四川省绵阳南山中学2021届高三上学期开学考试(零诊模拟)文科综合地理试题含答案

南山中学2020 年秋季高2018 级12 月月考文科综合试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题。

本答题共35 小题，每小题4分，共140 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

上海市2019 年常住人口2428.14 万人，较上年增加 4.36 万人。

户籍常住人口l1450.43 万人，其中60 岁以上人口比重超35%，比2018 年提高0.8 个百分点。

下图示意2019 年上海市常住人口与户籍常住人口的出生人口与死亡人口比较。

据此完成1～2 题。

1.关于2019 年上海市常住人口变化说法正确的是①人口的增长主要来自人口的迁入②人口的增长主要来自常住人口的自然增长③户籍常住人口数量下降④外来常住人口出生率高于户籍人口出生率A.①②③B.①②④B.①③④D.②③④2.上海市常住人口的年龄结构特征变化带来的影响有A.劳动力严重不足B.不利于服务业发展C.社会负担加重D.加快逆城市化我国行政部门规划提出棚户区改造，在城市外围划定城市使用限制线，以后将成为城市建设发展的新模式。

拆除城市棚户区，在适当的位置选地，建设高密度小区，采用增加绿地、广场以及完善基础设施来应对高密度建筑的负面影响，以此营造绿色、宜居的现代化宜居场所，此经验对我国现在新农村建设具有借鉴意义。

据此完成3～5题。

3.划定城市使用限制线的中心理念是控制A.城市人口密度B.城市等级C.城市面积D.城市服务范围4.划定城市使用限制线，可以A. 保护耕地B.促进城市化C.提高就业率D.促进产业升级5.棚户区的规划模式对我国新农村建设的借鉴意义是A.提供农村建筑物高度B. 积极推动农村居民"合村并居"C.大力推进农村就地城市化D.拆解农村，人口就近迁入城市10年前由欧洲荷兰公司研发生产的电动平衡车，售价约10万美元一台。

后来由美国公司收购生产，售价约1万美元一台。

之后，中国小米公司收购了平衡车关键技术，在电机和电池上做了改良，然后让纳思博代工生产。

绵阳南山中学2021级高三上期零诊考试试题数学(文科)参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．C9．D10．B11．B12．D12.【详解】由题意可得，函数f(x)=-mx2-mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)= mx2-mx与函数f(x)=ln x(x>0)的图象有两个交点，即方程mx2-mx=ln x(x>0)有两个根，即m(x-1)=ln xx，令h(x)=ln xx(x>0)，则h (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，h (x)>0，当x>e时，h (x)<0，所以h(x)在0，e上递增，在e，+∞上递减，y=m(x-1)的图象恒过点(1，0)，h(x)=ln xx(x>0)的图象也过点(1，0)，因为h (1)=1，所以h(x)=ln x x(x>0)在x=1处的切线方程为y=x-1，由图可知当0<m<1或m>1时，h(x)=ln x x(x>0)与y=m(x-1)的图象有2个交点，即mx2-mx=ln x(x>0)有两个根，所以实数m的取值范围为0，1∪1，+∞，故选：D二、填空题13．∀x∈-1，1，x2-x+3≥014．-1915．32，316．2【详解】因为f(x)为奇函数，所以f x =-f-x，且f0 =0，又f(x)关于直线x=1对称，所以f1+x=f1-x，所以f2+x=f-x=-f x ，则f4+x=-f2+x=f x ，所以函数f x 是以4为周期的周期函数，作出函数y=f x 和y=x+1的图像如图所示：由f (x )=x +1的正数解依次为x 1、x 2、x 3、⋅⋅⋅、x n 、⋅⋅⋅，则lim n →∞(x n +1-x n )的几何意义为函数f x 两条渐近线之间的距离为2，所以lim n →∞(x n +1-x n )=2.所以得任意的n ∈N ，x n +1-x n <2，已知任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得x n +1-x n <M 成立，可得M ≥2，即M 的最小值为2.故答案为：2.三、解答题17．(1)-1；(2)2π3.【详解】(1)解：a +b ⋅a -2b=a 2-a ⋅b -2b 2=-6，又因为a=1，b =2，∴a ⋅b =a2-2b 2+6=1-8+6=-1；(2)解：由题意可得cos θ=a ⋅b |a |⋅|b |=-12=-12，又因为θ∈[0，π]，所以θ=2π3.18．(1)k π+π6，k π+2π3，k ∈Z ；(2)12,1 .【详解】(1)由题意可知，函数的周期T =2πω=2×π2，得ω=2，所以f π6 =cos 2×π6+φ =1，φ <π2，得φ=-π3，所以f x =cos 2x -π3，令2k π≤2x -π3≤2k π+π，解得：k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ；所以函数的单调递减区间是k π+π6，k π+2π3，k ∈Z ，(2)方程f x -a =0有两解，即a =f x ，x ∈-π6，π3，2x -π3∈-2π3，π3 ，所以f x ∈-12，1，又因为有两个不同解，所以由函数图象（略）可知，实数a 的取值范围是12,1 .19．(1)m =1;(2)-∞，0 ∪0，+∞ 【详解】(1)∵函数f x +1 是偶函数，∴f x +1 =f -x +1 对任意的x 恒成立.∴(x +1)2-2m x +1 -1=(-x +1)2-2m -x +1 -1，即4x -4mx =0.∴m =1.(2)∵二次函数f x 的图像开口向上且过点0，-1 ，对称轴为x =m ，∴对任意的实数m ，函数f x 都有两个零点x 1和x 2，且0∈x 1，x 2 .∴①当m =0时，函数f x =x 2-1的两个零点分别为-1，1，在区间-1，1 内只有一个整数点，不满足题目要求；②当m >0时，只需f 1 =-2m <0，即m >0，此时至少有两个整数0和1在区间x 1，x 2 内；③当m <0时，只需f -1 =2m <0，即m <0，此时至少有两个整数0和-1在区间x 1，x 2 内.∴m 的取值范围是-∞，0 ∪0，+∞ .20．(1)证明见解析；(2)(23,2+3].【详解】(1)向量法：因为BC =AC -AB，则BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2 -2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A ，即a 2=b 2+c 2-2bc cos A ．(2)因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D +B =π，D =π-B =2π3.在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =CD sin ∠CAD =ACsin ∠ADC=2，即AD =2sin ∠ACD ,CD =2sin ∠CAD ,所以周长=AD +CD +AC =2(sin ∠ACD +sin ∠CAD )+3=2(sin ∠ACD +sin (π3-∠ACD )+3=sin ∠ACD +3cos ∠ACD +3=2sin (∠ACD +π3)+3，又因为∠ACD ∈(0,π3),所以(∠ACD +π3)∈(π3,2π3),所以sin (∠ACD +π3)∈(32,1],所以周长的取值范围为(23,2+3]21．(1)答案见解析；(2)证明见解析【详解】(1)g x =f x +12x 2+ax =ln x +a +12x 2+ax x >0 ，g x =1x +x +a =x 2+ax +1x，当a ≥0时，在区间0，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，当a <0时，若Δ=a 2-4≤0，即-2≤a <0时，在区间0，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，若Δ=a 2-4>0，即当a <-2时，函数y =x 2+ax +1的开口向上，对称轴x =-a2>1，令gx =0，即x 2+ax +1=0，解得x 1=-a -a 2-42，x 2=-a +a 2-42，而x 1+x 2=-a >0，x 1x 2=1>0，所以x 1，x 2是两个正根，所以在区间0，x 1 ，x 2，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，在区间x 1，x 2 上，g x <0，g x 单调递减.综上所述，当a ≥-2时，g x 在区间0，+∞ 上单调递增；当a <-2时，g x 在区间0，-a -a 2-42 ，-a +a 2-42，+∞上单调递增，在区间-a -a 2-42，-a +a 2-42上单调递减.(2)要证明：当a ≤12时，f x <e x -sin θ，即证明：当a ≤12时，ln x +a <e x -sin θ，即证明：当a ≤12时，ln x +a -e x +sin θ<0，构造函数h x =ln x +a -e x +sin θx >0，a ≤12，h x =1x -e x ，函数h x =1x-e x 在0，+∞ 上为减函数，h 1 =1-e <0，h 12 =2-e >0，所以存在x 0∈12，1 ，使h x =1x 0-e x=0，1x 0=e x，所以h x 在区间0，x 0 上h x >0，h x 单调递增，在区间x 0，+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，h x ≤h x 0 =ln x 0-e x 0+a +sin θ=ln e -x 0-1x 0+a +sin θ=-x 0+1x 0+a +sin θ<-2x 0⋅1x 0+a +sin θ=-2+a +sin θ<0，即h x <0，所以当a ≤12时，ln x +a -e x +sin θ<0，所以当a ≤12时，f x <e x -sin θ.22．(1)直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0，曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1(2)2【详解】(1)由ρsin θ+π4 =22，得ρsin θcos π4+ρcos θsin π4=22，22ρsin θ+22ρcos θ=22，所以ρsin θ+ρcos θ=4，所以直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0，由x =3cos αy =sin α (α为参数)，得x23+y 2=1，即曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1，(2)设点P (3cos α，sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 距离为d =3cos α+sin α-412+12=2sin α+π3 -4 2，所以当sin α+π3 =1时，d 取得最小值22= 2.23．(1)-2，32；(2)证明见解析．【详解】(1)f x ≤7可化为x ≤-1-2x +1 -2x +1≤7 或-1<x <122x +1 -2x +1≤7或x ≥122x +1 +2x -1≤7，解得-2≤x ≤-1或-1<x <12或12≤x ≤32，∴f x ≤7解集为-2，32(2)f x =2x +1 +2x -1 ≥2x +1 -2x -1 =3当x =-1时取“=”，∴f x min =3∵a +b +c =3，∴a +1 +b +c -1 =3，∴12+12+12 a +1 2+b 2+c -1 2 ≥a +1 +b +c -1 2 =32，∴a +1 2+b 2+c -1 2≥3，故∃x 0∈R ，使得f x 0 ≤a +1 2+b 2+c -1 2.。

绝密★启用前四川省绵阳市江油中学2021届高三年级上学期10月月考检测文综-地理试题2020年10月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。

2.本试卷分为两个部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题,共 15页。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.本试卷满分300分,150分钟完卷。

第一部分 (选择题共140分)本卷共35小题,每小题4分,共计140分。

在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

一、单选题洗车指数是根据过去 12 小时和未来 48 小时有无雨雪天气，路面是否有积雪和泥水，是否容易使汽车溅上泥水，是否有沙尘等天气条件，给爱车族提供是否适宜洗车的气象指数。

洗车指数共分为 4 级，级数越高，就越不适宜洗车。

读“2016 年 3 月 16 日 17 时某区域地面天气图”。

据此回答下列各题。

1．图中①②③④四地，洗车指数值最低的是（）A．①B．②C．③D．④2．如果图中等压线状况维持不变，某自驾游汽车从②地经③地到④地，天气变化可能是（）A．气温：暖—冷—暖B．气压：低—高—低C．降雨：晴—雨—晴D．风向：西北风—西南风—东南风下图为在上海郊区一个蔬菜大棚所拍摄的照片，棚顶为黑色的尼龙网, 而不是常见的白色透明的塑料或者是玻璃大棚。

据此完成下面小题。

3．由此推断，此时段上海的天气可能是（）A．连续不断的对流雨B．连续的霜冻天气C．持续的伏旱天气D．台风来临狂风暴雨4．在此季节，农民这样做的主要目的是（）A．增加大气逆辐射，提高夜间温度B．减少地面辐射，防止夜间温度过低C．增强地面辐射，提高农作物存活率D．削弱太阳辐射，减少农作物水分蒸腾图甲是某著名湖泊，图乙表示其水位变化情况。

读图回答下面小题。

5．图乙所给的信息说明( )A．4、7两月的水位差比1、4两月的水位差大B．4、7两月的水域面积差比1、4两月的水域面积差大。

2021届四川省绵阳南山中学高三上学期开学考试（零诊模拟）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}3,A x x x Z =<∈，B x y x Z ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ B ．{}3,2,1,0---C ．132x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】先求出集合A 和集合B ，再根据交集运算即可求出. 【详解】{}{}{}3,33,2,1,0,1,2A x x x Z x x x Z =<∈=-<<∈=--，{}1120,,2B x y x Z x x x Z x x x Z ⎧⎫⎧⎫==∈=->∈=<∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}2,1,0A B ∴=--.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及含绝对值不等式的求解，考查函数定义域的求法，属于基础题.2．已知i 是虚数单位，则()11i i⋅+=（ ） A ．i B ．i -C ．1i -D ．1i +【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】11(1)11i i i i⋅+=+=-. 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.3．命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A ．∃00x ≤，01x e ≤ B ．∃00x >，01x e ≤ C ．∀0x >，1x e ≤ D ．∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤【考点】本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4．“0x y >>”是“()()ln 1ln 1x y +>+”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性. 【详解】因为对数函数ln y x =是增函数，定义域为()0+∞，因为0x y >>，所以111x y +>+>，即()()ln 1ln 1x y +>+，所以充分性成立； 因为()()ln 1ln 1x y +>+，所以110x y +>+>，即1x y >>-，所以必要性不成立， 所以0x y >>是()()ln 1ln 1x y +>+的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题. 5．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x=+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．6．从5名候选人中选派出3人参加A ，B ，C 活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A 活动，则不同的选派方案有（ ） A ．36种 B ．48种 C ．56种 D ．64种【答案】B【解析】分情况讨论：甲参加活动或甲不参加活动，分别利用组合以及排列数即可求解. 【详解】若甲参加活动：21242224C C A =（种）若甲不参加活动：3343432124C A =⨯⨯⨯=（种） ，所以不同的选派方案有48种. 故选：B 【点睛】本题考查了组合数、排列数的应用，考查了基本运算能力，属于基础题.7．已知x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+=⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，作出约束条件的可行域，如下图：由2z x y =-+可得2y x z =+，由图可知，当直线2y x z =+过可行域内的1,1C 时， 直线在y 轴上的截距最大，即max 2111z =-⨯+=-，2z x y =-+的最大值为1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题. 8．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案. 【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9．已知向量()1,0a =，()1,1b =，则向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为（ ） A ．35B． CD．【答案】B【解析】先求出3-b a 与a 的坐标，再求出3-b a 与a 的数量积以及3-b a 与a 的模，即可求出其夹角的余弦值. 【详解】()1,0a =，()1,1b =,()()()31,131,02,1b a ∴-=-=-，()232b a ∴-=-=，1a =，()32ba a -⋅=-，()33,co 513s 5b a a b a a b a a-⋅->===-⨯-<⋅∴.故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角余弦值的求法，属于基础题.10．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()f x 单调递增，且()10f =，若()10f x ->，则x 的取值范围为（ ） A ．{01x x <<或}2x > B ．{0x x <或}2x > C ．{0x x <或}3x > D ．{1x x <-或}2x >【答案】A【解析】由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，求出()10f -=，分两种情况解不等式即可. 【详解】()f x 为奇函数，知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f （1）或f (x －1)>f (－1). ∴x －1>1或0>x －1>－1， 解之得x >2或0<x <1，∴x 的取值范围为{01x x <<或}2x >.故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性求自变量的取值范围的问题.属于较易题. 11．已知()()()()()()523450123452111111-=+-+-+-+-+-x a a x a x a x a x a x ，则2a =（ ） A ．10 B ．80 C ．40 D ．120【答案】C【解析】由()()5521211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项即可求解. 【详解】()()5521211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，通项()51521rrr T C x -+=-⎡⎤⎣⎦，故当3r =时，()()53233+15=21401T C x x --=-⎡⎤⎣⎦，所以240a =.故选：C. 【点睛】本题考查了二项式的展开式，熟记展开式是解题的关键，属于基础题. 12．设函数()()1ln 2=+-∈f x x x a a R ，若存在[]1,b e ∈(e 为自然对数的底数)，使得()()ff b b =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦eB ．e 1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由已知得到等价命题()f x x =在[]1,e 上有解，变量分离构造函数，利用导函数求最值.【详解】因为函数()y f x =在定义城内单增函数，所以()()f f x x =有解等价于()f x x =有解， 故1ln 2=+x x a 在[]1,e 上有解，令即1ln 2=-a x x ，令()1ln 2=-g x x x 则()11222-'=-=xg x x x，[]1,x e ∈ 当[]1,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当[]2,∈x e 时()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()max 2ln 21==-g x g ，()()min 112==-g x g 故实数a 的取值范围为1,ln 212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 故选: C 【点睛】本题涉及的方法有，等价转换，方程能成立，变量分离，构造新函数，求最值，属于难题.二、填空题13．已知函数()12log ,03,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩则()()2f f =______. 【答案】13【解析】根据复合函数计算法则先算(2)f ，再计算()()2f f 【详解】12(2)log 21f ==-，1(1)3f --=故答案为：13【点睛】本题考查了分段函数背景下复合函数的求值，属于简单题，分段函数求值关键是准确选择函数解析式.14．已知0.5log 3,a =0.52,b =0.30.5c =,则a,b,c 的大小关系是【答案】a c b <<【解析】试题分析：0.5log 30,a =<0.521,b =>()0.30.50,1c =∈a c b ∴<<【考点】比较大小15．函数()212log 6y x x =-++的单增区间为______. 【答案】1,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先求函数定义域，再根据复合函数的单调性即可得解. 【详解】先求函数定义域即260x x -++>，解得23x -<<，要使函数()212log 6y x x =-++的单调递增则应使函数2y -x +x 6=+的单调递减，易知函数2y -x +x 6=+的单调递减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 结合定义域可得函数()212log 6y x x =-++的单调递增区间为1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：1,32⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查复合函数单调区间的求解和二次函数、对数函数的单调性，属于基础题. 16．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元． 【答案】37.5【解析】根据题意，得到21,(13)3t x x=-<<-，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+， 即21,(13)3t x x=-<<-， 所以月利润为11(48)323163162232t t y x x t x x x x =+=--=--=-+- 145.5[16(3)]45.537.53x x =--+≤-=-，当且仅当116(3)3x x -=-时，即114x =时取等号，即月最低利润为37.5万元. 故答案为: 37.5 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到月利润的函数解析式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.三、解答题17．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫+>-<<⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)函数()y f x =图象向右平移12π个单位,得到()y g x =的图象,求()g x 的单调递减区间. 【答案】（1）32；（2）511,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先根据已知求出()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）先求出函数g(x)的解析式，再求函数g(x)的单调递减区间得解. 【详解】因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π， 从而22Tπω==. 又f (x )的图象关于直线x ＝3π对称，2(Z)32k k ππφπ∴⨯+=+∈，,022k ππφ-<∴=，2,()22366f x x ππππφ⎛⎫∴=-=-∴- ⎪⎝⎭，则3244632f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)将f (x )的图象向右平移12π个单位后，得到12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，()22121263g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当3222(Z)232k x k k πππππ+-+∈， 即511()1212k x k k Z ππππ+≤+∈时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为511,(Z)1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数图像的变换和单调区间的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文､数学､外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人(把年龄在[)15,45称为中青年，年龄在[)45,75称为中老年)，并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年､中老年)有关？（2）若从年龄在[)55,65的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）列联表答案见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年､中老年)有关联；（2）分布列答案见解析，()65E X =. 【解析】（1）根据表中数据即可完善列联表，根据卡方公式计算出卡方值，和3.841比较，即可判断；（2）可知X 可能取值为0，1，2，计算出概率即可写出分布列，求出期望. 【详解】（1）22⨯列联表如图所示()2250221288 5.56 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年､中老年)有关联. （2）年龄在[)55,65的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，则()0323331010===C C P X C ；()122333631105====C C P X C ；()2123333210===C C P X C . 所以X 的分布列为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表和独立性检验，考查随机变量的分布列和数学期望的求法，属于基础题. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21*-=∈n n a S n N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2log 1n n b S =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）12n na ，*n N ∈；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可以判断数列{}n a 是以11a =为首项，2q 为公比的等比数列，即可写出通项公式； （2）由裂项相消法可求出. 【详解】（1）21n n a S -=，令1n =，解得11a =，2n ≥，1121n n a S ---=， 两式相减，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，2q 为公比的等比数列.所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ，*n N ∈（2）由（1）知，12n na ，21n n S a =-所以21n n S =-，即()22log 1log 2n n n b S n =+==，∴()111111111122312231⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭n T n n n n 1111n n n =-=++.本题考查n a 和n S 的关系，考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题.20．已知函数()()21log 01+=>-axf x a x 是奇函数 （1）求a 的值与函数()f x 的定义域；（2）若()232log g x x =-对于任意[]1,4x ∈都有()22log>⋅g x g k x ，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，定义域为()(),11,-∞-+∞；（2）(),3-∞-. 【解析】（1）由奇函数的定义可解得a 值；真数大于零解不等式可得定义域； （2）换元转换成二次不等式讨论，变量分离，再用基本不等式. 【详解】()21log 1ax f x x +=-是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴2211log log 11ax axx x -+=----∴2211log log 11--=-++ax x x ax ，∴1111--=++ax x x ax ， ∴22211a x x -=-又0a >∴1a = ∴()21log 1x f x x +=-，要使()f x 有意义，则101x x +>-，即1x <-或1x >， ∴()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞.（2）由()22log⋅>⋅g xg k x 得()()22234log 3log log x x k x -->⋅.令2log t x =∵[]1,4x ∈，∴[]2log 0,2t x =∈∴()()343-->t t kt ，对一切[]0,2t ∈恒成立， ①当0t =时，k ∈R ； ②当(]0,2t ∈时，()()343t t k t--<恒成立；即9415k t t<+-，∵9412t t+≥，当且仅当94t t =，即32t =时等号成立.∴9415t t+-的最小值为3-，所以3k <-综上，实数k 的取值范围为(),3-∞-.本题考查函数的奇偶性及不等式的恒成立问题，换元转化为二次不等式在特定区间上恒成立是解决问题的关键.21．已知函数f （x ）=e x -alnx-e （a ∈R ），其中e 为自然对数的底数． （1）若f （x ）在x=1处取到极小值，求a 的值及函数f （x ）的单调区间； （2）若当x ∈[1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）(,e]-∞.【解析】【试题分析】（1）令()'10f =可求得a 的值.利用二阶导数求得函数()f x 点的单调区间.（2）对()f x 求导，并对a 分成0,0e,e a a a ≤≤，三类讨论函数的最小值，由此求得a 的取值范围. 【试题解析】（Ⅰ）由()()e ln e xf x a x a R =--∈，得()e x a f x x='-因为()10f '=，所以e a =，所以()e e ee xxx f x x x='-=- 令()e e xg x x =-，则()()e 1xg x x ='+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在()0,x ∈+∞单调递增，且()10,g = 所以当()()0,1,0x g x ∈<时，()()1,,0x g x 时∈+∞>. 即当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.（Ⅱ）【法一】由()e ln e x f x a x =--，得()e xaf x x='-（1）当0a ≤时，()e 0xaf x x='->，()f x 在[)1,x ∈+∞上递增 ()()min 10f x f ==（合题意）（2）当0a >时，()e 0xaf x x='-=，当[)1,x ∈+∞时，e e x y =≥ ①当(]0,e a ∈时，因为[)1,x ∈+∞，所以e a y x =≤，()e 0xa f x x='-≥.()f x 在[)1,x ∈+∞上递增，()()min 10f x f ==（合题意）②当()e,a ∈+∞时，存在[)01,x ∈+∞时，满足()e 0xaf x x='-=()f x 在[)001,x x ∈上递减，()0x +∞上递增，故()()010f x f <=.不满足[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立 综上所述，a 的取值范围是(],e -∞.【法二】由()e ln e xf x a x =--，发现()1e ln e 0xf a x =--=由()e ln e 0x f x a x =--≥在[)1,+∞恒成立，知其成立的必要条件是()10f '≥而()e xaf x x='-， ()1e 0f a ='-≥，即e a ≤ ①当0a ≤时，()e 0xa f x x='->恒成立，此时()f x 在[)1,+∞上单调递增，()()10f x f ≥=（合题意）.②当0e a <≤时，在1x ≥时，有101x <≤，知e 0aa x -≤-≤-<， 而在1x >时，e e x ≥，知()e 0xa f x x='-≥，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，即()()10f x f ≥=（合题意） 综上所述，a 的取值范围是(],e -∞.22．已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：222cos 2sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)，2C ：11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程.（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1C 的普通方程为()202x y x +=≤≤，2C 的普通方程为224x y -=；（2）2cos ρθ=.【解析】（1）两式相加消去参数θ可得曲线1C 的普通方程；两式平方作差消去参数t 可得2C 的普通方程.（2）由（1）解方程组求出P ，根据题意可知圆心为()1,0，半径为1，从而写出直角坐标方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入即可求解.【详解】（1）因为222cos 2sin 2,02x y x θθ+=+=≤≤， 所以曲线1C 的普通方程为()202x y x +=≤≤，因为222222221111224⎛⎫⎛⎫-=+--=++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y t t t t t t t t ， 所以曲线2C 的普通方程为224x y -=.（2）由（1）得曲线1C 和2C 的普通方程分别为2x y +=和224x y -=，联立可得2224x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的直角坐标为()2,0 因为圆心在极轴上，且经过极点和P ，即圆心在x 轴的正半轴上，且过直角坐标原点，所以圆心为()1,0， 所以圆的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=则该圆的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、普通方程化为极坐标方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.23．已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。