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微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
利用微分中值定理，我们可以解决一些与平均速率、瞬时速率和变化率有关的实际问题，比如求解曲线在某一点的斜率、判断函数在某一区间内的增减性等等。
在这篇文章中，我们将介绍微分中值定理的应用，并通过实际例子来说明如何利用微分中值定理解决实际问题。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它描述了函数在某一区间内的平均速率与瞬时速率之间的关系。
微分中值定理有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
在这里我们主要讨论拉格朗日中值定理，它的表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中f'(ξ)表示函数f(x)在点ξ处的导数。
二、求解曲线在某一点的斜率利用微分中值定理，我们可以求解曲线在某一点的斜率。
我们要求解函数y = x^2在点x = 2的斜率。
首先我们需要计算函数在区间[1, 3]上的平均速率：然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(1, 3)，使得f'(ξ) = 4。
函数y = x^2在点x = 2的斜率为4。
三、判断函数在某一区间内的增减性f'(x) = 3x^2然后根据微分中值定理，存在一个ξ∈(0, 2)，使得f'(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = 2ξ^2。
由此可知，当ξ>0时，f'(ξ)>0；当ξ<0时，f'(ξ)<0。
函数y = x^3在区间[0, 2]上是递增的。
四、其他应用除了上述两个例子外，微分中值定理还可以应用于其它实际问题的求解。
利用微分中值定理可以证明罗尔定理和拉格朗日中值定理等，也可以用于解决曲线的凹凸性问题、优化问题等。
微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是导数与函数之间的关系的重要推论。
本文将介绍微分中值定理的概念以及其在实际问题中的应用。
一、微分中值定理的概念微分中值定理是数学分析中的一个重要定理，它是由罗尔定理和拉格朗日中值定理推导出的。
该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，并且在区间端点a和b的函数值相等（f(a) = f(b)），那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
这一定理的直观解释是：如果一个连续函数在两个点的函数值相等，并且在两点之间的某个地方斜率为零，那么在该点一定存在切线与横轴平行。
二、导数的应用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
通过导数的概念和性质，我们可以在实际问题中进行一些有用的应用。
1. 最值问题导数可以用来求解函数的最值问题。
在闭区间上的连续函数中，如果在某一点的导数为零或不存在，那么这一点可能是函数的极值点。
通过求解导数为零的方程，可以找到函数的极值。
2. 凹凸性和拐点问题导数可以用来研究函数的凹凸性和拐点问题。
通过分析函数的二阶导数（导数的导数），可以确定函数的凹凸性以及拐点的位置。
3. 曲线的切线和法线问题导数可以用来求解曲线的切线和法线问题。
切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线斜率的负倒数。
三、微分中值定理的应用微分中值定理是导数与函数之间的重要关系推论，它在实际问题中有着广泛的应用。
1. 速度与加速度微分中值定理可以用来解决速度与加速度的问题。
对于一个运动的实体，在某一时间段内，他的速度可能为零，这意味着他的加速度为零。
这可以通过微分中值定理得到证明。
2. 经济学中的应用微分中值定理在经济学中也有广泛的应用。
例如，在某个时间段内，一个消费品的价格可能保持不变，这意味着该消费品的边际效用或边际收益为零。
这可以用微分中值定理来解释。
3. 物理学中的应用微分中值定理在物理学中也有重要的应用。
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。
由此可知，对于深入的了解微分中值定理,可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系,而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系［1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根(零点)的存在性， 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
中值定理的内容及联系 基本内容［4]［5]对于,微分中值定理的了解,我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。
而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。
它们分别是“罗尔(Rolle ）定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西（Cauchy ）定理”。
这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
Lagrange 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导,则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()()=f b f a f b a ξ-'-Cauchy 定理设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
大学高等数学：第五章第一讲微分中值定理（四大定理）上一章里我们学习了定积分的概念、性质、基本公式及应用。
本章我们学习微分学中的基本定理及其应用。
本章包含了微分学中最重要的理论部分(微分学中的重要定理--微分中值定理)和它的若干重要应用。
函数的许多重要性质如单调性，极值点，凹凸性等均由函数增量与自变量增量间的关系来表达，微分中值定理(拉格朗日中值定理与柯西中值定理)正是建立了函数增量、自变量与导数间的联系，因此，根据它，可以用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点。
在理解有关定理的基础上，掌握用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，并体现在函数的作图上(包括求函数的渐近线) 微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。
要掌握求最值的方法并会解简单的应用题。
求最值关键是求驻点。
由柯西中值定理导出的洛必达法则是求某些未定式极限的有力工具，这已在第一章中复习过。
微分中值定理及由它导出的一些重要定理还有其他应用。
如讨论函数在给定区间内零点的个数，证明函数恒等式或不等式以及证明函数或导函数在某区间存在满足某种特征的点等等。
通过学习本章的基本内容和典型题型的解题方法和技巧，力图学会一些论证的方法，如变量替换法和辅助函数法。
这是实现由未知向已知转化中常用的方法。
辅助函数的构造技巧性较强，要求读者学习怎样从题目所给条件进行分析推导，逐步导出所需的辅助函数或从所要证明的结论中倒出所要构造的辅助函数。
还要充分重视直观与分析相结合的方法。
常常是直观的几何图形会帮助我们去思考问题。
拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形，而它们的证明却是从特殊到一般。
(一)极值的定义(二)微分中值定理及其几何意义罗尔定理首先，我们观察图3-1，设曲线弧AB是函数y=f(x)(x∈[a,b])的图形，这是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，可以发现在曲线弧的最高点C处或最低点D处，曲线有水平的切线，如果记点C的横坐标为n，那么就有f'(n)=0.现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就可得下面的罗尔定理，为了应用方便，先介绍费马(Fermat)引理。
微分中值定理与泰勒公式内容要点微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述函数在一些区间内的平均变化率与一些点处的瞬时变化率之间的关系。
泰勒公式是函数在一些点附近的局部展开式，它可以用来近似计算函数的值。
下面将详细介绍微分中值定理和泰勒公式的内容要点。
一、微分中值定理微分中值定理是由法国数学家Cauchy于1821年提出，并由德国数学家Rolle于1691年和法国数学家Lagrange于1797年分别独立给出证明。
微分中值定理主要有三个不同的版本：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的最简单形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的端点a和b处可导，并且在这两个端点处的函数值相等（f(a)=f(b)），那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数为零。
罗尔中值定理可以应用于证明其他定理，例如求函数零点的存在性、证明最大值和最小值的存在性等。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最常用形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数等于函数在区间两端点连线上的斜率。
拉格朗日中值定理可以应用于证明平均值定理、证明函数的单调性、证明函数的增减性等。
3.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的一般形式。
它表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
换句话说，在一定条件下，函数在区间内至少存在一点处的导数之比等于函数在区间两端点连线上函数值之差的比值。
广义微分中值定理及其在求未定式极限中的应用微分学是数学中的一门重要分支，研究函数的变化率及其性质。
而广义微分中值定理是微分学中的一个基本理论，通过该定理可以推导出一系列有关函数极限的重要结论。
本文将从广义微分中值定理的概念出发，探讨其在求未定式极限中的应用。
一、广义微分中值定理的概念与表述广义微分中值定理是微分学的核心概念之一，它描述了函数在某个区间上的导数与函数在该区间端点处取值之间的关系。
其基本思想是：若某个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的内部可导，则存在至少一个点，该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
具体表述如下：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)使得f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。
这个定理有一个很重要的推论，即：若函数具有导数，则在某一点上的瞬时变化率等于平均变化率。
这是微分学的基本观念，也是后续讨论未定式极限的基础。
二、广义微分中值定理在求未定式极限中的应用未定式极限是微积分中的一个重要概念，指的是在计算极限时遇到形如0/0或∞/∞等不定型的情况。
通过应用广义微分中值定理，可以对这类未定式进行化简，从而求出准确的极限值。
1. 0/0型极限设lim(x→a) f(x) = 0，lim(x→a) g(x) = 0，且f(x)和g(x)在点a的某个邻域内可导。
若lim(x→a) f'(x)/g'(x)存在，那么有：lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)。
2. ∞/∞型极限设lim(x→∞) f(x) = ∞，lim(x→∞) g(x) = ∞，且f(x)和g(x)在某个区间(a,∞)内可导。
若lim(x→∞) f'(x)/g'(x)存在，那么有：lim(x→∞) f(x)/g(x) = lim(x→∞) f'(x)/g'(x)。
高等数学----微分中值定理个人总结1.罗尔定理中三条件，闭区间连续，开区间可导，端点处函数值相等是充分的。
但不代表结论成立，就一定满足这三个条件。
2.拉格朗日中值定理只有两个条件，闭区间连续，开区间可导，罗尔定理可看做是其特例：但罗尔定理可用于证明拉格朗日中值定理：（利用上述提到的弦线）得名有限增量定理。
推论：3.由拉格朗日中值定理可推广至柯西中值定理，闭区间连续，开区间可导，在开区间内做分母函数的一阶导数不等于零。
由一个函数推广至多个函数。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理均可构造辅助函数用罗尔定理证明。
3.泰勒公式是用“以直代曲”引入的。
用x0处的切线近似代替x0附近的曲线解决函数问题，但这种代替效果并不太好，而且不知道误差大小，只知其是一个比x-x0高阶无穷小。
但如果函数有高阶导数，便可用泰勒公式去代替曲线，说白了，泰勒公式是一个高次多项式，可能比原函数更容易研究。
*麦克劳林公式其实就是泰特多项式的特例说用泰勒公式其实最多的就是用麦克劳林公式。
熟记常用麦克劳林公式即可。
微分中值定理之间的关系：微分中值定理应用1.证明根的存在性；2.证明不等式3.求极限；4.证明函数连续性；5.解决含高阶导数的中值问题；6.求近似值；7.解决倒数估值问题；*洛必达法则洛必达法则用于解决0比0形和无穷比无穷型未定式的极限问题。
但解决极限问题时把等价无穷小的知识与洛必达法则结合无疑是个好方法。
*函数的单调性与凹凸性单调性由一阶导数决定，凹凸性由二阶导数决定，二者都是通过判断导函数的正负号来判断原函数的单调性与凹凸性的，但原函数的根的问题及导函数的正负号也可通过进一步求导得其单调性从而求得所需。
定理2的逆命题不成立，也就是说二阶导函数等于零的点不一定是原函数的拐点。
这一结论和函数驻点与单调性的关系相类似。
另有如果函数的前N阶导数存在且都等于零，第N+1阶导数存在且不为零，则可根据第N+1阶导数的正负号判断原函数的凹凸性。
精品《微分中值定理的总结和应用》微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它是研究函数导数性质的基础工具之一、本文将对微分中值定理进行总结和应用的探讨。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。
拉格朗日中值定理是微分学中最基本的中值定理之一，它是由拉格朗日在《微积分学》中给出的。
拉格朗日中值定理表明，对于连续函数f(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），在(a,b)内存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换言之，函数在两点间的斜率等于函数特定点处的导数。
柯西中值定理是微分中值定理的推广和拓展，它是由柯西在《微分学入门》中给出的。
柯西中值定理表明，对于连续函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可导（在(a,b)内），且g'(x)≠0，那么在(a,b)内存在一点c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
换言之，函数f(x)和g(x)在两点间的斜率比等于函数f(x)和g(x)特定点处的导数比。
微分中值定理的主要应用包括寻找函数极值、证明不等式、函数图像的研究等。
在寻找函数极值时，利用微分中值定理可以通过导数的正负性来判断函数在特定点的增减性和极值性。
在证明不等式中，微分中值定理的应用可以将原不等式转化为导数的不等式，从而证明原不等式的成立。
在函数图像的研究中，微分中值定理可以通过导数的性质来研究函数的凹凸性、拐点等。
微分中值定理在物理、经济等学科中也有广泛的应用。
在物理学中，利用微分中值定理可以研究物理量的变化率以及速度与加速度之间的关系。
在经济学中，微分中值定理可以用于研究收入弹性、边际效用等经济问题。
综上所述，微分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它可以帮助我们研究函数导数的性质，寻找函数极值，证明不等式以及函数图像的研究等。
同时，微分中值定理在物理、经济等学科中也有着广泛的应用。
第１６卷第５期（２０１１） 甘音离．圩 才艮 Ｖ０１．１６ Ｎｏ．５（２０１１） 浅析微分中值定理的应用 杨旭婷 （天津师范大学数学科学学院，天津３００３８７）
摘要：微分中值定理是微分学的理论基础，为研究函数的整体性态提供了有力的分析工具．该文较为系统 地阐述了各个不同的中值定理之间的等价性，并通过丰富的例子详细介绍了中值定理在各种不同问题中的应用． 关键词：Ｒｏｌｌｅ中值定理；Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理；Ｃａｕｃｈｙ中值定理 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—９０２０（２０１１）０５—０１２—０２
导数本质上只反映函数在一点的局部特征，如果我们希 望了解一个函数的大范围特性，我们就必须在局部与整体之 间建立某种联系，而微分中值定理正是建立这种联系的桥梁． 微分中值定理通常包括Ｒｏｌｌｅ中值定理，Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理， Ｃａｕｃｈｙ中值定理，它们组成了微分学的理论基础．由于中值 定理建立了函数值与导数值之间的定性、定量关系，因而成 为我们研究函数性态的有力工具．在这篇短文中，我们试图对 中值定理及其应用做一个较为系统的阐述和总结． １．微分中值定理及其相互联系 １．１中值定理及其几何意义 我们首先来叙述三个基本的中值定理并解释其几何意义． 定理１．Ｉ（Ｒｏｌｌｅ中值定理）设函数厂在ａ，６】上连续且在 （ｏ，ｂ）内可导，又． ｏ） ６），则至少存在一点 。 （。，ｂ），使得 ｆ（ｘｏ）＝０． 几何意义：满足定理条件的函数厂在（ａ，ｂ）内的曲线上至 少存在一条水平切线． 定理１．２（Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理）设函数＿厂在ａ，６】上连续且 在（ａ，ｂ）内可导，则至少存在一点ｃ （ｎ，ｂ），使得 尸（ ）：． ：２ ！． ｂ—ｒ上
几何意义：满足条件的函数厂在ａ，ｂ）内的曲线上至少存 在一点（ｃ ／（ｃ）），曲线在该点的切线平行于曲线两端点的连线． 定理１．３（Ｃａｕｃｈｙ中值定理）设函数－厂’ｇ在ａ，６】上连续， 在（ｎ，ｂ）内可导，且在ａ，ｂ）内ｇ，（ ）≠０，则至少存在一点∈∈ （ａ，ｂ），使得
一文讲透高数中的微分中值定理今天和大家回顾一下高数当中的微分中值定理，据说是很多高数公式的基础。
由于本人才疏学浅，所以对于这点没有太深的认识。
但是提出中值定理的几个数学家倒是如雷贯耳，前段时间抽空研究了一下，发现很有意思，完全没有想象中那么枯燥。
所以今天的文章和大家聊聊这个话题，我会跳过一些无关紧要或者意义不大的证明部分，尽量讲得浅显有趣一些。
费马引理首先上场的是费马引理，它是我们介绍后面罗尔中值定理的前提。
这个费马引理非常简单，不需要太多篇幅。
所以在介绍它之前，先来讲讲费马这个人。
费马在数学届大名鼎鼎，他最著名的理论是费马大小定理。
定理的内容我不讲了，和这篇文章也没啥关系。
但是这背后有一段著名的故事，说是费马在提出费马大定理的时候并没有觉得它有多么出彩，因此没有加以详细的证明。
有一天他在翻阅自己笔记本的时候突然灵感迸发想出了一个绝妙的证明方法。
但是由于笔记本旁边空白的区域太小，所以费马这人就在书页边写了一句话，他说：“我已发现一种绝妙的证明方法，可惜这里空间太小，写不下。
没想到费马不当回事的定理在日后的数学界非常重要，出人意料的是无数数学家尝试证明费马大定理的正确性，但是都没有成功。
虽然这个定理广泛使用，大家也都觉得应该是正确的，但是就是没有人能证明。
这一度也称为数学界的顶级难题，一直到1995年，据说也是靠着计算机提供了算力支撑，才终于得以证明。
关于费马在书页边写的绝妙解法，数学界也争论不休。
有些人扼腕叹息，觉得是数学界一大损失。
还有人觉得这不太靠谱，这可能不是灵感，而是错觉。
但无论如何，这也成就了费马，也许他不是史上数学最强的人，但一定是”装逼“最成功的的一个。
我们来看下来自费马的凝视。
言归正传，我们来看下费马引理。
费马引理很简单，是说如果在一段曲线当中存在一个点x0，使得在x0 的邻域内都存在 f(x) <= f(x0)（或 f(x) >= f(x0)），那么就说明f'(x0)=0。
微分中值定理：探索导数与函数间的关系是微积分中十分重要的一个概念，其主要是用来探索函数与其导数间的关系。
简单来说，指出了函数在某个点的变化率与该函数曲线的斜率之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨的概念、应用以及它们在实际生活和应用中的意义。
什么是？是微积分中的一个基本定理，它将函数的变化率与其斜率相联系。
通俗地讲，是用于描述导数与函数关系的一类公式。
在微积分中，导数是函数的变化率，而函数的斜率是函数曲线在某一点的倾斜程度，由这两个概念就可以引出了。
将变化率与斜率相联系，是把函数的变化用导数来表示，然后再建立导数与函数之间的关系的重要工具。
的应用场景的应用场景非常广泛，它可以应用于许多问题的求解，如最值问题、求解曲线的特性等。
下面我们将分别阐述其常用的应用场景以及解决问题的方法。
1. 求函数的最大值和最小值是寻找函数极值点的基本工具之一。
以求函数的最大值为例，如果函数f(x)在区间[a,b]上可导且在其中某一点c处取得最大值，那么它的导数f'(c) = 0。
由于导数在这个点是0，这意味着函数在这个点的斜率为0，也就是说，函数在这个点处的曲线是水平的。
反之，若导数在某一点上为0，那么在这个点处，函数的曲线将是水平的。
因此，在某一区间上求函数最大或最小值时，可以利用来确定极值点。
2. 确定函数曲线的弯曲程度还可以用来确定函数曲线的弯曲程度。
一条函数曲线的弯曲程度是由其二阶导数的正负性所决定的。
如果二阶导数大于零，则曲线向上弯曲，如果二阶导数小于零，则曲线向下弯曲。
因此，通过使用，可以确定函数曲线在某一段区间内是否上凸或下凸，进而掌握函数的形态特性。
3. 确定函数的单调性除了能够确定函数极值点和曲线弯曲程度外，还可以用来确定函数的单调性。
如果在某个点上函数的导数为正，那么在这个点处函数的曲线就是向上的，这说明函数单调递增。
反之，如果导数为负，在这个点处函数曲线就是向下的，表明函数单调递减。
因此，通过使用可以确定函数在区间内的单调性。
浅谈中值定理在解题中的应用 微分中值定理给出区间端点函数值与其内点导数值的关系．用它可以从的导数的某些性质推出的某些性质．如果f f ()f x 在上连续，且在内可导，则在内存在一数,使[,]a b (,)a b (,)a b ξ成立．()()()f b f a f b aξ-'=- 中值定理虽然是就闭区间说的，但是不必拘于，只要a b <在开区间（有限或无限）上处处有导数，在内的任何两()f x (,)a b 点都可以代替，使之间总有一个,满足12,x x ,a b 12,x x ξ1212()()()f x f x f x x ξ-'=-微分中值定理有三种常用形式，即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理．2 微分中值定理的应用微分中值定理反映了函数增量与区间某个点导数值之间的关系，从而可用导数来研究可微函数值之间的相互关系及其变化性态．应用中值定理主要有以下3个基本步骤：（i ）根据已给问题P 的特点，确定或构造辅助函数（与()f x ）及相应的区间．()g x [,]a b （ii ）验证（与）在上满足中值定理的条件．()f x ()g x [,]a b （iii ）应用中值定理及已知条件解答问题P ．其中步骤（i ）是关键，通常也是难点所在；步骤（ii ）则比较容易；步骤（iii ）是对综合能力的考验．微分中值定理的应用十分广泛，在此仅对几方面的应用进行归类介绍．2.1 关于证明不等式应用微分中值定理（含泰勒（Taylor ）公式）及其导出的结论证明不等式,首先介绍泰勒公式的表达形式．定理：若函数在点存在直至n 阶导数，则有f 0x 00()()(())n n f x T x x x =+-即 200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x '''=+-+-+ (*)()00()(())!n nn o f x x x x n -++-定理中(*)式称为函数在点处的泰勒（Taylor ）公式．f 0x 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值．因此我们希望用多项式来近似表达函数．泰勒公式就是将满足某些条件的函数转化为多项式函数．证明某些与高阶导()f x数有关的命题时常用到泰勒公式．微分中值定理证明不等式内容十分丰富，在此仅举两例．例1 证明：当时，．02x π<<221cos 2x x x π<-<分析：构造函数，对任意，可将利用()cos f x x =(0,)2x π∈()cos f x x =泰勒公式展开．再逐步构造不等式的中间221cos 2x x x π<-<部分，根据已知条件，即可证明．1cos x -02x π<<证明：令,由Taylor 公式知()cos f x x =对，存在，使(0,2x π∀∈(0,)x ξ∈，221cos 11cos 224x x xξ-=-由，有，故02x πξ<<<220cos 44x πξ<<<211cos 141122243x x π->>-=>即当时，．02x π<<221cos 2x x x π<-<例2 已知，证明不等式．0a b <≤ln b a b b a b a a--≤≤分析：本题可分为两种情况进行讨论．当时，等号显0a b <=然成立.当时，构造辅助函数，在0a b <<()ln f x x =()f x 上满足Lagrange 中值定理条件，即可证明.[,]a b 证明：当时，不等式中等号成立0a b <=即 ln b a b b a b a a--==当时，令0a b <<()ln f x x=则在区间上满足Lagrange 中值定理的条件()f x [,]a b 故存在，使得(,)a b ξ∈()ln ln ln b b a b a a ξ-=-=从而ln b a b b a b a a --<<综上 ．ln b a b b a b a a --≤≤2.2 关于证明等式证明等式常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理．证明时常常从要证的结论入手，写成的形式，并且构()()()()()f b f a g b g a ϕξ-=-造相应的辅助函数，即可证得命题．例3 设在上连续，在内可导，且，()f x [1,1]-(1,1)-(1)(1)0f f -==，则，，使得．(0)1f =[1,1]∀∂∈-(1,1)ξ∃∈-()f ξ'=∂分析与解答：作辅助函数 ，则()1()(0)f x F x x f -⎧⎪=⎨⎪'⎩11,00x x x -≤≤≠=()F x 在上连续，由于，,故[1,1]-(1)1F -=(1)1F =-[1,1]∀∂∈-，，使得．x ∂∃()F x ∂=∂由Lagrange 中值定理，或(0,)x ξ∂∃∈(0)x ∂>(,0)x ξ∂∈，使得(0)x ∂< 即证．()1()()f x F x f x ξ∂∂∂-'==例4 设，证明,其中在与120,0x x >>211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--ξ1x 2x 之间．分析：要证的等式是两个固定点，以及中间值的表达式，1x 2x ξ作变形，使，与分离，再生成改变量的商，利用中1x 2x ξ值定理证明，具体步骤为：（1）与，分离 ；ξ1x 2x 211212(1)x x x e x e e x x ξξ-=--（2）产生改变量的商 ；212121(1)11x x e e x x e x x ξξ-=--（3）作辅助函数 ，()xe f x x =1()g x x=只需在上用柯西中值定理即可．12[,]x x 证明：由于120,0x x >>则不在与之间0x =1x 2x 令，()xe f x x =1()g x x= 则与在与所限定的区间上满足Cauchy 中值定()f x ()g x 1x 2x 理的条件即21221221()(1)111()x x e e e e x x f e g x x ξξξξξξξξξ--'===-'--整理得211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=-- 结论得证．通过对以上例题的分析和解答，我们可以看出应用中值定理证明等式或不等式的关键在于：首先，仔细观察，对待证式子进行适当的变换；其次，认真分析，精确而巧妙的构造出辅助函数．做到这两点，便可顺利地完成命题的证明．2.3 关于根的存在性根的存在定理：若函数在闭区间上连续，且与f [,]a b ()f a ()f b 异号（即），则至少存在一点，使得()()0f a f b <0(,)x a b ∈即方程在内至少有一个根．()0f x =(,)a b 罗尔定理告诉我们， 若在上连续，在内可导，()f x [,]a b (,)a b ，则存在，使得．换句话说，在函数的()()f a f b =(,)a b ξ∈()0f ξ'=等值点之间，有导函数的根．因此，证明导函数有根，只要证明函数本身有等值点即可．例5 设在上连续，在内可导，且，()f x [0,1](0,1)(0)(1)0f f ==．试证至少存在一个，使．1(12f =(0,1)ξ∈()1f ξ'=分析：()1()1()()0f f x f x x f x x ξ''=⇒=⇒=⇒-=可令 ．()()F x f x x =-证明：令 ()()F x f x x=-则显然在上连续，在内可导()F x [0,1](0,1) 又 (1)(1)110F f =-=-<((1)0)f = 1111((02222F f =-=>1(()1)2f = 由根的存在定理可知:， 使1(,1)2η∃∈()0F η= 又，对在上用Rolle 中值定理，存()(0)00F a f =-=()F x [0,]η在(0,)(0,1)ξη∈∈使得()0F ξ'=即 ．()1f ξ'= 从以上例题的证明过程可见，在应用根的存在性定理证明某些问题时，选取合适的辅助函数，可收到事半功倍的效果．此类问题的证明过程如下：（1）作辅助函数；()F x （2）验证满足罗尔中值定理的条件,()F x 由此即得出命题证明．2.4 关于函数的单调性2.4.1 函数单调性与其导函数符号间的关系定理：设在区间上可导，则在上递增（减）的充()f x I ()f x I 要条件是：由些可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系．2.4.2 函数单调性的判定法 定理：设函数在上连续，在内可导．()y f x =[,]a b (,)a b (1) 如果在内，那么函数在上单调增(,)a b ()0f x '>()y f x =[,]a b 加； (2) 如果在内，那么函数在上单调(,)a b ()0f x '<()y f x =[,]a b 减少．如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立．由此可见，这个判断函数增减性的方法简单到只需确定导函数的符号．特别提醒：这个方法的使用条件是，函数在闭区间上连续，开区间内可导．这里的闭区间可以换成其它各种区间，例如，，(,)-∞+∞[,)a +∞等．(,]b -∞证明函数的单调性主要应用拉格朗日中值定理，下面举例进行分析说明．例6 证明：若函数在可导，单调增加，且，()f x [0,)a ()f x '(0)0f =则函数()f x x在也单调增加．(0,)a 证明：对任意,且1,2(0,)x x a ∈12x x <则在区间与均满足Lagrange 中值定理条件()f x 1[0,]x 12[,]x x 于是分别存在11212(0,),(,)x x x ξξ∈∈使12112121()(0)()()(),()0f x f f x f x f f x x x ξξ--''==-- 由于单调增加,且,所以()f x '(0)0f =121121()()()f x f x f x x x x -≤- 从而,即函数在单调增加．1212()()f x f x x x ≤()f x x(0,)a 2.5 证明函数恒为常数证明函数恒为常数主要应用的是拉格朗日中值定理的推论，现将其主要的两个推论介绍如下：推论1：若在内，，则在内为一常数．(,)a b '()0f x ≡(,)a b ()f x 推论2：若在内，，则在内（(,)a b '()'()f x g x =(,)a b ()()f x g x c =+为常数）．c 例7 若，求证：．1x ≥212arctan arccos 214x x x π+=+分析：在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式,解得，的值可tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= tan()1αβ±=αβ±能为 ．此种解法较繁琐，在这里用推论1证明．4π证明：设212()arctan arccos 214x f x x x π=+-+则'()0f x ≡即（为常数）()f x c =c 又因为，所以 1(1)arctan1arccos1024f π=--=0=c 故，即． ()0f x =212arctan arccos 214x x x π+=+例8 定义在实数集上的函数，如对任意，有R ,x y R ∈其中是常数，则是常值函数．2()()()f x f y M x y -≤-M ()f x 证明：对任意，的改变量为，x R ∈x x ∆ 由条件有2()()()f x x f x M x +∆-≤∆ 即()()f x x f x M x x +∆-≤∆∆ 两边关于，取极限得0x ∆→00()()0lim lim 0x x f x x f x M x x ∆→∆→+∆-≤≤∆=∆ 所以()0f x '=由中值定理得：()(0)()(0)0f x f f x ξ'-=-=即 ()(0)f x f = 故在R 上为常值函数．()f x2.6 利用微分中值定理求极限计算数列和函数的极限时，常遇到的是“”，“”，“”，“∞⋅00∞1∞”，“”，“”等形式．经过简单的变换，它们一般均可000∞∞-∞化为“”型或“”型的极限。
