三角恒等变换导学案
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学案22 简单的三角恒等变换
导学目标: 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换.
自主梳理
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=________________;
(2)cos 2α=______________=________________-1=1-________________;
(3)tan 2α=________________________ (α≠k π2+π4且α≠k π+π
2
).
2.公式的逆向变换及有关变形
(1)sin αcos α=____________________⇒cos α=sin 2α
2sin α
;
(2)降幂公式:sin 2α=________________,cos 2α=________________; 升幂公式:1+cos α=________________,1-cos α=_____________; 变形:1±sin 2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=________________________. 自我检测 1.(2010·陕西)函数f (x )=2sin x cos x 是 ( )
A .最小正周期为2π的奇函数
B .最小正周期为2π的偶函数
C .最小正周期为π的奇函数
D .最小正周期为π的偶函数 2.函数f (x )=cos 2x -2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )
A .-3,1
B .-2,2
C .-3,32
D .-2,3
2
3.函数f (x )=sin x cos x 的最小值是 (
)
A .-1
B .-12 C.1
2
D .1
4.(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角,则sin A ·sin B (
)
A .有最大值1
2,最小值0
B .有最小值1
2
,无最大值
C .既无最大值也无最小值
D .有最大值1
2
,无最小值
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y =7-4sin x cos x +4cos 2x -4cos 4x 的最大值和最小值.
变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )=4cos 4x -2cos 2x -1
sin ⎝⎛⎭⎫π4+x sin ⎝⎛⎭
⎫π4-x .
(1)求f ⎝⎛⎭
⎫-11π
12的值; (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0,π4时,求g (x )=1
2
f (x )+sin 2x 的最大值和最小值.
探究点二 三角函数式的求值
例2 已知sin(π4+2α)·sin(π4-2α)=14,α∈(π4,π2),求2sin 2α+tan α-1
tan α
-1的值.
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角,且cos α=5
13,求sin (α+π
4)
cos (2α+4π)
的值.
(2)已知cos(α+π4)=35,π2≤α<3π2,求cos(2α+π
4
)的值.
探究点三 三角恒等式的证明
例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α+β)=3sin β,设tan α=x ,tan β=y ,记y =f (x ). (1)求证:tan(α+β)=2tan α; (2)求f (x )的解析表达式;
(3)若角α是一个三角形的最小内角,试求函数f (x )的值域.
变式迁移3 求证:sin 2x
(sin x +cos x -1)(sin x -cos x +1)
=1+cos x sin x .
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )= ⎝⎛⎭⎫1+1tan x sin 2x +m sin ⎝⎛⎭⎫x +π4sin ⎝⎛⎭
⎫x -π4. (1)当m =0时,求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
π8,3π4上的取值范围;
(2)当tan α=2时,f (α)=3
5
,求m 的值.
【答题模板】
解 (1)当m =0时,f (x )=⎝⎛⎭⎫1+cos x sin x sin 2x
=sin 2
x +sin x cos x =1-cos 2x +sin 2x
2
=12⎣
⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4+1,[3分] 由已知x ∈⎣⎡⎦⎤π8,3π4,得2x -π
4∈⎣⎡⎦⎤0,5π4,[4分] 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4∈⎣⎡⎦
⎤-2
2,1,[5分] 从而得f (x )的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0,1+22.[6分]
(2)f (x )=sin 2x +sin x cos x -m
2
cos 2x
=
1-cos 2x 2+12sin 2x -m
2cos 2x =12[sin 2x -(1+m )cos 2x ]+1
2
,[8分] 由tan α=2,得sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α=4
5,
cos 2α=cos 2α-sin 2αcos 2α+sin 2α=1-tan 2α1+tan 2α
=-3
5.[10分]
所以35=12⎣⎡⎦⎤45+35(1+m )+1
2,[11分] 解得m =-2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等,将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是:(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题:
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则:
(1)在化简求值和证明时常用如下方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,
α+β
2
=⎝⎛⎭⎫α-β2+⎝⎛⎭⎫β-α2,α2是α
4
的二倍角等.