）A ．若添加条件AC=A ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′B ．若添加条件BC=B ′C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′C ．若添加条件∠B=∠B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′D ．若添加条件∠C=∠C ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′【答案】B.【解析】A ，正确，符合SAS 判定；B ，不正确，因为边BC 与B ′C ′不是∠A 与∠A ′的一边，所以不能推出两三角形全等；C ，正确，符合AAS 判定；D ，正确，符合ASA 判定；故选B ．5.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°，AB 上一点D 使AD=BC ，过点D 作DE ∥BC 且DE=AB ，连接EC ，则∠DCE 的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．45°【答案】B.【解析】如图所示，连接AE ．∵AE=DE，∴∠ADE=∠DAE，∵DE∥BC，∴∠DAE=∠ADE=∠B，∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE 与△CBA 中，DAE ACB AD BCADE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE﹣∠BAC=80°﹣20°=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE 是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC﹣∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180﹣40°）÷2=70°．故选B ．6.如图：AB=AC ，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则EC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．2.5【答案】B.【解析】在△ABE 与△ACF 中，∵A AAB AC B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△ACF（ASA ），∴AC=AB=5∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，故选B.二、填空题.7.如图，AB=AC ，要使△ABE≌△ACD，依据ASA ，应添加的一个条件是 ．【答案】∠C=∠B ．【解析】添加∠C=∠B，在△ACD 和△ABE 中，A AAB AC C B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，8.如图，AB∥CF，E 为DF 中点，AB=20，CF=15，则BD= 5 ．【答案】5.【解析】∵AB∥FC，∴∠ADE=∠EFC，∵E 是DF 的中点，∴DE=EF，在△ADE 与△CFE 中，ADE EFC DE EFAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∵AB=20，CF=15，∴BD=AB﹣AD=20﹣15=5．9.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则BD= ．【答案】5. 【解析】∵∠ABD+∠3=180°∠ABC+∠4=180°，且∠3=∠4，∴∠ABD=∠ABC在△ADB 和△ACB 中，1=2AB ABABD ABC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADB≌△ACB（ASA ），∴BD=BC=5．10.如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，可以在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC=CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长就是AB 的长，其中用到的数学原理是： .【答案】ASA ，全等三角形对应边相等 ．【解析】∵AB⊥MN，DE⊥MN，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴DE=AB．11.如图，在四边形ABCD 中，AB∥DC，AD∥BC，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中的一对全等三角形为 ．（写出一对即可）【答案】△ABC ≌△ADC.【解析】△ABC≌△ADC，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，在△ABC 与△ADC 中，BAC DCA AC CADAC BCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC≌△ADC（ASA ），∴AB=DC，BC=DA ，在△ABO 与△CDO 中，BAO DCO AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CDO（AAS ），同理可得：△BCO≌△DAO，三、解答题12.如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：BE=CD ．【答案】证明见解析．【解析】∵∠EBC=∠FCB，∠EBC+∠ABE=180°，∠FCB+∠FCD=180°，∴∠ABE=∠FCD，在△ABE 与△FCD 中，A F AB FCABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△FCD（ASA ），∴BE=CD．13.如图，点D 在AB 上，DF 交AC 于点E ，CF∥AB，AE=EC ．求证：AD=CF ．【答案】答案见解析.【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE．在△ADE 和△CFE 中，A ACF ADE CFE AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△CFE（AAS ）．∴AD=CF．14. 如图，锐角△ABC 中，∠BAC=60°，O 是BC 边上的一点，连接AO ，以AO 为边向两侧作等边△AOD 和等边△AOE，分别与边AB ，AC 交于点F ，G ．求证：AF=AG ．【答案】答案见解析.【解析】∵△AOD 和△AOE 是等边三角形，∴∠E=∠AOF=60°，AE=AO ，∠OAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠FAO=∠EAG=60°﹣∠CAO， 在△AFO 和△AGE 中， FAO EAG AO AEAOF E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFO≌△AGE（ASA ）， ∴AF=AG．。