初三几何复习中考题3

几何基础-中考必做题1D.2D.，添加下列哪一个条件无法证明≌3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角的三个顶点分别在这45 6 71011 12 13D.米 D.米米，则树高为（）．14 D.的值？按下列方法作图可解决问题．如图，在中，，，，使=，连接．依据此图可求15，则的长为．161718 19 20A.对角线互相垂直B.邻边相等C.每条对角线平分一组对角D.对角线相等下列性质是矩形具有而菱形不具有的是（）．21222324 25 26272829D.个30，，则．313233D.3435时，求的值．几何基础-中考必做题12D.3D.4勾股定理锐角三角函数锐角三角函数的定义5678，上，若，910111213D.．14 1516171819．20212223三角形等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定锐角三角函数解直角三角形四边形正方形正方形的性质正方形的判定24252627余角和补角余角与补角的性质三角形全等三角形全等三角形常用辅助线全等三角形常用辅助线：截长补短角平分线的常用辅助线角平分线与全等综合等腰三角形等腰三角形的判定28的中点，；293031 3233D.34（度）．35时，求的值．。

2021 初三数学中考复习 几何作图 专项复习练习题1．以下尺规作图，能判断AD 是△ABC 边上的高是( B )2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连结BE ，那么以下结论：①ED ⊥BC ，②∠A ＝∠EBA ，③EB 平分∠AED ，④ED ＝12AB 中，一定正确的选项是( B )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，那么以下说法中正确的个数是( D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 任意一条线段EF ，其垂直平分线的尺规作图痕迹如下图．假设连结EH ，HF ，FG ，GE ，那么以下结论中，不一定正确的选项是( B )A ．△EGH 为等腰三角形B ．△EGF 为等边三角形C ．四边形EGFH 为菱形D ．△EHF 为等腰三角形5．如图，分别以线段AC 的两个端点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于B ，D 两点，连结BD ，AB ，BC ，CD ，DA ，以下结论：①BD 垂直平分AC ，②AC 平分∠BAD，③AC ＝BD ，④四边形ABCD 是中心对称图形．其中正确的有( C )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④6．如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.假设点P 的坐标为(2a ，b ＋1)，那么a 与b 的数量关系为( B )A ．a ＝bB ．2a ＋b ＝－1C ．2a －b ＝1D ．2a ＋b ＝17．用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，以下四个作图中，作法错误的选项是( D )8．如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，那么∠BAD 的度数为__65°__．9．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，那么cos ∠AOB 的值等于__12__．10．以下四种根本尺规作图分别表示：①作一个角等于角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作直线的垂线，那么对应选项中作法正确的选项是__①②④__．11．如图，△ABC 与△DEF 关于直线l 对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.解：图略．图①中，过点A 和BC ，EF 的交点作直线即是；图②中，延长AB ，DE 交于一点，延长CB ，FE 交于一点，过两交点作直线即是l.12．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为△ABC 的角平分线．(1)求作：线段CD 的垂直平分线EF ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，垂足为O(要求尺规作图，保存作图痕迹，不写作法)；(2)求证：△COE≌△COF；(3)连接DE ，DF ，判断四边形CEDF 是什么特殊四边形，并说明理由． 解：(1)如下图．(2)∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ECO ＝∠FCO，∵OC ⊥EF ，∴∠EOC ＝∠FOC＝90°.在△EOC 和△FOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ECO＝∠FCO，CO ＝CO ，∠EOC ＝∠FOC，∴△EOC ≌△FOC.(3)∵EF 垂直平分CD ，∴EC ＝ED ，FC ＝FD.∵△EOC≌△FOC，∴EC ＝FC ，∴ED ＝EC ＝FC ＝FD ，∴四边形CEDF 是菱形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形CEDF 是正方形．14. 如图，矩形ABCD(AB ＜AD)．(1)请用直尺和圆规按以下步骤作图，保存作图痕迹；①以点A 为圆心，以AD 的长为半径画弧交边BC 于点E ，连结AE ；②作∠DAE 的平分线交CD 于点F ；③连结EF ；(2)在(1)作出的图形中，假设AB ＝8，AD ＝10，那么tan ∠FEC.解：(1)如下图．(2)由(1)知AE ＝AD ＝10，∠DAF ＝∠EAF，∵AB ＝8，∴BE ＝AE 2－AB 2＝6.在△DAF 和△EAF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ，∠DAF ＝∠EAF，AF ＝AF ，∴△DAF ≌△EAF(SAS)，∴∠D ＝∠AEF ＝90°，∴∠BEA ＋∠FEC＝90°.又∵∠BEA＋∠BAE ＝90°，∴∠FEC ＝∠BAE，∴tan ∠FEC ＝tan∠BAE ＝BE AB ＝68＝34. 15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°.(1)先作∠ACB 的平分线交AB 边于点P ，再以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保存作图痕迹，不写作法)(2)请你判断(1)中BC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．解：(1)如下图，⊙P 即为所求作的圆．(2)BC 与⊙P 相切．理由为：过P 作PD⊥BC，交BC 于点D ，∵CP 为∠ACB 的平分线，且PA⊥AC，PD ⊥CB ，∴PD ＝PA ，∵PA 为⊙P 的半径．∴BC 与⊙P 相切．16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保存作图痕迹)；(2)求PA ＋PB 的最小值．解：(1)如图①所示，点P 即为所求．(2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连结OA′，OB ，OA ，∵A ′点为A 点关于直线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON＝2∠AMN ＝2×30°＝60°.又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB＝12∠AON＝12×60°＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A′ON＋∠BON＝60°＋30°＝90°.又∵MN＝4，∴OA ′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2，∴Rt △A ′OB 中，A ′B ＝22＋22＝22，即PA ＋PB 的最小值为2 2.。

2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣22、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．56、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为．9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为．2020年重庆中考数学最值专题训练三（含答案）1、（2018•明光市二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC，AD上的点，过点E、F 的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）A．2B．2﹣2C．2D．2﹣2解：连接AC，BD交于O，∵过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，∴EF过点O，∵AG⊥EF，∴∠AGO＝90°，∴点G在以AO为直径的半圆弧上，设AO的中点为M，连接DM交半圆弧于G，则此时，DG最小，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴AC＝8，AC⊥BD，∴AO＝OD＝AC＝4，∴AM＝OM＝AO＝2，∴DM＝＝2，∴DG＝2﹣2，故选：B．2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a，∵GD＝＝∴当a＝时，GD有最小值为，3、（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．4、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为2．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，5、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2C．2﹣2 D．5解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点O为AB中点，以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆，E为半圆上任意一点（不与A．B重合），连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得列CF，连接DE、BF，OF．则线段OF长的最小值为．解：由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．7、（2019秋•颍州区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为．解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，则∠ECF＝∠OCM＝90°，∴∠ECO＝∠FCM，∵CE＝CF，CO＝CM，∴△ECO≌△FCM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝5，O是AB边的中点，∴OB＝2.5，∴OC＝＝，∴OM＝OC＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥﹣2．∴线段OF的最小值为﹣2．8、（2019•太原二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点D是AC边的中点，E是直线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接AF、EF，在点E的运动过程中线段AF的最小值为+1．解：如图，作DM⊥BC于M，FJ⊥DM于J交AB于N．∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝BC＝2，∵AD＝DC．DM∥AB，∴DM＝AB＝，BM＝CM＝1，易证四边形BMJN是矩形，∴JN＝BM＝1，∵∠FDJ+∠EDM＝90°，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠FDJ＝∠DEM，∵∠FJD＝∠DME＝90°，∴△FJD≌△DME（AAS），∴FJ＝DM＝，∴FN＝FJ+JN＝1+，∴点F在直线l上运动（直线l与直线AB之间的距离为+1），根据垂线段最短可知，当AF⊥直线l时，AF的值最短，最小值为+1，9、（2019秋•锡山区期中）已知：如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为．解：如图，取AB中点H，连接DH，∵△ABC，△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，∴BF＝BC＝AB＝3，∠BAF＝30°，∵H是AB中点，∴AH＝BH＝AB＝BF＝3，且∠ABD＝∠EBC，BD＝BE，∴△BHD≌△BFE（SAS）∴EF＝DH，∴当DH取最小值时，EF有最小值，当DH⊥AF时，DH有最小值，∴DH＝AH＝，∴EF的最小值为，10、（2019•台州模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝a（a＞1），E是BC上的一点，且BE＝1，点F是边AB上的任意一点．连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，得到线段EG．在点F从点B运动到点A的过程中，若要点G能落在对角线AC上，则a的最大值为．解：如图，当点G落在对角线AC上，过点G作GH⊥BC于点H，∵△EFB≌△GEH，∴GH＝BE＝1，EH＝BF，∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝a﹣1﹣BF，∵△CHG∽△CBA，∴，∴，∴BF＝∵点F是边AB上的任意一点，∴0≤BF≤AB，∴0≤≤4，∴≤a≤∴a的最大值为11、如图1，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE＝1：2，连接DG、BE、BG，则2BG+BE的最小值为4．解：延长BE、GD相交于点H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG＝∠BCD＝90°，∴∠DCG＝∠BCE∵CD：CB＝2：4＝1：2，CG：CE＝1：2，∴CD：CB＝CG：CE，∵∠DCG＝∠BCE∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC＝∠DGC，∴DG＝BE作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．易证△ECN∽△CGM，∴＝＝2，∵EN＝AB＝2，∴CM＝1，∴点G的运动轨迹是直线MG，作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值＝BG′∵DG＝BE，∴BE＝2DG，∴2BG+BE＝2BG+2DG＝2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′＝＝2，∴2BG+BE的最小值为4。

试卷第1页，共12页2023年九年级数学中考复习：几何探究题压轴题附答案1．（1）如图所示，正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF ＝90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 数量关系和位置关系是分别是．（2）将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD ＝kAB ，AF ＝kAE ，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）证明．（3）将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD ＝∠EAF ＝a ，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF的数量关系2．如图，在ABC中，90∠=︒==ACB AC BC D 是边AB 上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE ，连接,AE BE ，取AE 的中点M ，连接CM．(1)求证：BE AD =；(2)问CM 与BD 有何数量关系？写出你的结论并证明；(3)若点D 在AB 上运动，则四边形BECM 能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时CM 的长；若不能，说明理由．3．在ABC 中，AB AC =，D 是边BC 上一动点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转试卷第2页，共12页到的AE 的位置，使得180DAE BAC ∠+∠=︒；(1)如图1，当90BAC ∠=︒，连接BE 交AC 于点F ，若BE 平分ABC ∠，2BD =，则CF =_________．(2)在（1）的条件下，求AF 的长；(3)如图2，连接BE ，取BE 的中点G ，连接AG ，猜想AG 与CD 存在的数量关系，并证明．4．阅读理解图1是边长分别为a 和b （a b >）的两个等边三角形纸片ABC 和C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．操作与证明：(1)操作：固定ABC ，将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD 、BE ，如图2，在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的C DE ' 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3，图3中线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当α为______度时，线段AD 的长度最大，当α为某个角度时，线段AD 的长度最小，最小是______．5．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD试卷第3页，共12页和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．6．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN V 是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．7．（1）如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，当△DCE 旋转至点A ，D ，E 在同试卷第4页，共12页一直线上，连接BE ．填空：①∠AEB 的度数为；②线段AD ，BE 之间的数量关系为．（2）如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，90ACB DCE ∠∠== ，点A ，D ，E 三点在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之前的数量关系．并说明理由．（3）图1中的△ACB 和△DCE ，在△DCE 旋转中当点A ，D ，E 在不同一直线上时，设AD 与BE 相交于点O ，旋转角θ)(0180θ<< 尝试在图中探索∠AOE 的度数，直接写出结果，不必说明理由．8．在△ABC 中，90°＜∠BAC ＜120°，将线段AB 绕点A 逆时针旋转120°得到线段AD ，连接CD．(1)如图1，若AB ＝8，∠ABC ＝45°，BA ⊥CD ，延长BA ，CD 交于点K ，求四边形ABCD 的面积；(2)如图2，点E 是CA 延长线上一点，点G 是AE 的中点，连接BE ，BG ，点F 在线段AC 上，点H 在线段BG 上，连接HF ，若BG ＝GF ，HF ＝BE ，GA ＝GH ，2∠ACB ＝∠EBG +∠ABC ，求证：BC +CD；(3)如图3，在（1）的条件下，点P 是线段BC 上的一个动点，连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转45°得到线段DP '，连接AP '，BP '，点M 是△ABP '内任意一点，点P 在运动过程中，AM +BM +P 'M 是否存在最小值；若存在，请直接写出：AM +BM +P 'M 的最小值；若不存在，请说明理由．试卷第5页，共12页9．如图①，在ABC 中，AB AC ABC n =∠=︒，，D 是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB ，将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转2n ︒，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到BPE ，小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的右侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧，请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：(1)若点P 在线段AD 上，①若40ABC ∠=︒，当点E 在直线AD 上时，如图②所示，①BEP ∠=___________；②若35ABP ∠=︒，点E 落在直线AD 的___________（填“左侧”或“右侧”或“直线AD 上”）．(2)当4590n ︒<︒<︒，点P 在线段AD 上，如图③所示，连接CE ，试判断直线CE 与直线AB 的位置关系．并说明理由．(3)在（2）的条件下，若AB AC ==，ABC 的面积为12，求AE 的最小值．10．在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在直线AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，点F 是线段DE 的中点，连接AF．(1)如图1，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，若DE=4，求线段AF 的长度；(2)如图2，当点D 在AB 的延长线上时，若点G 是线段AD 的中点，连接FG ，求证：2BD FG =；试卷第6页，共12页(3)如图3，连接CF 和BE ，若BC =当线段CF 取最小值时，请直接写出BCE 的面积．11．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．12．探究题∶(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD 中，AB =AD ，以点A 为顶点作一个角，角的两边分别交BC ，CD 于点E ，F ，且∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，若∠BAD =∠B =∠D =90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α，∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．(3)解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BDDE的长度．13．（1）模型探究：如图1，已知△ABC，以A为旋转中心将边AB顺时针旋转至AD，将边AC逆时针旋转至AE，旋转角均为α（0º＜α＜180º），连接BE，CD．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②△ABE可以认为是由△ADC经过怎样的变换得到的？（2）创新应用：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点P为坐标平面内一动点，且2PO=，连接PA，以点A为旋转中心，将线段PA顺时针旋转60º至BA，连接OB，请直接写出AOB∠的最大值及此时点P的坐标．14．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．试卷第7页，共12页试卷第8页，共12页(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长；(2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F三点在同一直线上时，求证：2OH OA BH +=；(3)如图3，菱形ABCD 中，45ABC ∠=︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．如图①，在矩形ABCD 中，AD nAB =，点M ，P 分别在边,AB AD 上（均不与端点重合），且AP nAM =，以AP 和AM 为邻边作矩形AMNP ，连接,AN CN．(1)【问题发现】如图②，当1n =时，BM 与PD 的数量关系为__________，CN 与PD 的数量关系为________．(2)【类比探究】如图③，当3n =时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图③给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图③说明理由；(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知9,6AD AP ==，当矩形AMNP 旋转至C ，N ，M 三点共线时，请直接写出线段CN 的长．试卷第9页，共12页16．如图：(1)如图1，已知锐角△ABC 的边BC ＝3，S △ABC ＝6，点M 为△ABC 内一点，过点M 作MD ⊥BC 交BC 于点D ，连接AM ，则AM +MD 的最小值为．(2)如图2．点P 是正方形ABCD 内一点，PA ＝2，PBPC ＝4．求∠APB 的度数．(3)如图3，在长方形ABCD 中，其中AB ＝600，AD ＝800点P 是长方形内一动点，且S △ABC ＝2S △PBC ，点Q 为△ADP 内的任意﹣点，是否存在一点P 和一点Q ．使得AQ +DQ +PQ 有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长度，若不存在，请说明理由．17．如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，P 为EF 中点，连接AF ，G 为AF 中点，连接PG ，DG ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．(1)如图1，当α＝0°时，DG 与PG 的关系为；(2)如图2，当α＝90°时①求证：△AGD ≌△FGM ；②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．试卷第10页，共12页18．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5,4,3PA PB PC ===，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．(1)旋转角为_____度；(2)求点P 与点Q 之间的距离；(3)求BPC ∠的度数；(4)求ABC 的面积ABC S ．19．【问题情境】如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，2AE =，4BE =，90AEB =︒∠，将直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转α度（0180α≤≤︒），点B 、E 的对应点分别为点B '、E '．(1)【问题解决】如图2，在旋转的过程中，点B '落在了AC 上，求此时CB '的长；(2)【问题解决】若90α=︒，如图3，得到ADE '△（此时B '与D 重合），延长BE 交B E ''于点F ，①试判断四边形AEFE '的形状，并说明理由；②连接CE ，求CE 的长；(3)【问题解决】在直角三角形ABE 绕点A 逆时针方向旋转过程中，求线段CE '长度的取值范围．20．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．21．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,A AB AC ∠=︒=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ．点M 、N 、P 分别为DE BE BC 、、的中点．(1)观察猜想．图1中，线段,NM NP 的数量关系是__________，MNP ∠的大小为__________︒．(2)探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP BD CE 、、，判断MNP△的形状，并说明理由；(3)拓展延伸将图1中的ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2,6AD AB ==，请直接写出MNP △面积的最大值．参考答案：1．（1）DF与BE相等且互相垂直．（2）数量关系改变，位置关系不变．DF＝kBE，DF⊥BE．（3）数量关系不改变．DF＝kBE，位置关系改变，DF与BE的夹角为180°﹣a．2．(2)2BD CM=，(3)能，103 CM=3．(1)2(3)AG=12CD，4．(1)BE=AD，(2)BE=AD，(3)180°，a-b5．(1)30°(3)135°，315°6．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒7．（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°；AE=BE+2CM；（3）∠AOE的度数是60°或120°．8．(1)S四边形ABCD＝72﹣(3)AM+BM+P'M的最小值为：9．(1)50°，左侧(2)CE∥AB，(3)510．(1)AF=2(3)BCE 的面积为211．(2)①PB =4-12．(1)BE +DF ＝EF(2)EF ＝BE +DF 成立，(3)DE 3=13．（1）①DC ，理由见解析；②以点A 为旋转中心，逆时针旋转角α得到的；（2）90°；(1,P -．14．(3)75︒15．(1)BM PD =，CN =(2)变化，2CN PD =，22+16．(1)4(2)135°(3)存在，PQ 的长度为4003-17．(1)DG PG =且DG GP⊥(2)①见解析；②成立，18．(1)60(2)4(3)150°9．19．(1)-(2)①正方形，②(3)2CE '≤≤20．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠= ，此时)::2:2:1PA PB PC =(3)::4:2:1PA PB PC =21．(1)NM =NP ；60°；(2)MNP △是等边三角形，(3)MNP △的最大面积为。