MINITAB统计基础

MINITAB统计基础 1. 正态总体的抽样分布 1) 样本均值 的分布——标准正态分布及T分布 样本标准差计算公式：

 T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，

且它们相互独立，那么随机量

所服从的分布称为 个自由度的t分布。其分布密度函数为：

当 时的极限分布即是标准正态分布， 当 时就是Cauchy分布。

T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0，（时期望不存在，方差不存在）。我们常常用 表示 υ 个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。 自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。 例：  Z~N(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。 计算----->概率分布----->正态分布----->概率密度----->输入常数1.98----->确定 概率密度函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x f( x ) 1.98 0.0561831  。 计算----->概率分布----->正态分布----->累积概率----->输入常数2.4----->确定

累积分布函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x P( X <= x ) 2.4 0.991802  Z~N(0，1)，求使得P(Z计算----->概率分布----->正态分布----->逆累积概率----->输入常数0.95----->确定 逆累积分布函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 P( X <= x ) x 0.95 1.64485  自由度=12，求使得。 计算----->概率分布----->t分布----->逆累积概率----->输入自由度12----->输入常数0.95----->确定

逆累积分布函数 学生 t 分布，12 自由度 P( X <= x ) x 0.95 1.7822  自由度=12，求使得。 计算----->概率分布----->t分布----->累积概率----->输入自由度12----->输入常数3----->确定

累积分布函数 学生 t 分布，12 自由度 x P( X <= x ) 3 0.994467 2) 双样本均值差的分布

3) 正态样本正态样本方差S2的分布——卡房卡方分布 若X1，X2，……,Xn是从正态总体中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记

已知时： 当未知时，用 替 后可以得到 其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。  卡方分布的定义：把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为自由度为n的卡方分布。它的密度表达式为：

参数 称为自由度。 卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（ 越小，分布越偏斜）。我们常用 表达自由度为 的卡方分布。 卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。  卡方分布的性质 a) 卡方分布的加法性：设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。

b) 若 X ，则 ，。 计算下列各卡方分布的相关数值：  自由度=10，求使得 成立的 x 值。 计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 逆累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数 =0.95 -----> 确定 逆累积分布函数 卡方分布，10 自由度 P( X <= x ) x 0.95 18.307

 自由度=10，求 。 计算 -----> 概率分布 -----> 卡方分布 -----> 累积概率 -----> 自由度=10 -----> 常数=28 -----> 确定 累积分布函数 卡方分布，10 自由度 x P( X <= x ) 28 0.998195 4) 两个独立的正态样本方差之比的分布——F分布 两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。

设有两个独立的正态总体 () 和 () ，它们的方差相等。又设X1，X2，…，Xn是来自()的一个样本Y1，Y2，…，Yn是来自() 的一个样本，这两样相互独立。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：

n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。 实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果 ， ，且二者相互独立，则称二者比值的分布为F分布，即

其密度函数是： F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。  计算F0.95（8，,18）的数值。 计算 -----> 概率分布 -----> F分布 -----> 逆累积概率 -----> 分子自由度=8 -----> 分母自由度=18 ----->常数=0.95 ----->确定 逆累积分布函数 F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度 P( X <= x ) x 0.95 2.51016 2. 参数的点估计 1) 点估计的概念 用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。 设Ɵ是总体的一个未知参数，X1，X2，…，Xn是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估

计未知参数Ɵ的统计量 （X1，X2，…Xn）称为Ɵ的估计量，或称为Ɵ的点估计。 我们总是在参数上方画一个帽子“∧”表示该参数的估计量。在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：

➢ 对于总体均值 ， ；

➢ 对于总体方差 ， ； ➢ 对于比率p ， ，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数； ➢ 对于 1 - 2 ， =（两个独立随机样本均值之差）； ➢ 对于p1 - p2，估计为 （两个独立随机样本比率之差）； 2) 点估计的评选标准

3. 参数的区间估计 设Ɵ是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X1，X2，…，Xn，对给定的显著性水平α（0﹤α﹤1），有统计量：ƟL= ƟL（X1，X2，…，Xn）与ƟU= ƟU（X1，X2，…，Xn），若对于任意Ɵ有P（ƟL

≤Ɵ≤ƟU）= 1 - α，则称随机区间[ƟL，ƟU]是Ɵ的置信水平为1-α的置信区间，ƟL与ƟU分别称为置信

下限和置信上限。 置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - α是区间估计的可靠程度，而 α 表达了区间估计的不可靠程度。 在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。这两者要结合在一起考虑，才更为实际。通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。 1) 单正态总体均值的置信区间

当 时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：

a) 当总体方差 已知时，正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中，是标准正态分布的 分位数，也就是双侧 α 分位数。例如α=0.05时，。 在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本Z 来实现的。 由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。 b) 当总体方差 未知时， 用样本标准差S代替，此时正态总体均值 的 1 – α置信区间为：

式中， 表示自由度为n – 1的 t 分布的 分位数，也就是t分布的双侧 α 分位数。例如α=0.05时，样本量n = 16时，，其值略大于。 在MINITAB中，我们通过：统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t 来实现的。  某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据： 1742 1827 1681 1742 1676 1680 1792 1735 1687 1852 1861 1778 1747 1678 1754 1799 1697 1664 1804 1707 假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用均值的95%置信区间。 统计 -----> 基本统计量 -----> 单样本t -----> 样本所在列 = 运输费用 -----> 选项 -----> 置信水平 = 95 -----> 确定。 单样本 T: 运输费用 均值标 变量 N 均值 标准差 准误 95% 置信区间 运输费用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2) c) 前两种情况讨论的是当总体为正态分布时， 的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量n 超过30，则可根据中心极限定理知道： 仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均值 的区间估计方法，而且可以直接用样本标准差代替总体标准差，即采用公式：

在MINITAB中，通常直接采用：统计 -----> 基本统计量 -----> 图形化汇总 中得到总体均值的置信区间结果。只不过要注意的是：总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。 2) 单正态总体方差和标准差的置信区间

当 时，正态总体方差的置信区间是：

式中，和分别是 分位数与 分位数。 当 时，正态总体标准差的置信区间是：