数列的通项(新编2019教材)

an
S1, n Sn
1 Sn1
,
n
2
Sn 与an的关系式
思考
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an} 的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2， an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)] =2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 所以{an}的通项公式是an=2n.
2、关于 (-1)n 即符号
②an = 2n （2, 4, 6, 8, … ）
⑤an = 2n （2, 4, 8, 16, … ） ⑥an = n2 （1, 4, 9, 16, 25, … ） ⑧an = (2n-1)(2n+1)
3、常数数列：an = c 5
典例分析
例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四
13
课堂练习p8 ：4 1．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个 通项公式，并在横线上和括号中分别填上第 5 项的图形和点数．
13
2an 3n 2
(2)
13 43
73
累加法
a2 a1 3 ①
a3 a2 3 ②
a…4 …a3 3 ③
猜想：an1 an2 3 n 2 an an1 3 n 1
能力提升
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列 的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1， a3－a2 = 1， …
an－an－1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时， 可用累加法求通项公式.

个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列

[解析] （1）由 得 ,则 .所以数列 的通项公式为 .（2）由 ，得 ，所以 .又 适合上式，故 .
探究3 构造法求通项公式
例3 在数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
方法指导 （1）先将 取倒数，构造数列 ,可知 为等比数列，再求通项；（2）由错位相减法求数列 的前 项和 .
A
[解析] 因为 ，所以当 时， ，两式相减可得 ，即 ，整理得 ，所以 .因为 ，所以 ，所以数列 是首项为4，公比为2的等比数列，则 ，故选A.
题型探究·悟思路
（2） 已知在数列 中，其前 项和为 ，且 ，则 的最大值为( ).A. B. C. D.
（2）若数列 满足 ， ，则其通项公式 _____.
方法指导 （1）利用累加法求解；（2）利用累乘法求解．
[解析] （1）由条件知 ，则当 时， ，即 ，又 ，
．又 适合上式， .（2）由 ，得 ，故当 时， .又 适合上式， .
方法总结 正确选用方法求数列的通项公式
C
[解析] 由 得，当 时， ，两式作差可得 ，整理得 ，由此可得，当 时， 取得最大值，其最大值为3，故选C.
方法总结 已知 或 的解题步骤 第一步：利用 满足条件 ，写出当 时， 的表达式. 第二步：利用 ，求出 或者转化为 的递推公式的形式. 第三步：若求出当 时的 的通项公式，则根据 求出 ，并代入当 时的 的通项公式进行验证，若成立，则合并，若不成立，则写出分段形式.如果求出的是 的递推公式，则问题化归为例1形式的问题.
[解析] （1）由 ，得 ,即 .又 ，所以 是首项为 ，公比为3的等比数列.所以 ，即 .
（2）由题意得 ,所以 ， ，两式相减得 ,则 .

a
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故