简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质
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线 ＭＮ 垂足为 Ｍ， ， 则直线 ＭＮ恒过 轴上的一个定 点 Ｑ， 且点 Ｍ 的轨迹是以 Ｐ Ｑ为直径 的圆（ Ｑ除 点
外 ） ．
椭 圆在 点 Ａ处 的切 线
与极线 ＝ 交于点 Ｎ， 过点 Ⅳ作直线 Ａ Ｐ的垂线
ＭＮ， 足 为 Ｍ， 直线 ＭＮ恒 过 轴 上 的一 个 定 点 垂 则
一 一
ｌ
ｔ
，
当 ： 时 ， 的方 程 为 Ｙ＝ ， 然 直 线 ＭＮ ｔ ＭＮ ０显
是双曲 ≥一 １口 ０ｂ ０的 线口 Ｙ＝ （ ＞ ，＞ ） 极点和相 Ｄ 应极
线．
过 轴 一 Ｑ ， 因 ｅ 定 ，以 上 点 （ ｏ 为 是 值所 。 等） ． Ｑ ， 上 一 点故 线 Ｎ 过 轴 （ ０ 轴 的 定 ，直 Ｍ 恒 等） 为 上 定 Ｑ２） 一 点（， ｃ 了． ０
性 质． 性 质 １ 如 图 １ 已 ，
’ ２
Ｌ
性质 ２ 如 图 ２ 已知点 Ａ是 双 曲线－－ ＝１ ， ３ 一
Ⅳ 口 Ｄ
＾
知点 Ａ是 椭 圆 ＋ ＝１
Ｕ ￡ ，
＼ ／ 、
（ ０ ｂ＞ ） 口＞ ， ０ 上任 一点 ， 点 Ｐ（ ， ） Ｉ Ｉ ， 极 ｔ０ （ ＞口 ｔ
由于 Ｐ， 是定 点 ， ￣Ｐ ２＝９ 。 因此 Ｍ 的 Ｑ 且 Ｍ（ ０ ， 轨迹是以 Ｐ Ｑ为直 径 的 圆（ Ｑ除 外 ） 点 ．
定 义 ３ 点 Ｐ（，） ￡ ） 直线 ＝ 一 分 别 ｔ０ （≠０ 和 ｔ
是抛物线 Ｙ ＝ ｐ （ ＞ ） ２ｘ ｐ Ｏ 的极点和相应极线． 下面再给出与圆锥曲线 的极点和极线有关 的
Ｌ
Ⅳ
） ． 州 ， 上 ， 直 Ｍ 可 线 Ｎ 得
， 是直 线 ＭＮ 的方 程 为 于
性质 ２类似于性质 ｌ 可证 ， 此处从略．
性 质 ３ 如 图 ３ 已知 点 Ａ是 抛 物 线 ｙ ， ２＝
ＭＮ 的斜 率 为 一
（ｏ 任 点 点 （ ）＞ 号， ｐ ） 一 ， Ｐ，（ｏ≠） 应 ＞上 极 ￡ ， 相 ０
、 Ｙ１ ，
因为 ｔ 定值 ， 以 Ｑ（ 是 所 ｐ—ｔ０ 为 轴 上 的 一 ，） 定 点 ， 直 线 Ｍ 恒过 轴 上 一定 点 Ｑ（ ｔ０ ． 故 Ｎ ｐ— ，）
由于 Ｐ， Ｑ是 ２个 定 点 ， ￣Ｐ 且 ．ＭＱ＝９ 。 因 此 ０，
ＭＮ 的斜 率为 一
Ｙ１
， 是直 线 ＭＮ 的方 程为 于
第 ７期
彭世金 ： 简述与 圆锥 曲线的极 点和极线有 关的性 质
・２ ９・
简 述 与 圆 锥 曲 线 的 极 点 和 极 线 有 关 的 性 质
●彭 世金 （ 常德市第六中学 湖南常德 ４５ｏ ） １ｏ３
笔者通过对圆锥 曲线 的探究 ， 发现与圆锥 曲线 的极点和极线有关 的一个性质 ， 现介绍如下．
Ｊ
Ｑ， 且点 Ｍ 的轨迹 是以 Ｐ Ｑ为 直径 的圆 （ Ｑ除 点
外） ．
证 明 设 Ａ（ ， 。 ， 切 线 Ａ 的 方 程 为 。ｙ ） 则 Ｎ ＋
０ Ｄ
、 ‘ Ⅳ ／
图２
Ⅳ ｏ ｒ ， ．
图３
：１ 切 线 Ａ 与 极 线 ： ， Ⅳ ２的 交 点 为
ｙｌ
＝ Ｐ—ｔ ，
故直 线 ＭＮ 通过 轴上 一 点 Ｑ（ ｐ—ｔ ） ， ． ０
当 ＝ｔ ， 的方 程 为 Ｙ＝０ 显 然直 线 Ⅳ 时 ＭＮ ， 过 轴上 一 点 Ｑ（ ｚ０ ． ｐ— ， ）
Ⅳ一 ＿ ． ｐｔ） Ｎ Ｐ，得 线 ｆ￡ 二 由 （０， ￣Ａ 直 ， 旦１ ，Ｍ 可
ｙ一
Ｖ 耖 ＝ ｔ一） 一 １ 一 （ ， 一 一． ｔ Ｉ
－
．
垒 ＿ ） ￣ ２ － ： ＿ １ ＝一
／
当 ≠ 时， ｙ＝ 得 令 ０，
鱼 １ ＝￣ （ 一， ＿ ２ 一－ ， ＇ １ Ｙ 一 ＝ ｔ一） ～ 一 １ ． 解得 ：ｃ 了 ２ 故线 过轴 一 Ｑ２） 直 删通 上 点（， 了． ｃ 。
・
３ － Ｏ
中学教研 （ 学） 数
的极 线 为 ＝ 一ｔ抛 物 线 在 点 Ａ处 的切 线 与极 线 ． ＝一￡ 于点 Ⅳ， 点 Ⅳ 作直 线 Ａ 交 过 Ｐ的垂 线 ＭＮ， 垂
当 ≠ｔ时， Ｙ＝ ， １ 令 ０ 得
一 一
丛
ｙｌ
：一
一
（ ￡ ＋ ）
… ｌ
．
Ｖ一一 ｙ 一
旦 ：一 ＝一 一
（ ｆ． ｑ ） ｌ １
－
，
点 Ｍ 的轨迹是 以 Ｐ Ｑ为 直径 的 圆（ Ｑ除 外） 点 ．
由一 道 考题 引 出一类 二 次 曲线 的等 角 性质
●陈重 阳 （ 温州中学 浙江温州 ３５Ｏ ） ２ ｌＯ
翻 阅 ２ ｌ 浙 江 省普 通 高 中数 学 会 考 试 卷 ， Ｏ １年
（ ０＞ｂ ） 任 一 点 ， ＞０ 上 极
Ｉ ≠ｃ ， ｔ ） 相应 的极线 ＝了． Ｉ ａ 双曲线在 点 Ａ处 的切
点 Ｐ ｔ ） ｆＩ ，ｔ ≠ （， （ ｔ ＜口 ＩＩ ０
ｃｔ ） 相 应 的极 线 ＝ ，≠０ ，
２
图 １
线 极 争 于 Ｊ 点 作 线Ｐ 垂 与 线 ＝ 交 点７ Ⅳ 直 的 ｖ ， 过
先 给 出圆锥 曲线 的极点 和极 线 的定 义 ： 定 义 １ 点 Ｐ（， ） ｆ ） 直 线 ＝ 分 别 ０ （ ≠０ 和 是 椭 圆 ＋ ＝１ 口＞６＞ ） （ ０ 的极 点和 相应 极线 ． 定 义 ２ 点 Ｐ（， ） ｔ ） ０ （≠０ 和直 线 ＝ 分 别
足为 Ｍ， 则直线 Ｍ Ｎ恒过 轴上 的一个定点 Ｑ 且 ，
点 的轨 迹 是 以 Ｐ Ｑ为直 径 的圆 （ Ｑ除 外 ） 点 ． 证 明 设 Ａ（ ， ， 切 线 Ａｖ的 方 程 为 Ｙ） 则 Ｊ ７ ＹＹ： （ ＋ ， 线 Ａ７ ｌ ｐ ｌ ） 切 Ｊ ｖ与极 线 ＝ 一 ｔ的交 点 为 解得
外 ） ．
椭 圆在 点 Ａ处 的切 线
与极线 ＝ 交于点 Ｎ， 过点 Ⅳ作直线 Ａ Ｐ的垂线
ＭＮ， 足 为 Ｍ， 直线 ＭＮ恒 过 轴 上 的一 个 定 点 垂 则
一 一
ｌ
ｔ
，
当 ： 时 ， 的方 程 为 Ｙ＝ ， 然 直 线 ＭＮ ｔ ＭＮ ０显
是双曲 ≥一 １口 ０ｂ ０的 线口 Ｙ＝ （ ＞ ，＞ ） 极点和相 Ｄ 应极
线．
过 轴 一 Ｑ ， 因 ｅ 定 ，以 上 点 （ ｏ 为 是 值所 。 等） ． Ｑ ， 上 一 点故 线 Ｎ 过 轴 （ ０ 轴 的 定 ，直 Ｍ 恒 等） 为 上 定 Ｑ２） 一 点（， ｃ 了． ０
性 质． 性 质 １ 如 图 １ 已 ，
’ ２
Ｌ
性质 ２ 如 图 ２ 已知点 Ａ是 双 曲线－－ ＝１ ， ３ 一
Ⅳ 口 Ｄ
＾
知点 Ａ是 椭 圆 ＋ ＝１
Ｕ ￡ ，
＼ ／ 、
（ ０ ｂ＞ ） 口＞ ， ０ 上任 一点 ， 点 Ｐ（ ， ） Ｉ Ｉ ， 极 ｔ０ （ ＞口 ｔ
由于 Ｐ， 是定 点 ， ￣Ｐ ２＝９ 。 因此 Ｍ 的 Ｑ 且 Ｍ（ ０ ， 轨迹是以 Ｐ Ｑ为直 径 的 圆（ Ｑ除 外 ） 点 ．
定 义 ３ 点 Ｐ（，） ￡ ） 直线 ＝ 一 分 别 ｔ０ （≠０ 和 ｔ
是抛物线 Ｙ ＝ ｐ （ ＞ ） ２ｘ ｐ Ｏ 的极点和相应极线． 下面再给出与圆锥曲线 的极点和极线有关 的
Ｌ
Ⅳ
） ． 州 ， 上 ， 直 Ｍ 可 线 Ｎ 得
， 是直 线 ＭＮ 的方 程 为 于
性质 ２类似于性质 ｌ 可证 ， 此处从略．
性 质 ３ 如 图 ３ 已知 点 Ａ是 抛 物 线 ｙ ， ２＝
ＭＮ 的斜 率 为 一
（ｏ 任 点 点 （ ）＞ 号， ｐ ） 一 ， Ｐ，（ｏ≠） 应 ＞上 极 ￡ ， 相 ０
、 Ｙ１ ，
因为 ｔ 定值 ， 以 Ｑ（ 是 所 ｐ—ｔ０ 为 轴 上 的 一 ，） 定 点 ， 直 线 Ｍ 恒过 轴 上 一定 点 Ｑ（ ｔ０ ． 故 Ｎ ｐ— ，）
由于 Ｐ， Ｑ是 ２个 定 点 ， ￣Ｐ 且 ．ＭＱ＝９ 。 因 此 ０，
ＭＮ 的斜 率为 一
Ｙ１
， 是直 线 ＭＮ 的方 程为 于
第 ７期
彭世金 ： 简述与 圆锥 曲线的极 点和极线有 关的性 质
・２ ９・
简 述 与 圆 锥 曲 线 的 极 点 和 极 线 有 关 的 性 质
●彭 世金 （ 常德市第六中学 湖南常德 ４５ｏ ） １ｏ３
笔者通过对圆锥 曲线 的探究 ， 发现与圆锥 曲线 的极点和极线有关 的一个性质 ， 现介绍如下．
Ｊ
Ｑ， 且点 Ｍ 的轨迹 是以 Ｐ Ｑ为 直径 的圆 （ Ｑ除 点
外） ．
证 明 设 Ａ（ ， 。 ， 切 线 Ａ 的 方 程 为 。ｙ ） 则 Ｎ ＋
０ Ｄ
、 ‘ Ⅳ ／
图２
Ⅳ ｏ ｒ ， ．
图３
：１ 切 线 Ａ 与 极 线 ： ， Ⅳ ２的 交 点 为
ｙｌ
＝ Ｐ—ｔ ，
故直 线 ＭＮ 通过 轴上 一 点 Ｑ（ ｐ—ｔ ） ， ． ０
当 ＝ｔ ， 的方 程 为 Ｙ＝０ 显 然直 线 Ⅳ 时 ＭＮ ， 过 轴上 一 点 Ｑ（ ｚ０ ． ｐ— ， ）
Ⅳ一 ＿ ． ｐｔ） Ｎ Ｐ，得 线 ｆ￡ 二 由 （０， ￣Ａ 直 ， 旦１ ，Ｍ 可
ｙ一
Ｖ 耖 ＝ ｔ一） 一 １ 一 （ ， 一 一． ｔ Ｉ
－
．
垒 ＿ ） ￣ ２ － ： ＿ １ ＝一
／
当 ≠ 时， ｙ＝ 得 令 ０，
鱼 １ ＝￣ （ 一， ＿ ２ 一－ ， ＇ １ Ｙ 一 ＝ ｔ一） ～ 一 １ ． 解得 ：ｃ 了 ２ 故线 过轴 一 Ｑ２） 直 删通 上 点（， 了． ｃ 。
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３ － Ｏ
中学教研 （ 学） 数
的极 线 为 ＝ 一ｔ抛 物 线 在 点 Ａ处 的切 线 与极 线 ． ＝一￡ 于点 Ⅳ， 点 Ⅳ 作直 线 Ａ 交 过 Ｐ的垂 线 ＭＮ， 垂
当 ≠ｔ时， Ｙ＝ ， １ 令 ０ 得
一 一
丛
ｙｌ
：一
一
（ ￡ ＋ ）
… ｌ
．
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旦 ：一 ＝一 一
（ ｆ． ｑ ） ｌ １
－
，
点 Ｍ 的轨迹是 以 Ｐ Ｑ为 直径 的 圆（ Ｑ除 外） 点 ．
由一 道 考题 引 出一类 二 次 曲线 的等 角 性质
●陈重 阳 （ 温州中学 浙江温州 ３５Ｏ ） ２ ｌＯ
翻 阅 ２ ｌ 浙 江 省普 通 高 中数 学 会 考 试 卷 ， Ｏ １年
（ ０＞ｂ ） 任 一 点 ， ＞０ 上 极
Ｉ ≠ｃ ， ｔ ） 相应 的极线 ＝了． Ｉ ａ 双曲线在 点 Ａ处 的切
点 Ｐ ｔ ） ｆＩ ，ｔ ≠ （， （ ｔ ＜口 ＩＩ ０
ｃｔ ） 相 应 的极 线 ＝ ，≠０ ，
２
图 １
线 极 争 于 Ｊ 点 作 线Ｐ 垂 与 线 ＝ 交 点７ Ⅳ 直 的 ｖ ， 过
先 给 出圆锥 曲线 的极点 和极 线 的定 义 ： 定 义 １ 点 Ｐ（， ） ｆ ） 直 线 ＝ 分 别 ０ （ ≠０ 和 是 椭 圆 ＋ ＝１ 口＞６＞ ） （ ０ 的极 点和 相应 极线 ． 定 义 ２ 点 Ｐ（， ） ｔ ） ０ （≠０ 和直 线 ＝ 分 别
足为 Ｍ， 则直线 Ｍ Ｎ恒过 轴上 的一个定点 Ｑ 且 ，
点 的轨 迹 是 以 Ｐ Ｑ为直 径 的圆 （ Ｑ除 外 ） 点 ． 证 明 设 Ａ（ ， ， 切 线 Ａｖ的 方 程 为 Ｙ） 则 Ｊ ７ ＹＹ： （ ＋ ， 线 Ａ７ ｌ ｐ ｌ ） 切 Ｊ ｖ与极 线 ＝ 一 ｔ的交 点 为 解得
