高中数学选修2-2课后习题答案[人教版].doc

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用[学习目标]1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．2．在解决问题的过程中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分的几何意义的理解． [知识链接]1．怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．2．当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以S ＝⎠⎛a b (0－f (x ))d x ＝－⎠⎛abf (x )d x . [预习导引]曲边梯形面积的表达式(1)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠ b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)(如图)当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .要点一 不分割型图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝⎠⎛2－3[(－x ＋2)－(x 2－4)]d x ＝⎠⎛2－3(－x 2－x ＋6)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－12x 2＋6x ⎪⎪⎪2－3＝223－⎝⎛⎭⎫－272＝1256. 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．跟踪演练1 求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成的图形的面积． 解由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛02[(2x －x 2)－(2x 2－4x )]d x＝⎠⎛02(－3x 2＋6x )d x＝(－x 3＋3x 2)⎪⎪⎪2＝4.要点二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 法一 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，及 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二 若选积分变量为y ，则三个函数分别为 x ＝y 2，x ＝2－y ，x ＝－3y .因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛0－1[(2－y )－(－3y )]d y ＋⎠⎛10[(2－y )－y 2]d y＝⎠⎛0－1(2＋2y )d y ＋⎠⎛10(2－y －y 2)d y＝(2y ＋y 2)⎪⎪⎪－1＋⎝⎛⎭⎫2y －12y 2－13y 3⎪⎪⎪1＝－(－2＋1)＋2－12－13＝136.规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时，可通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区间段，然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x 运算较为复杂，可以选y 为积分变量，同时更改积分的上下限． 跟踪演练2 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S . 解作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为 S ＝⎠⎛01x d x －⎠⎛01x 3d x ＝23x 32⎪⎪⎪10－14x 4⎪⎪⎪1＝23－14＝512. 要点三 定积分的综合应用例3 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 又f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根， 即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)画函数y ＝f (x )的图象如图． 由图象知所求面积为 S ＝⎠⎛0－1(x 2＋2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪－1 ＝13.规律方法 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面积是一种基本的运算技能．在这种题型中往往与导数、函数的最值、不等式等相关知识进行融合．跟踪演练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解 设切点A (x 0，x 20)， 切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝x 02，∴S ＝∫x 020x 2d x ＋∫x 0x 02[x 2－(2x 0x －x 20)]d x ＝112x 30.∴112x 30＝112，x 0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为y ＝2x －1.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝⎠⎛ba [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f (x )d x －⎠⎛47f (x )d x S ＝⎠⎛0a [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D解析 ①应是S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝⎠⎛0822x d x －⎠⎛48(2x －8)d x ，③和④正确．故选D.2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( )A ．2B ．3C ．52D ．4答案 B解析 S ＝∫π20cos x d x －∫3π2π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪π20－sin x 3π2π2＝sin π2－sin 0－ sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 43解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.∴曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－13x 320＝⎝⎛⎭⎫4－83－0＝43. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________． 答案193解析由图形可得S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋4x －52x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x 41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.一、基础达标 1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( ) A. ⎠⎛ac f (x )d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛ac f (x )d xC ． ⎠⎛ab f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD.⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0， ∴阴影部分的面积S ＝⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x .2．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( ) A.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d xC ．⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d xD ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x答案 C解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ；当f (x )≤g (x )时，所求面积为⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x .综上，所求面积为⎠⎛ab |f (x )－g (x )|d x .3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d xC ．⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x答案 C解析 y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方， 其定积分为正，故应选C.4．(2013·北京卷)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C ．83D ．1623答案 C解析 抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)，因为直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，所以直线l 的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x 2＝4y，可得交点的横坐标分别为－2,2.所以直线l 与抛物线围成的封闭图形面积为 ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫x －112x 32－2＝83.故选C. 5．由曲线y ＝x 与y ＝x 3所围成的图形的面积可用定积分表示为________．答案 ⎠⎛01(x －x 3)d x解析 画出y ＝x 和y ＝x 3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝x 3得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 3)d x .6．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．答案 43解析 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)， y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x ＝43.7．求曲线y ＝6－x 和y ＝8x ，x ＝0围成图形的面积． 解作出直线y ＝6－x ，曲线y ＝8x 的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6－xy ＝8x 得直线y ＝6－x 与曲线y ＝8x 交点的坐标为(2,4)，直线y ＝6－x 与x轴的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积 S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛028x d x ＋⎠⎛26(6－x )d x ＝8×23x 32 ⎪⎪20⎪⎪＋(6x －12x 2)62＝ 163＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫6×6－12×62－⎝⎛⎭⎫6×2－12×22＝ 163＋8＝403. 二、能力提升8．(2013·江西改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C ．56D ．不存在答案 C 解析数形结合，如图，⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 221 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 9．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )A.13 B ．12C ．1D ．23答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝cx 3得x ＝0或x ＝1c.∵0<x <1c时，x 2>cx 3，∴S ＝∫1c 0(x 2－cx 3)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14cx 41c 0 ＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18.∴c ＝12.10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得：S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13f (－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x 31＝2－43＝23. 12．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2. (1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值． 解 (1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2)， 直线OP 的方程为y ＝tx . S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，S 2＝⎠⎛12(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋16t 3.因为S 1＝S 2，所以t ＝43，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. (2)S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3＝13t 3－2t ＋83，S ′＝t 2－2，令S ′＝0得t 2－2＝0.∵0<t <2，∴t ＝2， 因为0<t <2时，S ′<0；2<t <2时，S ′>0.所以，当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－423，此时点P 的坐标为(2，2)．三、探究与创新13．已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．解 作出y ＝x 2－2x 的图象如图．(1)当a <0时， S ＝⎠⎛a0(x 2－2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 20a ＝－a 33＋a 2＝43， ∴(a ＋1)(a －2)2＝0.∵a <0，∴a ＝－1. (2)当a >0时，①若0<a ≤2，则S ＝－⎠⎛0a (x 2－2x )d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2a0 ＝a 2－13a 3＝43，∴a 3－3a 2＋4＝0，∴(a ＋1)(a －2)2＝0. ∵a >0，∴a ＝2.②当a >2时，不合题意． 综上a ＝－1，或a ＝2.。

1.3.2函数的极值与导数[学习目标]1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．[知识链接]在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.[预习导引]1．极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．要点一求函数的极值例1求函数f(x)＝13x3－4x＋4的极值．解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝28 3.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43. 规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪演练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值． 解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1 ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ， ∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解之得⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.要点三函数极值的综合应用例3设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x＞2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－42，5＋42)．规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪演练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)或即k＜－4或k＞4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6 答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．答案9解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝2a18＝1，所以a＝9.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.一、基础达标1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2 B．3C．6 D．9答案 D解析f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值答案 C解析 由y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ＜－1或x ＞3时，y ′＞0，当－1＜x ＜3时，y ′<0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．5．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.6．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．7．求函数f (x )＝x 2e －x 的极值． 解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2. 二、能力提升8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝3sin πxm .若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 由f (x )＝3sin πxm 的图象知，在x ＝x 0处，f (x 0)＝3，或f (x 0)＝－3，即[f (x 0)]2＝3，又πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k∈Z )，∴|x 0|≥|m |2，∴x 20＋[f (x 0)]2≥m 24＋3，∴m 24＋3<m 2，∴m 2>4，∴m >2或m <－2.故选C.9．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，并不是最大值点．故A 错；f (－x )相当于f (x )关于y 轴的对称图象的函数，故－x 0应是f (－x )的极大值点，B 错；－f (x )相当于f (x )关于x 轴的对称图象的函数，故x 0应是－f (x )的极小值点．跟－x 0没有关系，C 错；－f (－x )相当于f (x )关于坐标原点的对称图象的函数．故D 正确． 10．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 答案③解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数，同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m ＞0)有极大值－52，求m 的值． 解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0， x 取足够小的负数时，有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，∴a ＜－527或a ＞1，∴当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0. (1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f′(x)＝e x－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝(x0＋1)2x0＋2＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.。

1.6 微积分基本定理[学习目标]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .[预习导引] 1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．函数f (x )与其一个原函数的关系 (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln_x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos_x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin_x .要点一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分 (1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛2(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛21(x －1)5d x＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c .跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x －1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0) ＝e 2－e －ln 2.要点二 求较复杂函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ， 又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ′＝2x ＋1x， ∴⎠⎛41(2x ＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x ln 2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分： (1)∫π30(sin x －sin 2x )d x ；(2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x .解 (1)sin x －sin 2x 的一个原函数是－cos x ＋ 12cos 2x ，所以∫π30(sin x －sin 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ， ∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2x d x＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln 2＝e ln 2＋12e 2ln 2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝ 23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0， ②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2. (2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)， 又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.林老师网络编辑整理1．∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴⎪⎪∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )π2－π2 ＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫π20f (x )d x ＋错误!f (x )d x＝∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ＝(2x 2－2πx )错误!＋sin x ⎪⎪⎪ππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞∑i ＝1n b －an s ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－23答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，② 由①②得a ＝－3，b ＝－9. 二、能力提升8．∫π20sin 2x2d x 等于( )A.π4 B ．π2－1C ．2D ．π－24答案 D解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 9．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ． S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3， 所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a 1b x d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值． 解 由积分的性质，知： ⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2. 三、探究与创新13．求定积分⎠⎛3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛3－4(x ＋a )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎜⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛3－a(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛3－4[－(x ＋a )]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 22－ax 3－4＝ －7a ＋72. 综上，得⎠⎛3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

1.6 微积分基本定理[学习目标]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .[预习导引] 1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．函数f (x )与其一个原函数的关系 (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln_x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos_x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin_x .要点一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分 (1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛2(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛21(x －1)5d x＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c .跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln2)－(e －0) ＝e 2－e －ln2.要点二 求较复杂函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ， 又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln2＋2x ′＝2x ＋1x，∴⎠⎛41(2x ＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2xln2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln2＋2＝14ln2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分： (1)∫π30(sin x －sin2x )d x ；(2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x .解 (1)sin x －sin2x 的一个原函数是－cos x ＋ 12cos2x ，所以∫π30(sin x －sin2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ， ∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2x d x＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln2＝e ln2＋12e 2ln2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0， ②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin0－0) ＝43－π2.(2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.1．∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴⎪⎪∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x 错误!＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 3．⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫π20f (x )d x ＋错误!f (x )d x＝∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ＝(2x 2－2πx )错误!＋sin x 错误!，即错误!f (x )d x ＝－错误!π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－23答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9. 二、能力提升8．∫π20sin 2x2d x 等于( )A.π4 B ．π2－1C ．2D ．π－24答案 D解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 9．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a1b x d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3.12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值．解 由积分的性质，知：经典小初高讲义小初高优秀教案 ⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221 ⎪⎪＋2x ln232 ＝14＋432－23＋8ln2－4ln2＝－512＋432＋4ln2. 三、探究与创新13．求定积分⎠⎛3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛3－4(x ＋a )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛3－a(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛3－4[－(x ＋a )]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 22－ax 3－4＝ －7a ＋72. 综上，得⎠⎛3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。