本科概率论与统计作业卷答案(打印版)

1、设随机变量X 的分布律为{},1,2,,aP X k k N N===,则a = .解 由{}111N Nk k aP X k a N======∑∑知1a =.2、设随机变量X 的分布函数为00,,0)(≥<-⎩⎨⎧=-x x e A x F x. 则A = ;(12)P ξ<≤= .解 由于()lim ()lim x x x F x A e A -→+∞→+∞=-=,分布函数的性质知1A =;()()21211(12)(2)(1)11P F F e e e eξ--<≤=-=---=-3、设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫⎝⎛-=其它0211122x x x f 则X 的分布函数()=x F ．解 当1x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当12x <≤时,()2111()2122xxF x f t dt dt x t x -∞⎛⎫⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰; 当2x >时,()2211()211x F x f t dt dt t -∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰.故X 的分布函数()0,1122,121,2x F x x x x x ≤⎧⎪⎪⎛⎫=+-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩4、设~()X P λ,且(1)(2)P X P X ===,则(1)P X ≥= ,2(03)P X <<= . 解 ~()X P λ ()!k e P X k k λλ-∴==,其中0λ>(1)(2)P X P X === 21!2!e e λλλλ--∴= 2λ∴=2(1)1(1)1(0)11P X P X P X e e λ--∴≥=-<=-==-=-22(03)(0(1)21!e P X P X P X e λλ--<<=<<====.5则随机变量X Y =的分布律为 ． 解260,10.4,11()()0.8,131,3x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的分布律为 ．解 由于连续型随机变量的分布函数是连续函数,而由已知随机变量X 的分布函数()F x 在1,1,3X =-处间断,故可确定X 为离散型随机变量,且其所有可能的取值为1,1,3-且(1)(1)(1)0.4(1)(01)(1)(0)0.80.40.4(3)(13)(3)(1)10.80.2P X P X F P X P X F F P X P X F F =-=≤-=-===<≤=-=-===<≤=-=-= 故1、设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求:(1)X 的分布律; (2)X 的分布函数;(3){}133,1,1,12222P X P X P X P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤<≤≤≤<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭.解 (1)由于3121132131333315151522121(0),(1),(2).353535C C C C P X P X P X C C C =========故X )0X x ≤=;当01x ≤<时,22()()(0)35F x P X x P X =≤===;当12x ≤<时,34()()(0)(1)35F x P X x P X P X =≤==+==;当2x ≥时,()()1F x P X x =≤=.故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122,2235P X F ⎧⎫⎛⎫≤==⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭3334341(1)0,22353533121(1)1,2235P X F F P X P X P X ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎧⎫⎛⎫≤≤==+<≤=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭{}34112(2)(1)(2)10.3535P X F F P X <<=--==--=2、有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?解 设X 表示出事故的次数,则X ~b (1000,0.0001).由于1000n =较大,而0.0001p =较小,故可用参数为0.1np λ==的泊松分布逼近.于是(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0100019991000100010.99990.00010.9999C C =-⨯-⨯⨯ 0.10.110.10.22e e --≈--⨯≈3、已知随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x -=-∞<<+∞求:(1)A 值;(2){}01P X <<;(3)()F x . 解 (1)由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰,故12A =. (2)11011(01)(1)22x p X e dx e --<<==-⎰ (3)当0x <时,11()22x x x F x e dx e -∞==⎰当0x ≥时,0||01111()12222x x x x x x F x e dx e dx e dx e ----∞-∞==+=-⎰⎰⎰故随机变量X 的分布函数为1,02()1102xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4、设()2~3,2X N(1)求{}{}{}{}25,410,2,3P X P X P X P X <≤-<≤>>; (2)确定c 使{}{}P X c P X c >=≤.解 (1)23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤ ⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215122151220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)1(0)0.522X P X P Φ-⎧⎫>=>=-=⎨⎬⎩⎭-(2)由{}{}P X c P X c >=≤得{}{}1P X c P X c -≤=≤,即{}12P X c ≤=,故3c =. 5、设()~0,1X N(1)求X Y e =的概率密度;(2)求221Y X =+的概率密度.解 (1)当0y ≤时,()()0Y F y P Y y =≤=当0y >时,ln ()()(e )(ln )()d y x Y X F y P Y y P y P X y f x x -∞=≤=≤=≤=⎰故当0y >时()2ln 2()1()(ln ),0y Y Y x dF y f y f y y dy y -===>当0y ≤时()0.Y f y =(2)2(211)1P Y X =+≥=当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1y >时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤21()2X y P X P X f x dx ⎛-⎛⎫=≤=≤≤= ⎪ ⎝⎭⎝故当1y>时(1)/4(1)/4()()Y Y X X y y d f y F y f f dy ----⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦==当1y ≤时()0.Y f y =。

概率论与数理统计作业及答案单选题(共100分)说明:（）1.的分布函数为，其中为标准正态分布的分布函数，则_______(6分)(A) :0(B) :0.3(C) :0.7(D) :1参考答案：C解题思路：无2. 根据德莫弗－拉普拉斯定理可知_______(6分)(A) : 二项分布是正态分布的极限分布(B) : 正态分布是二项分布的极限分布(C) : 二项分布是指数分布的极限分布(D) : 二项分布与正态分布没有关系参考答案：B解题思路：无3.和独立，其方差分别为6和3，则_______(7分)(A) :9(B) :15(C) :21(D) :27参考答案：D解题思路：无4.设随机变量的分布函数为，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：B解题思路：无5.如果和满足, 则必有_______(6分)(A) :和不独立(B) :和的相关系数不为零(C) :和独立(D) :和的相关系数为零参考答案：D解题思路：无6.设随机变量的方差存在，则_______(6分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无7.将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于_______(7分)(A) :－1(B) :0(C) :(D) :1参考答案：A解题思路：无8.设是随机变量，，则对任意常数，必有_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无9.设随机变量的方差存在，为常数），则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：C解题思路：无10.设随机变量～，～，且相关系数，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：D解题思路：无11.设随机变量，…相互独立，且都服从参数为的指数分布，则_______(6分)(A) :(C) :(D) :参考答案：A解题思路：无12.设随机变量～，服从参数的指数分布，则_______(7分)(A) :(B) :(C) :(D) :参考答案：A解题思路：无13. 有一批钢球，质量为10克、15克、20克的钢球分别占55%，20%，25%。

【最新整理，下载后即可编辑】第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式. 解：并且，361)12()2(====X P XP ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ； 365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。

即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) 2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10()1kkk k aea e ∞∞--====∑∑，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7 和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ，两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。

所以：（1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P)5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P(2))2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P}3{)2(≥X P 解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出 信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C (2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -.(2)(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。

1、设随机变量,,X Y Z 相互独立,且()5,()11,()8E X E Y E Z ===,则(231)E X Y ++= ;(4)E Y ZX -= . 解 (231)2()3()125311144E X Y E X E Y ++=++=⨯+⨯+=(4)()4()()()4()1184E Y ZX E Y Z E X E Y E Z E X -=-=⋅-=⨯-⨯= 2、设随机变量X 的分布律为123101X P p p p -且已知2()0.1,()0.9E X E X ==,则1p = ;2p = ;3p = . 解 由已知得()12313222212313123123()1010.1()1010.90.4,0.1,0.51E X p p p p p E X p p p p p p p p p p p =-⨯+⨯+⨯=-+=⎧⎪=-⨯+⨯+⨯=+=⇒===⎨⎪++=⎩ 3、设随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0(,)0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他 则()E XY = . 解 100()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.4、已知4.1)(=X E ,24.0)(=X D ,则)(2X E = . 解 由[]22()()()D X E X E X =-得[]222()()()0.24 1.4 2.2E X D X E X =+=+=5、已知随机变量~(2)X P ,且22-=X Z ,则()=Z E _________,()D Z = _________. 解 由于~(2)X P ,故()2,() 2.E X D X ==于是()(22)2()2E Z E X E X =-=-= ()(22)4()D Z D X D X =-==6、设连续型随机变量X 的密度函数为()1221-+-=x x e x f π()+∞<<∞-x则()=X D _______. 解由于()2222(1)221(1)x xx x f x --⋅-+---⎝⎭===故21,2X N ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是()2212D X σ===⎝⎭. 7、设随机变量~(,)X U a b ,且()3=X E ,()34=X D ,则a = ,b = .解 由于~(,)X U a b ,故()()23321,5144()123a b E X a b a b b a D X b a +⎧==⎪+=⎧⎪⇒⇒==⎨⎨-=⎩⎪=-=⎪⎩.8、已知随机变量~(,),()12,()8X b n p E X D X ==,则p = ;n = .解 由于~(,)X b n p ,故 ()()12136,3(1)8E X np n p D X np p ==⎧⎪⇒==⎨=-=⎪⎩. 9、设~(1,9),~(2,4)X N Y N 且,X Y 相互独立,则(23)E X Y -= ,(23)D X Y -= . 解 由于~(1,9),~(2,4)X N Y N ,故 ()1,()9,()2,(E X D X E Y D Y ==== 于是2222(23)2()3()21324(23)2()(3)()29(3)472E X Y E X E Y D X Y D X D Y -=-=⨯-⨯=--=+-=⨯+-⨯=10、已知()2,()3,cov(,)1D X D Y X Y ===-,则cov(321,42)X Y X Y -++-= . 解 cov(321,42)3cov(,)10cov(,)8cov(,)X Y X Y X X X Y Y Y -++-=+-3()10cov(,)8()3210(1)8328D X X Y D Y =+-=⨯+⨯--⨯=- 二、计算题1、已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望和方差. 解 设任取出的5个产品中的次品数为X ,则514901090551001002332109010905510010041510901055100100C C (0)0.583,(1)0.340C C C C C (2)0.070,(3)0.007C C C C C (4)0,(5)0.C C C P X P X C P X P X P X P X ==================故X 的分布律为0123450.5830.3400.0700.00700X P于是()0.58300.34010.07020.007304E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 222()(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.D X =-⨯+-⨯++-⨯= 2、设随机变量X 的概率密度为,01(,)2,120,x x f x y x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他求(),()E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰22()()[()].6D XE X E X =-=3、设随机变量,X Y 的概率密度分别为22e ,0()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 44e ,0()0,y Y y f y y -⎧>=⎨≤⎩求2(),(23)E X Y E X Y +-. 解 22-2200001()()2[].2x x x x X E X xf x dx xe dx xe e dx e dx +∞+∞+∞+∞--+∞--∞===-+==⎰⎰⎰⎰ 222201()()22x X E X x f x dx x e dx +∞+∞--∞===⎰⎰.401()()4.4y Y E Y yf y dy ye dy +∞+∞--∞===⎰⎰222401()()4.8y Y E Y y f y d y y e d y +∞+∞--∞===⎰⎰ 从而113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=22115(23)2()3()23.288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=4、设二维随机变量(,)X Y 在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求cov(,)X Y 和XY ρ.解 如图S D =12D S =，故(,)X Y 的概率密度为2,(,)(,)0,x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其他11001()(,)23x DE X xf x y dxdy dx xdy -===⎰⎰⎰⎰11222001()(,)26x DE X x f x y dxdy dx x dy -===⎰⎰⎰⎰222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y ==1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以:1111cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-⋅=-⨯=-. 112XY ρ-===-。