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空间向量与立体几何(12.24)

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福建省学习科学学会厦门办事处厦门南博湾教育咨询有限公司 简单的事情重复做，你就是专家。 重复的事情认真做，你就是赢家！ 1 复习回顾 1.已知0,1aa，命题:p函数log(1)ayx在(0,)上单调递减，命题:q曲线

2(23)1yxax

与x轴交于不同的两点，若pq为假命题，pq为真命题，

求实数a的取值范围。

2、在同一坐标系中，方程22221axby与20(0)axbyab的曲线大致是（ ▲ ）

3、曲线C是平面内与两个定点1(1,0)F和2(1,0)F的距离的积等于常数2(1)aa的点的轨迹，给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△12FPF

的面积不大于212a.其中，所有正确结论的序号是____________.

4.椭圆C：12222byax)0(ba的一个焦点)0,2(1F，28ac（c为椭圆的半焦距）． (1)求椭圆C的方程； (2)若M为直线8x上一点，A为椭圆C的左顶点，连结AM交椭圆于点P，求APPM的取

值范围； 福建省学习科学学会厦门办事处厦门南博湾教育咨询有限公司

简单的事情重复做，你就是专家。 重复的事情认真做，你就是赢家！ 2 类型一、空间向量的几何运算 1、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC

；或对空间任一定点，有

xyC

；

推论1：若四点，，，C共面，则1xyzCxyz． 补充：三点A,B,C共线，则 (1)BC (2) 1AxByCxy a，b

，则称为向量a，b的夹角，记作,ab两个向量夹角的取值范

围是：,0,ab． 2、两个非零向量a，b的数量积，记作ab．即cos,ababab．零向量与任何向量的数量积为0．

类型二：空间向量的坐标运算 向量坐标运算：设111,,axyz，222,,bxyz，则 1

121212,,abxxyyzz



．

2121212,,abxxyyzz． 3

111,,axyz

．

4

121212abxxyyzz



．

5若a、b为非零向量，则12121200ababxxyyzz．

6若0b，则121212//,,ababxxyyzz．

7222

111aaaxyz

．

(8)121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz

,0,0abababababab(9)若为锐角，则且若为钝角，则且 10111,,xyz，

222,,xyz，ABOBOA= 212121(,,)xxyyzz

222212121dxxyyzz



类型三：利用空间向量证明平行垂直关系 若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b 1.证明线线平行：则////abababR， 2.证明线面平行：若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则////aa 福建省学习科学学会厦门办事处厦门南博湾教育咨询有限公司 简单的事情重复做，你就是专家。 重复的事情认真做，你就是赢家！ 3 0anan

3.证明面面平行： ////abab 4.证明线线垂直：0ababab 5.证明线面垂直：//aaanan． 6.证明面面垂直： 0abab 类型四：空间角问题

1、异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有

coscosabab

． 0,2

2、直线l与平面所成的角为：设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，，l与n的夹角为，则有sincoslnln． 0,2

3、二面角l的平面角为，设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．则

1212cosnnnn



．0,

类型五：空间距离问题 1、定点到直线l的距离：在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，cos,ndnn



．

2、2：点A到平面的距离（n为平面的法向量）： ABndn



（其中点B为平面内任

意一点） 3：直线AC平面 （//AC）的距离： 转化为点A到平面的距离 4：平面与平面（//）的距离（n为平面的法向量）： 转化为平面内的点到平面的距离

5：异面直线AB和CD的距离（n为既垂直于AB也垂直于CD的向量）： ACndn



（AC可以用AD，BC，BD，即两直线上分别取一点） 福建省学习科学学会厦门办事处厦门南博湾教育咨询有限公司 简单的事情重复做，你就是专家。 重复的事情认真做，你就是赢家！ 4 B O C

D

A

空间向量与立体几何 1．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则 ( )．

A．x＝1，y＝1 B．x＝12，y＝－12 C．x＝16，y＝－32 D．x＝－16，y＝32

2．已知OA→＝(1，2，3)，OB→＝(2，1，2)，OP→＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为 ( )． A．(12，34，13) B．(12，32，34) C．(43，43，83) D．(43，43，73) 3．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________． 4、已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于 （ ） A.5 32 B.212 C.372 D.3 52 5.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 直线CN与平面MND的夹角余弦值 6、如图，正方体1111ABCDABCD，则下列四个命题：

①P在直线1BC上运动时，三棱锥1ADPC的体积不变； ②P在直线1BC上运动时，直线AP与平面1ACD所成角的大小不变； ③P在直线1BC上运动时，二面角1PADC的大小不变； ④M是平面1111ABCD上到点D和1C距离相等的点，则M点的轨迹是过1D点的直线 其中真命题的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD，沿着较短的对角线BD对折，使

得6AC，O为BD的中点. （Ⅰ）求证：；平面BCDAO （Ⅱ）求三棱锥BCDA的体积； （Ⅲ）求二面角DBCA的余弦值. 福建省学习科学学会厦门办事处厦门南博湾教育咨询有限公司

简单的事情重复做，你就是专家。 重复的事情认真做，你就是赢家！ 5 5.如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的 对角线BD1上，∠PDA=60°. （1）求DP与CC1所成角的大小； （2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.

6. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PSPD. (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;

(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n 及点P到平面SCD的距离.

A B

C D

P A B

C D

x y

z

H

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空间向量解决立体几何问题

空间向量解决立体几何问题


n
a
b
A
B
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.
z
x
y
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
∴异面直线AC1与BD间的距离
04
∵ ,
03
解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得
利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展。主要变化是维数增加了，讨论的对象由二维图形变为三维图形。
为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来。
直线的方向向量和法向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量。如图，在空间直角坐标系中，由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：
3
∴cos< ， >=.
4
(2)直线与与平面所成的角 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ= -<a,n>或θ= <a,n>- (下图) . n a a 于是, 因此
∵ = c (a – b)= c·a –c·b
= |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0
∴C C1⊥BD
(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且L α. ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ②若a⊥n,即a·n = 0,则a ∥ α.
n
A
B
空间向量与立体几何

空间向量与立体几何


四、本章内容的重难点以及突破方法
1.通过问题引导学习，重视知识的形成过程
例如，在用空间向量研究直线、平面的位置关系的学习中，新教材围绕空间中点、直线 和平面的向量表示，通过空间向量的运算，以栏目为载体，构建了这样一条问题链:
(1)以“思考 如何用向量表示空间中的一个点？”引导学生思考空间中点的向量表示;
(2)以“思考 我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何 用向量表示直线l？”引导学生思考空间中直线的向量表示；
(3)“思考 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步，一个定点和一个 定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？”引导学生思考 空间中平面的向量表示；
六、本章教材教学建议、感悟与体会
本章教学时间约14课时，具体分配如下：
1.1 空间向量及其运算
约2课时
②无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因 此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向。法向量的方向和法向量上投影向 量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用法向量和向量投影可 以研究距离问题。
三、章节内容与前后知识的纵横联系
6.关注用空间向量研究空间中直线、平面间的夹角问题
与距离类似，角度是立体几何中的另一个重要的度量。空间直线、平面间的夹角问 题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，而直线、 平面又都可以用它的方向向量或法向量来刻画，因而空间直线、平面间的夹角问题就 转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的夹角问题，进而可以利用空间向量的数 量积运算加以解决。
点线距、点面距、增加的公式 两条异面直线所成的角、 线面角、 面面角的量求法 及具体公式。
空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

以空间向量为“工具”，快速解答立体几何问题

以空间向量为“工具”，快速解答立体几何问题

备考指南”，即可将 A 1O 、C 1O 看作两个平面的法向量，根据夹角公式求得其夹角.运用空间向量法求解立体几何问题，可使抽象的立体几何问题变得具象化.二、空间距离问题空间距离问题主要有求两点之间的距离、求点到直线的距离、求点到平面的距离、求直线与平面之间的距离、求平面与平面之间的距离.一般地，在建立直角坐标系后，通常可直接运用两点之间的距离公式求两点之间的距离；通过作点到直线的垂线，求点到直线的距离；通过法向量，求点到平面的距离、求直线与平面之间的距离、求平面与平面之间的距离.若平面的斜线的方向向量为 n 1，平面的法向量为 n 2，则点到平面的距离为d =|| n 1cos n 1, n 2=|| n 1⋅n 2|| n 2.例3.如图3，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有棱长为2，点D 是CC 1的中点，（1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；（2）求点C 到平面A 1BD 的距离.解：（1）证明过程略；（2）取BC 的中点O ，因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以AO ⊥BC ，BC ⊥BB 1，以点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，则A 1()0,2,3、B ()1,0,0、D ()-1,1,0、C ()-1,0,0、B 1()1,2,0，且BC =()-2,0,0, AB 1=()1,2,-3，由（1）可得AB 1是平面A 1BD 的法向量，则点C 到平面A 1BD 的距离d =|| BC ⋅AB 1||AB 1=我们先根据正三棱柱的特征，建立空间直角坐标系，并求得各个点的坐标以及平面A 1BD 的法向量AB 1；然后利用数量积公式求点C 到平面A 1BD 的距离.在建立空间直角坐标系时，往往要根据题意和图形寻找垂直关系，如直线之间的垂直关系、直线与平面之间的垂直关系，以确定坐标轴.三、空间位置关系问题空间位置关系主要是指点、线、面之间的位置关系，如平行、垂直、包含、重合等.运用空间向量求解空间位置关系问题，一般需在建立空间直角坐标系后，求得各个点、向量的坐标，并根据向量之间的关系进行判断.一般地，已知a 、b 为直线a 、b 的方向向量，n 为平面α的法向量，若a //b ，则两条直线平行或重合；若a ⊥b，则两条直线互相垂直；若a //n ，则直线a 与平面α垂直；若a ⊥n ，则直线a 与平面α平行，或直线a 在平面α内.例4.在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA =PD ，AB ⊥AD ，AB =1，AD =2，AC =CD =5.那么在棱PA 上是否存在点M ，使BM //平面PCD ，若存在，求出AMAP的值；若不存在，请说明理由.解：取AD 的中点O ，连接PO 、CO ，而AC =CD =5，AD =2，所以CO ⊥AD ，以OP 、OA 、OC 为z、y 、x 轴建立如图4所示的空间直角坐标系.图4则O ()0,0,0,A ()0,1,0,B ()1,1,0,C ()2,0,0,D ()0,-1,0,P ()0,0,1,设平面PCD 的法向量为n=()x ,y ,z ，由ìíîn ⋅ PD =0,n⋅PC =0,可得n =()1,-2,2，设点M ()0,t ,1-t ，则BM =()-1,t -1,1-t ，若BM //平面PCD ，则BM ⊥n ，BM ⋅n =0，即-1-2()t -1+2()1-t =0，解得t =34，所以AM AP =AN AO =14，故存在点M ，使BM //平面PCD ，此时AM AP =14.用空间向量解答空间位置关系问题，需熟练掌握并运用向量运算法则以及共线定理，根据向量之间的平行、垂直关系判断点、线、面之间的位置关系.总之，运用空间向量解答空间角、空间距离、空间位置关系问题，只需建立合适的空间直角坐标系，通过空间向量运算即可求得问题的答案，能有效地提升解题的效率.（作者单位：江西省安福中学）备考指南图355。